人教版九年级下册数学 27.2.1相似三角形的判定 同步习题（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级下册数学 27.2.1相似三角形的判定 同步习题（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 183.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-23 23:17:51 | ||
图片预览
文档简介
27.2.1相似三角形的判定 同步习题
一．选择题
1．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠F B．且∠B＝∠D
C． D．且∠A＝∠D
2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED的是（ ）
①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
3．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（ ）
A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点
C．CE?CD＝CA?CB D．＝
4．坐标平面上横、纵坐标都为整数的点叫做整点．已知A（2，0），点B（3，1），O为坐标原点，在第一象限内取一整点C，使O，B，C三点所构成的三角形与△AOB相似．那么C点不同的位置一共有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
5．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD
6．如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，一直角三角板的直角顶点与点D重合，这块三角板绕点D旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于G、H，则在运动过程中，△ADG与△CDH的关系是（ ）
A．一定相似 B．一定全等 C．不一定相似 D．无法判断
8．在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．＝且∠B＝∠E
C．＝＝ D．＝且∠A＝∠D
9．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（ ）
A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD
10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD?BC＝DE?AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（ ）
A．1个 B．2 C．3个 D．4个
二．填空题
11．如图，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，过线段AB的中点P（4，3）作一条直线与△AOB交于点Q，使得所截新三角形与△AOB相似，则点Q坐标是 ．
12．△ABC的三边长为，，2，△A'B'C'的两边长为1，，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A'B'C'的第三条边长是 ．
13．在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为 时，使得△BOC∽△AOB．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点P为AC中点，经过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有 条．
15．在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是4×6的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．
三．解答题
16．如图，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分别是AB、A′B′上一点，＝．当＝＝时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D．
（1）求证：△BAD∽△CAD；
（2）若点O是AC边上一点，连接BO交AD于E，OF⊥OB交BC边于点F，求证：△ABE∽△COF．
18．在△ABC中，BC＝10cm，AC＝6cm，点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，沿CA方向以1cm/s的速度向点A移动，若P，Q同时出发，设运动时间为ts，则△CPQ能否与△CBA相似？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠F，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
B、＝且∠B＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
故选：B．
2．解：∵∠A＝∠A，
∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．
∵＝，
∴＝
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故①②③可以判断三角形相似，
故选：B．
3．解：∵CE⊥CD，
∴∠EDC＝90°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCE＝∠DCA＝90°﹣∠BCD，
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴DC＝DB＝DA，
∴∠DAC＝∠A，
∴∠BCE＝∠DCA＝∠A，
∵∠CBA＝2∠A，∠CBA+∠A＝90°，
∴∠A＝∠BCE＝∠DCA＝30°，∠CBA＝60°，
∴∠E＝∠CBA﹣∠BCE＝30°，
∴∠BCE＝∠DCA＝∠E＝∠A，
∴△CEB∽△CAD，
∴A不符合题意，
∵点B是DE的中点，
∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠E，
∴∠BCE＝∠E＝∠DCA＝∠A，
∴△CEB∽△CAD，
∴B不符合题意，
∵CE?CD＝CA?CB，
∴＝，
∵∠BCE＝∠DCA，
∴△CEB∽△CAD，
∴C不符合题意．
由＝，由于∠E和∠A不能判断相等，故不能判断△CEB与△CAD相似，
∴D符合题意，
故选：D．
4．解：∵A（2，0），点B（3，1），
∴AB＝，OA＝2，OB＝，
当点C为（4，3）时，
BC＝，OB＝，OC＝5，
∴＝＝＝，
∴△AOB∽△BOC．
当点C'为（1，1）时，
则OC'＝AB＝，OB＝OB＝，BC'＝OA＝2，
∴△AOB≌△C′BO（SSS），
∴△AOB∽△C'BO，
当点C″为（5，5）时，
则OC″＝5，OB＝，BC″＝2，
∵＝＝＝，
∴△AOB∽△BC″O，
综上所述：当点C为（4，3）或（1，1）或（5，5）时，以O，B，C三点所构成的三角形与△AOB相似，
故选：C．
5．解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴与△BFD相似的三角形是△BDA，
故选：C．
6．解：观察图形可得△EFG中，直角边的比为，
观察各选项，，只有D选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故选：D．
7．解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠EDF＝∠ACB＝90°，
∴∠ADG＝∠CDH，
∵∠DCH+∠ACD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DCH，
