6.4数据的离散程度1(含答案）

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北师大版2020-2021学年度上学期八年级数学上册第六章数据的分析
6.4
第一课时数据的离散程度1
【知识清单】
一、极差
1.文字叙述：一组数据中最大的数与最小的数的值的差称为极差，极差是刻画数据离散程度的一个统计量.
2.计算方法：极值=最大值最小值.
3.注意：①极差的单位与原数据单位一致．②如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确．
二、方差、标准差
1.方差：①文字叙述：一组数据中各个数据与平均数之差的平方的和的平均数，叫做方差；
②公式：，其中是数据x1，x2，…，xn的平均数，n为数据个数，是方差.
2.标准差：方差的算术平方根叫标准差.
.
三、极差、方差、标准差的含义
极差、方差、标准差都是描述数据波动大小的量；一般而言，一组数据的极差、方差、标准差越小，这组数据就越稳定.
【经典例题】
例题1、八年级(1)班第一学习小组6名同学的身高分别是：171，167，159，165，167，161(单位：厘米)，则这组数据的极差是
?
厘米．
【考点】数据的离散程度：极差、方差、标准差.
【分析】根据极差的概念，用最大值减去最小值即可求得．
【解答】由题意可知，极差为171159=12(厘米)．
故填12．
【点评】极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
例题2、某宾馆要成立一支由6名女生组成的礼仪队，准备在甲、乙两个优胜队(每队6名)中选取一个队，每位女生的身高(米)条形统计图
如图所示，根据条形统计图提供的信息解决
下列问题：
(1)求甲、乙队身高的中位数；
(2)如果选拔标准是身高越整齐越好，
那么甲、乙两个队哪个队被录取？
请说明理由．
【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；方差.
【分析】?(1)根据中位数的定义，把甲、乙两队队员身高从高到矮排列，找出位置处于中间的数即可；?
(2)根据方差的意义可以得到答案；方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
?
【解答】(1)把甲队队员身高从高到矮排列：1.83，1.82，1.79，1.78，1.75，1.71，位置处于中间的两数为：1.79，1.78，?故甲队身高的中位数是(米)；
把乙队队员身高从高到矮排列：1.85，1.84，1.80，1.76，1.74，1.69，位置处于中间的两数为：1.80，1.76，?故乙队身高的中位数是(米)；
??
(2)∵=(1.78+1.83+1.71+1.75+1.82+1.79)=1.78(米)，
=(1.80+1.74+1.84+1.69+1.85+1.76)=1.78(米)，
?
∴
≈0.0017，
≈0.0031，
∵＜，∴甲队的身高比较整齐，甲队将被录取．
?【点评】此题主要考查了条形图，中位数，平均数，方差，此题能正确从条形图中获取信息，掌握平均数，中位数，方差的定义是解决问题的关键.
【夯实基础】
1．若要对一名学生的最近10次立定跳远成绩进行统计分析，判断他的训练成绩是否稳定，则需要知道他这10次训练成绩的(　　)
A．中位数
B．平均数
C．众数
D．方差
2．某农科所各用5块面积相同的试验田种植甲、乙两种小麦，收获后对两种小麦产量(单位：
千克/亩)的数据统计如下：≈650，≈660，≈0.03，≈0.003，则由上述数据推断乙
种小麦可以推广种植的依据是(　　)
A．＞
B．＞
C．＞
D．＞
3．在方差的计算公式=中，数字15和10分别表示的意义可以是(?????)
A．数据的个数和方差??????????
???
B．平均数和数据的个数
C．数据的个数和平均数???????????
?
