北师大版九年级下册数学 3.3垂径定理 同步习题（Word版 含解析）

3.3垂径定理 同步习题
一．选择题
1．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB的延长线上一点，BP＝2cm，则OP等于（　　）
A．cm B．3 cm C．cm D．cm
2．半径为5的圆内有长为的弦，则此弦所对的圆周角为（　　）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或120°
3．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（﹣3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝﹣x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）
A．4 B． C． D．
4．如图，M是以AB为直径的半圆⊙O的内接四边形ABCD边CD的中点，MN⊥AB于点N，半圆的面积为π，AD＝AN＝3，则BC＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．2.5
6．如图，将沿弦AB翻折过圆心O点，交弦AC于D，AD＝1，CD＝2，则AB长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在半圆O中，AB为直径，CD是一条弦，若△COD的最大面积是12.5，则弦CD的值为（　　）
A． B．5 C．5 D．12.5
8．如图，在⊙O中直径AB＝8，弦AC＝CD＝2，则BD长为（　　）
A．7 B．6 C．3 D．
9．如图，⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于点P，则∠PAB的大小为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
10．如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一动点，作DE⊥AB于点C，交⊙O于点E，过点D作直线EB的垂线，垂足为点F．若AB＝20，EF＝3BF，则AC的长度可能为（　　）
A． B．5 C．15 D．18
二．填空题
11．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝6，则AD＝　 　．
12．如图，在⊙O中，C是弦AB上一点，AC＝2，CB＝4．连接OC，过点C作DC⊥OC，与⊙O交于点D，DC的长为　 　．
13．如图，在△ABC中，∠A＝62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是　 　．
14．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知HD＝4，BD＝5，则OA的长度为　 　．
15．如图，在⊙O中，AB是直径，弦BE的垂直平分线交⊙O于点C，CD⊥AB于D，AD＝1，BE＝6，则BD的长为　 　．
三．解答题
16．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
（1）求BD的长；
（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．
17．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC于D、E、F、G．
（1）求证：CD＝EF；
（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．
参考答案
一．选择题
1．解：过O作OC⊥AB于C，
则∠OCP＝∠ACO＝90°，
∵OC⊥AB，OC过O，
∴AC＝BC＝AB＝×8cm＝4cm，
∵BP＝2cm，
∴PC＝BC+BP＝6cm，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC＝＝＝3（cm），
在Rt△PCO中，由勾股定理得：OP＝＝＝3（cm），
故选：D．
2．解：如图所示，
∵OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD＝BD＝，
在Rt△AOD中，OA＝5，AD＝，
∴sin∠AOD＝＝，
又∵∠AOD为锐角，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
又∵圆内接四边形AEBC对角互补，
∴∠AEB＝120°，
则此弦所对的圆周角为60°或120°．
故选：C．
3．解：过P作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图：
∵⊙P的圆心坐标是（﹣3，a），
∴OC＝3，PC＝a，
把x＝3代入y＝﹣x得：y＝﹣3，
∴D点坐标为（3，﹣3），
∴CD＝OC＝3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴∠CDO＝45°，
∵PE⊥AB，
∴△PED为等腰直角三角形，AE＝BE＝AB＝×4＝2，
在Rt△PBE中，PB＝3，
∴PE＝＝1，
∴PD＝PE＝，
∴PC＝CD+PD＝3+，
即a＝3+，
故选：B．
4．解：作DE⊥AB于E，OF⊥AD于F，CP⊥AB于P，连接OC，如图所示：
则AF＝DF＝AD＝，
∵MN⊥AB，
∴DE∥MN∥CP，
∵M是CD的中点，
∴EN＝PN，
∵半圆的面积为π＝π×OA2，
∴OA＝5，
∵∠DEA＝∠OFA＝90°，∠DAE＝∠OAF，
∴△ADE∽△AOF，
∴＝＝，
∴AE＝AF＝×＝，
∴PN＝EN＝AN﹣AE＝3﹣＝，
∴PA＝AE+EN+PN＝，
∴OP＝PA﹣OA＝，BP＝OB﹣OP＝，
∵CP⊥AB，
∴CP2＝OC2﹣OP2＝BC2﹣BP2，即52﹣（）2＝BC2﹣（）2，
解得：BC＝7；
故选：D．
5．解：设⊙O的半径为r．
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，∵∠ACO＝90°，