∴△ADG∽△CDH，
故选：A．
8．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
B、＝，且∠B＝∠E，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
C、＝＝，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
故选：B．
9．解：∵AD：AC＝1：3，
∴AD：DC＝1：2；
∵△ABC是正三角形，
∴AB＝BC＝AC；
∵AE＝BE，
∴AE：BC＝AE：AB＝1：2
∴AD：DC＝AE：BC；
∵∠A＝∠C＝60°，
∴△AED∽△CBD；
故选：D．
10．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；
②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，
③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；
④由AD?BC＝DE?AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；
故④不符合题意，
⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；
故选：C．
二．填空题
11．解：∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴A（0，6），B（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，AB＝＝＝10，
如图有两种情形：①当PQ∥OB时，满足条件．
∵AP＝PB，
∴AQ＝OQ，
∴Q（0，3）．
②当PQ′⊥AB时，满足条件．连接AQ′．
∵PA＝PB，PQ′⊥AB，
∴Q′A＝Q′B，设Q′A＝Q′B＝m，
在Rt△AOQ′中，则有m2＝62+（8﹣m）2，
解得m＝，
∴OQ′＝8﹣＝，
∴Q′（，0）．
③当PQ∥y轴时，同法可得P（4，0）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，3）或（，0）或（4，0）．
12．解：∵△ABC的三边长分别为：，，2，
∴△ABC的三边长之比为，1：：，比例系数是，
∵△A′B′C′的两边长分别为1和，△ABC∽△A′B′C′，
∴△A′B′C′的第三边的长应等于．
故答案为：．
13．解：∵点A为（4，0），
∴AO＝4；
∵点B为（0，2），
∴OB＝2．
若△BOC∽△AOB．
则：＝．
即：＝，
∴OC＝1．
故点C为（﹣1，0）或者（1，0）．
故答案为：（﹣1，0）或者（1，0）．
14．解：过点P作PE∥AB交AB于点E，△CPE∽△CAB．
过点P作PF∥BC交AB于点F，△APF∽△ACB．
过点P作PG⊥AB交AB于点G，△PGA∽△BCA．
故满足条件的直线有3条，
故答案为：3．
15．解：图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的△A′B′C′如图所示：
S△A′B′C′＝×4×2＝4，
故答案为4．
三．解答题
16．解：相似，理由如下：
∵＝．
∴，
又∵＝＝，
∴，
∴△ADC∽△A′D′C′，
∴∠A＝∠A′，
又∵，
∴△ABC∽△A′B′C′．
17．（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ADB，
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△BAD∽△CAD；
（2）证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠C，
∵OF⊥OB，
∴∠BOA+∠COF＝90°，
∵∠BOA+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠COF，
∴△ABE∽△COF．
18．解：设运动时间为ts，则BP＝2t，CP＝10﹣2t，CQ＝t，
∵∠PCQ＝∠ACB＝90°，
∴当△CPQ和△CAB相似时，有∠CPQ＝∠B或∠CPQ＝∠A，
当∠CPQ＝∠B时，则有＝，
∴＝，
解得t＝．
当∠CPQ＝∠A时，则有＝，
∴＝，
解得t＝．
综上所述，t的值为或．
一．选择题
1．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠F B．且∠B＝∠D
C． D．且∠A＝∠D
2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED的是（ ）
①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
3．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（ ）
A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点
C．CE?CD＝CA?CB D．＝
4．坐标平面上横、纵坐标都为整数的点叫做整点．已知A（2，0），点B（3，1），O为坐标原点，在第一象限内取一整点C，使O，B，C三点所构成的三角形与△AOB相似．那么C点不同的位置一共有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
5．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD
6．如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，一直角三角板的直角顶点与点D重合，这块三角板绕点D旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于G、H，则在运动过程中，△ADG与△CDH的关系是（ ）
A．一定相似 B．一定全等 C．不一定相似 D．无法判断
8．在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．＝且∠B＝∠E
C．＝＝ D．＝且∠A＝∠D
9．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（ ）
A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD
10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD?BC＝DE?AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（ ）
A．1个 B．2 C．3个 D．4个
二．填空题
11．如图，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，过线段AB的中点P（4，3）作一条直线与△AOB交于点Q，使得所截新三角形与△AOB相似，则点Q坐标是 ．
12．△ABC的三边长为，，2，△A'B'C'的两边长为1，，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A'B'C'的第三条边长是 ．
13．在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为 时，使得△BOC∽△AOB．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点P为AC中点，经过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有 条．
15．在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是4×6的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．
三．解答题
16．如图，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分别是AB、A′B′上一点，＝．当＝＝时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D．