D．数据组的方差和平均数
4．如果一组数据3x1，3x2，…，3xn的方差是6，则另一组数据x1，x2，…，xn的方差
是(　　)
A．
B．2
C．3
D．
5．若甲组数据由a1，a2，a3组成，乙组数据由b1，b2，b3组成，且甲、乙两组数据有相同的平均数，甲组数据的方差=4.5，乙同学的方差=3.7，则数据a1，a2，a3，b1，b2，b3的方差为
．
6．已知一组数据6，7，8，9，10的方差为
，则数据106，107，108，109，110的方差为
．
7．已知，一组数据x1，x2，…，xn的平均数是5，方差是4，
①数据x1+5，x2+5，…，xn+5的平均数是_________，方差是_________，
②数据2x1，2x2，…，2xn的平均数是__________，方差是____________，
③数据3x199，3x299，…，3xn99的平均数是_________，方差是
．
8．甲，乙两支篮球队队员的身高(单位：cm)如下：
甲队：188，187，189，188，186，188，187，188，188，189，188，190；
乙队：188，189，186，188，189，188，186，188，187，190，187，190；
(1)将下表填完整：
身
高(cm)
186
187
188
189
190
甲队(人数)
2
6
0
乙队(人数)
2
2
2
(2)甲、乙两队队员身高的极差、众数、中位数分别是多少？
(3)这两支篮球队队员身高的方差分别是多少？
9．在2008北京奥林匹克运动会的射击项目选拔赛中，A、B两名运动员的射击成绩如下(单位：
环)：
A
10，
10.1，
9.6，9.8，10.2，8.8，
10.4，
9.8，10.1，
9.2
B
9.7，10.1，
10，
9.9，8.9，
9.6，
9.6，
10.3，10.2，
9.7
(1)两名运动员射击成绩的平均数分别是多少？(2)哪位运动员的发挥比较稳定？
【提优特训】
10．某校九(1)班5名学生在某一周零花钱分别为：30、25、25、40、35(单位：元)，对这组数据，以下说法错误的是(　　)
A．极差是15元
B．平均分是31元
C．众数是25元
D．中位数是25元
11．样本数据3、6、a、4、2的平均数是5，则这个样本的标准差是(　　)
A．40
B．8
C．
D．
12．根据下表中的信息解决问题:
数
据
14
15
16
17
18
频
数
4
5
6
3
2
则组数据的中位数和方差为(
)
A．16，1.51
B．15.5，15.1
C．16，15.1
D．15.5，1.4
13．由4个正整数组成的一组数据，其平均数、中位数、众数都是4，则这组数据的方差是(
)
A．4.5
B．4.5或2
C．4.5或2或0.5
D．4.5或2或0.5或0
14．数据2，3，5，7，a，其中整数a是这组数据的中位数，则该组数据的方差是
．
15．“植树节”到来之际，学校相应号召参与植树活动，九年级二班6个小组的植树棵数分别是10、12、8、x、11、9，已知这组数据的众数是10，则该组数据的中位数
极差
方差为
．
16．把一组数据中的每一个数都减去17，得到一组新数据，若这组新数据的平均数为5，方差是1.44，则原来的一组数据的平均数、方差和标准差分别为
、
和
．
17．在八次数学测试中，甲、乙两人的成绩如下：
甲：89，93，88，91，94，90，88，87????????乙：92，90，85，93，95，86，87，92
请你从下列角度比较两人成绩的情况，并说明理由：
(1)分别计算两人的极差；并说明谁的成绩变化范围大；
(2)根据平均数来判断两人的成绩谁优谁次；
(3)根据众数来判断两人的成绩谁优谁次；
(4)根据中位数来判断两人的成绩谁优谁次；
(5)根据方差来判断两人的成绩谁更稳定．
18．阅读理解，并解决问题
引例：已知三个数据x1、x2，x3，求这组数据的方差.
∵，∴这组数据的方差为
.
根据以上的结论可得：一般地，如果一组数据x1、x2，…，xn的个数是n，那么它们的方差可以用下面的公式计算：.
应用：当一组数据中的数绝对值较小时，用公式计算方差比公式计算少了求各数据与平均数的差一步，因此比较方便．
计算下面数据的方差(结果保留到小数点后第1位)：
　　
(1)
3
1
2
1
3
4；
(2)
0
3
2
4
1
1
2
3.