∴OA2＝OC2+AC2，
∴r2＝（r﹣1）2+22，
∴r＝，
∴OC＝，
∵OA＝OE，AC＝CB，
∴BE＝2OC＝3，
故选：A．
6．解：
过点O作OF⊥AB于F，过点B作BE⊥AC于E，连接OA、OB、BD、BC，
∵OF＝OA，
∴∠AOF＝∠BOF＝60°，
∴∠ADB＝∠AOB＝120°，∠ACB＝∠AOB＝60°，
∴∠CDB＝∠ACB＝60°，
∴△CDB为等边三角形，
∵CD＝2，
∴DE＝1，BE＝，
∴AB＝＝＝，
故选：D．
7．解：如图，作DH⊥CO交CO的延长线于H．
∵S△COD＝?OC?DH，
∵DH≤OD，
∴当DH＝OD时，△COD的面积最大，此时△COD是等腰直角三角形，∠COD＝90°，
∴CD＝OC，
∵?OC2＝12.5，
∴OC＝5，
∴CD＝5．
故选：C．
8．解：如图，连接OC，AD，AD交OC于E．作OH⊥AC于H．
∵AC＝CD，
∴＝，
∴OC⊥AD，
∴DE＝AE，
∵OA＝OB，
∴BD＝2OE，
∵OC＝OA＝4，OH⊥AC，
∴HC＝AH＝1，
∴OH＝＝，
∵?AC?OH＝?OC?AE，
∴AE＝，
∴OE＝＝，
∴BD＝2OE＝7，
故选：A．
9．解：连接OB，
∵四边形ABCO是菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OP⊥AB，
∴∠BOP＝∠AOB＝30°，
由圆周角定理得，∠PAB＝∠BOP＝15°，
故选：A．
10．解：设AC＝x，EF＝y，
在Rt△ODC中，CE＝CD＝＝．
在Rt△BEC中，BE＝．
∵DF⊥EB，
∴cos∠E＝，
∴，
∴y与x之间的函数解析式为y＝．
①当点F在线段EB上时（图1），
∵EF＝3BF，
∴EF＝BE，得＝×，
解得x1＝20（不符合题意），x2＝．
②当点F在线段EB的延长线上时（如图2），同理，BE＝，EF＝
∵EF＝3BF，
∴EF＝BE，得＝×，
解得x1＝20（不符合题意），x2＝15．
∴线段AC的长为或15．
故选：C．
二．填空题
11．解：
∵CE＝2，DE＝6，
∴CD＝DE+CE＝8，
∴OD＝OB＝OC＝4，
∴OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，
∵CD⊥AB，CD过O，
∴AE＝BE＝2，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD＝＝＝4，
故答案为：4．
12．解：延长DC交⊙O于点E．
∵OC⊥DE，
∴DC＝CE，
∵AC?CB＝DC?CE（相交弦定理，可以证明△ADC∽△EBC得到），
∴DC2＝2×4＝8，
∵DC＞0，
∴DC＝2，
故答案为2．
13．解：∵△ABC中∠A＝62°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1+∠3＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣62°）＝59°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣59°＝121°．
故答案是：121°．
14．解：∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴CH＝HD，AB⊥CD，
∴∠BHD＝90°，
∵HD＝4，BD＝5，
∴BH＝3，
设OA＝x，连接OD，
可得：x2＝42+（x﹣3）2，
解得：x＝，
即OA＝，
故答案为：．
15．解：弦BE的垂直平分线交BE于点F．
∴BF＝BE＝3，∠BFO＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ODC＝∠BFO＝90°，
∵OB＝OC，∠BOF＝∠COD，
∴△BOF≌△COD（AAS），
∴CD＝BF＝3，
设⊙O的半径为r，则OD＝r﹣1，
由勾股定理得：OC2＝OD2+CD2，
r2＝（r﹣1）2+32，
r＝5，
∴BD＝AB﹣1＝2×5﹣1＝9，
故答案为：9．
三．解答题
16．解：（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．
∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，
∴AB＝＝，
∵?AB?AC＝?BC?AH，
∴AH＝＝2，
∴BH＝＝1，
∵AB＝AD，AH⊥BD，
∴BH＝HD＝1，
∴BD＝2．
（2）作DM⊥AC于M．
∵S△ACB＝S△ABD+S△ACD，
∴××2＝×2×2+×2×DM，
∴DM＝，
∴sin∠DAC＝＝＝．
17．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG．
（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（）2+42，
解得r＝或（舍弃），
∴⊙O的半径为．
18．（1）证明：作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OH⊥CG于G，连接OE、OD，
∵点O为△ABC的角平分线交点，
∴OM＝ON，
∵OE＝OD＝OC，
∴RT△OME≌RT△OND（HL），
∴ME＝ND，
∵EF＝2ME，CD＝2ND，
∴CD＝EF；
（2）解：由（1）可知CD＝EF＝CG，
∵点O为△ABC的角平分线交点，
∴OM＝ON＝OH，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ONCH是正方形，
∴OM＝ON＝OH＝CD＝EF＝CG，
∵OC＝4，
∴OH＝OC＝4，
∴EF＝CD＝CG＝8，
易证得AM＝AN＝6，BM＝BH，
∴AC＝10，
设BM＝BH＝x，则BC＝x+4，AB＝x+6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即（6+x）2＝102+（4+x）2，
解得x＝20，
∴BM＝20，
∴AB＝AM+BM＝20+6＝26．