（1）求证：△BAD∽△CAD；
（2）若点O是AC边上一点，连接BO交AD于E，OF⊥OB交BC边于点F，求证：△ABE∽△COF．
18．在△ABC中，BC＝10cm，AC＝6cm，点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，沿CA方向以1cm/s的速度向点A移动，若P，Q同时出发，设运动时间为ts，则△CPQ能否与△CBA相似？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠F，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
B、＝且∠B＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
故选：B．
2．解：∵∠A＝∠A，
∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．
∵＝，
∴＝
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故①②③可以判断三角形相似，
故选：B．
3．解：∵CE⊥CD，
∴∠EDC＝90°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCE＝∠DCA＝90°﹣∠BCD，
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴DC＝DB＝DA，
∴∠DAC＝∠A，
∴∠BCE＝∠DCA＝∠A，
∵∠CBA＝2∠A，∠CBA+∠A＝90°，
∴∠A＝∠BCE＝∠DCA＝30°，∠CBA＝60°，
∴∠E＝∠CBA﹣∠BCE＝30°，
∴∠BCE＝∠DCA＝∠E＝∠A，
∴△CEB∽△CAD，
∴A不符合题意，
∵点B是DE的中点，
∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠E，
∴∠BCE＝∠E＝∠DCA＝∠A，
∴△CEB∽△CAD，
∴B不符合题意，
∵CE?CD＝CA?CB，
∴＝，
∵∠BCE＝∠DCA，
∴△CEB∽△CAD，
∴C不符合题意．
由＝，由于∠E和∠A不能判断相等，故不能判断△CEB与△CAD相似，
∴D符合题意，
故选：D．
4．解：∵A（2，0），点B（3，1），
∴AB＝，OA＝2，OB＝，
当点C为（4，3）时，
BC＝，OB＝，OC＝5，
∴＝＝＝，
∴△AOB∽△BOC．
当点C'为（1，1）时，
则OC'＝AB＝，OB＝OB＝，BC'＝OA＝2，
∴△AOB≌△C′BO（SSS），
∴△AOB∽△C'BO，
当点C″为（5，5）时，
则OC″＝5，OB＝，BC″＝2，
∵＝＝＝，
∴△AOB∽△BC″O，
综上所述：当点C为（4，3）或（1，1）或（5，5）时，以O，B，C三点所构成的三角形与△AOB相似，
故选：C．
5．解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴与△BFD相似的三角形是△BDA，
故选：C．
6．解：观察图形可得△EFG中，直角边的比为，
观察各选项，，只有D选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故选：D．
7．解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠EDF＝∠ACB＝90°，
∴∠ADG＝∠CDH，
∵∠DCH+∠ACD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DCH，
∴△ADG∽△CDH，
故选：A．
8．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
B、＝，且∠B＝∠E，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
C、＝＝，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
故选：B．
9．解：∵AD：AC＝1：3，
∴AD：DC＝1：2；
∵△ABC是正三角形，
∴AB＝BC＝AC；
∵AE＝BE，
∴AE：BC＝AE：AB＝1：2
∴AD：DC＝AE：BC；
∵∠A＝∠C＝60°，
∴△AED∽△CBD；
故选：D．
10．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；
②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，
③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；
④由AD?BC＝DE?AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；
故④不符合题意，
⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；
故选：C．
二．填空题
11．解：∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴A（0，6），B（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，AB＝＝＝10，
如图有两种情形：①当PQ∥OB时，满足条件．
∵AP＝PB，
∴AQ＝OQ，
∴Q（0，3）．
②当PQ′⊥AB时，满足条件．连接AQ′．
∵PA＝PB，PQ′⊥AB，
∴Q′A＝Q′B，设Q′A＝Q′B＝m，
在Rt△AOQ′中，则有m2＝62+（8﹣m）2，
解得m＝，
∴OQ′＝8﹣＝，
∴Q′（，0）．
③当PQ∥y轴时，同法可得P（4，0）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，3）或（，0）或（4，0）．
12．解：∵△ABC的三边长分别为：，，2，
∴△ABC的三边长之比为，1：：，比例系数是，
∵△A′B′C′的两边长分别为1和，△ABC∽△A′B′C′，
∴△A′B′C′的第三边的长应等于．
故答案为：．
13．解：∵点A为（4，0），
∴AO＝4；
∵点B为（0，2），
∴OB＝2．
若△BOC∽△AOB．
则：＝．
即：＝，
∴OC＝1．
故点C为（﹣1，0）或者（1，0）．
故答案为：（﹣1，0）或者（1，0）．
14．解：过点P作PE∥AB交AB于点E，△CPE∽△CAB．
过点P作PF∥BC交AB于点F，△APF∽△ACB．
过点P作PG⊥AB交AB于点G，△PGA∽△BCA．
故满足条件的直线有3条，
故答案为：3．
15．解：图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的△A′B′C′如图所示：
S△A′B′C′＝×4×2＝4，
故答案为4．
三．解答题
16．解：相似，理由如下：
∵＝．
∴，
又∵＝＝，
∴，
∴△ADC∽△A′D′C′，
∴∠A＝∠A′，
又∵，
∴△ABC∽△A′B′C′．
17．（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ADB，
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△BAD∽△CAD；
（2）证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠C，
∵OF⊥OB，
∴∠BOA+∠COF＝90°，
∵∠BOA+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠COF，
∴△ABE∽△COF．
18．解：设运动时间为ts，则BP＝2t，CP＝10﹣2t，CQ＝t，
∵∠PCQ＝∠ACB＝90°，
∴当△CPQ和△CAB相似时，有∠CPQ＝∠B或∠CPQ＝∠A，
当∠CPQ＝∠B时，则有＝，
∴＝，
解得t＝．
当∠CPQ＝∠A时，则有＝，
∴＝，
解得t＝．
综上所述，t的值为或．