【中考链接】
19、(2020?江苏徐州)小红连续5天的体温数据如下(单位：℃)：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3.关于这组数据，下列说法正确的是(
)
?A．中位数是36.5℃
B．众数是36.2℃
C．平均数是36.2℃
D．极差是0.3℃
20、(2020?山东济宁)下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩(单位:cm)的平均数
和方差.要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是(
)
甲
乙
丙
丁
平均数
376
350
376
350
方差
12.5
13.5
2.4
5.4
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
21、(2020?山东潍坊)为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：
一分钟跳绳个数(个)
141
144
145
146
学生人数(名)
5
2
1
2
?则关于这组数据的结论正确的是(
)
?A．平均数是144
B．众数是141
C．中位数是144.5
D．方差是5.4
22、(2020?山东烟台)如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据(
)
?
A．众数改变，方差改变
B．众数不变，平均数改变
?C．中位数改变，方差不变?
D．中位数不变，平均数不变
23、(2020?河南)
为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：?
[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量(单位：g)如下：
?
甲：501?
497?
498?
502?
513?
489?
506?
490?
505?
486
502?
503?
498?
497?
491?
500
?505?
502?
504
?505
乙：505?
499?
502?
491?
487?
506?
493
?505
?499
?498
502
?503
?501?
490?
501?
502?
511
?499
?499?
501
?[整理数据]整理以上数据，得到每袋质量x(g)的频数分布表．
?质量频数
机器
485≤x＜490
490≤x＜495
495≤x＜500
500≤x＜505
505≤x＜510
510≤x＜515
甲
2
2
4
7
4
1
乙
1
3
5
7
3
1
?
[分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．
?
统计量机器
平
均
数
中
位
数
方差
不合格率
甲
499.7
501.5
42.01
b
乙
499.7
a
31.81
10%
根据以上信息，回答下列问题：
?(1)表格中的a=
，b=
；
(2)综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由．
??
参考答案
1、D
2、B
3、C
4、A
5、4.1
6、2，2
7、①10，4
②10，16
③84，16
10、D
11、C
12、A
13、D
14、3.2或3.24或3.08
15、10，4，
16、22，1.44，1.2
19、B
20、C
21、B
22、C
8．甲，乙两支篮球队队员的身高(单位：cm)如下：
甲队：188，187，189，188，186，188，187，188，188，189，188，190；
乙队：188，189，186，188，189，188，186，188，187，190，187，190；
(1)将下表填完整：
身
高(cm)
186
187
188
189
190
甲队(人数)
2
6
0
乙队(人数)
2
2
2
(2)甲、乙两队队员身高的极差、众数、中位数分别是多少？
(3)这两支篮球队队员身高的方差分别是多少？
解：(1)
身
高(cm)
186
187
188
189
190
甲队(人数)
1
2
6
2
1
乙队(人数)
2
2
4
2
2
(2)甲队员身高的极差为190186=4(cm)，乙队员身高的极差为190186=4(cm)，
∵身高为188
cm的最多，∴甲、乙两队队员身高的众数均为188cm，
∵甲队员身高的中位数应该是将数据由小到大(或由大到小)的顺序排列后的第5、6个数据
的平均数，第5、6个数据均为188、188，
∴中位数为=188(cm)，
∵乙队员身高的中位数应该是将数据由小到大(或由大到小)的顺序排列后的第5、6个数据
的平均数，第5、6个数据均为188、188，
∴中位数为=188(cm)，
(3)
∵=(186+2×187+6×188+2×189+190)=188(cm)，
=(2×186+2×187+4×188+2×189+2×190)=188(cm)．
∴=[(186188)2+2×(187188)2+6×(188188)2+2×(189188)2+(190188)2]=1；
=[2×(186188)2+2×(187188)2+4×(188188)2+2×(189188)2+2×(190188)2]
≈1.67.
9．在2008北京奥林匹克运动会的射击项目选拔赛中，A、B两名运动员的射击成绩如下(单位：
环)：
A
10，
10.1，
9.6，9.8，10.2，8.8，
10.4，
9.8，10.1，
9.2
B
9.7，10.1，
10，
9.9，8.9，
9.6，
9.6，
10.3，10.2，
9.7
(1)两名运动员射击成绩的平均数分别是多少？(2)哪位运动员的发挥比较稳定？
解：=(10+10.1+9.6+9.8+10.2+8.8+10.4+9.8+10.1+9.2)
=9.8．
=(9.7+10.1+10+9.9+8.9+9.6+9.6+10.3+10.2+9.7)
=9.8．
(2)∵
=[(109.8)2
+(10.19.8)
2
+(9.69.8)
2
+(9.89.8)2
+(10.29.8)2
+(8.89.8)
2+(10.49.8)
2
+(9.89.8)
2
+(10.19.8)
2
+(9.29.8)
2
]=0.214．
=[(9.79.8)2
+(10.19.8)2
+(109.8)2
+(9.99.8)2
+(8.99.8)2
+(9.69.8)2
+(9.69.8)2+(10.39.8)
2
+(10.29.8)
2
+(9.79.8)
2
]=0.146．
∴
>，∴B运动员的发挥比较稳定．
17．在八次数学测试中，甲、乙两人的成绩如下：
甲：89，93，88，91，94，90，88，87????????乙：92，90，85，93，95，86，87，92
请你从下列角度比较两人成绩的情况，并说明理由：
(1)分别计算两人的极差；并说明谁的成绩变化范围大；
(2)根据平均数来判断两人的成绩谁优谁次；
(3)根据众数来判断两人的成绩谁优谁次；
(4)根据中位数来判断两人的成绩谁优谁次；
(5)根据方差来判断两人的成绩谁更稳定．
解：(1)∵甲的极差为：9487=7分?，
乙的极差为：9585=10，
7<10，
∴乙的变化范围大；
(2)∵甲的平均数为：=(89+93+88+91+94+90+88+87)
=90，
乙的平均数为：=
(92+90+85+93+95+86+87+92)÷8=90，
∴两人的成绩相当；
(3)∵甲的众数为88，乙的众数为92，
88<92，
∴从众数的角度看乙的成绩稍好；
(4)∵甲的中位数为：89.5，乙的中位数为91，
89.5<91，
∴从中位数的角度看乙的成绩稍好；
(5)甲的方差为：=[
(8990)2+(9390)2+(8890)2+(9190)2
+(9490)2+(9090)2+(8890)2+(8790)2]=5.5
乙的方差为：=[(9290)2+(9090)2+(8590)2+(9390)2
+(9590)2+(8690)2+(8790)2+(9290)2]
=10.375
∵<，∴甲的成绩更稳定．
18．阅读理解，并解决问题
引例：已知三个数据x1、x2，x3，求这组数据的方差.
∵，∴这组数据的方差为
.
根据以上的结论可得：一般地，如果一组数据x1、x2，…，xn的个数是n，那么它们的方差可以用下面的公式计算：.
应用：当一组数据中的数绝对值较小时，用公式计算方差比公式计算少了求各数据与平均数的差一步，因此比较方便．
计算下面数据的方差(结果保留到小数点后第1位)：
　　
(1)
3
1
2
1
3
4；
(2)
0
3
2
4
1
1
2
3.
解：(1)∵，
∴；
(2)∵，
∴.
23、(2020?河南)
为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：?
[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量(单位：g)如下：
?
甲：501?
497?
498?
502?
513?
489?
506?
490?
505?
486
502?
503?
498?
497?
491?
500
?505?
502?
504
?505
乙：505?
499?
502?
491?
487?
506?
493
?505
?499
?498
502
?503
?501?
490?
501?
502?
511
?499
?499?
501
?[整理数据]整理以上数据，得到每袋质量x(g)的频数分布表．
?质量频数
机器
485≤x＜490
490≤x＜495
495≤x＜500
500≤x＜505
505≤x＜510
510≤x＜515
甲
2
2
4
7
4
1
乙
1
3
5
7
3
1
?
[分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．
?
统计量机器
平
均
数
中
位
数
方差
不合格率
甲
499.7
501.5
42.01
b
乙
499.7
a
31.81
10%
根据以上信息，回答下列问题：
?(1)表格中的a=
，b=
；
(2)综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由．
??
解：(1)将乙的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是501，因此中位数是501，
?b=1÷20=0.05=5%，
?故答案为：501，5%；
?(2)选择甲机器，理由：甲的不合格率较小.
例题2的条形图
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精品试卷·第
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