模块综合评估(二)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．已知命题p：任意x∈R，x2－x＋>0，则綈p为( B )
A．任意x∈R，x2－x＋≤0
B．存在x∈R，x2－x＋≤0
C．存在x∈R，x2－x＋>0
D．任意x∈R，x2－x＋≥0
解析：全称命题的否定是特称命题．
2．双曲线－＝1的焦距是( C )
A．4
B．2
C．8
D．与m有关
解析：依题意，a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c＝＝＝4.所以焦距2c＝8.
3．设p：1
1，则p是q成立的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当11，得x>0，∴q?p，故选A.
4．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有( D )
A．相同的短轴
B．相同的长轴
C．相同的离心率
D．以上都不对
解析：对于＋＝1，因为a2>9或a2<9，所以这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率的关系是不确定的，
因此A，B，C均不正确，故选D.
5．以椭圆＋＝1的右焦点为圆心，且与双曲线－＝1的渐近线相切的圆的方程是( A )
A．x2＋y2－10x＋9＝0
B．x2＋y2－10x－9＝0
C．x2＋y2＋10x＋9＝0
D．x2＋y2＋10x－9＝0
解析：椭圆右焦点F(5,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，则焦点F到y＝x的距离为4，
所以圆的方程为(x－5)2＋y2＝16，即x2＋y2－10x＋9＝0.
6．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|－|FB||的值为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：直线AB的方程为y＝(x－1)，由得3x2－10x＋3＝0，故x1＝3，x2＝，
所以||FA|－|FB||＝|x1－x2|＝，故选A.
7．如图，在空间直角坐标系中有三棱柱ABC?A1B1C1，已知CA＝CC1＝2CB，则直线AB1与直线BC1的夹角的余弦值为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：设CB＝a，则CA＝CC1＝2a，∴A(2a,0,0)，B(0,0，a)，C1(0,2a,0)，B1(0,2a，a)，∴＝(－2a,2a，a)，＝(0,2a，－a)，∴cos〈，〉＝＝，故选A.
8．若命题p：任意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是( B )
A．a≤－3或a>2
B．a≥2
C．a>－2
D．－2解析：依题意ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，
所以有??a≥2.
9.在三棱锥P?ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是( A )
A．(1,1，)
B．(1，，1)
C．(1,1,1)
D．(2，－2,1)
解析：＝(1,0，－2)，＝(－1,1,0)，设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y,1)，
则解得∴n＝(2,2,1)．又(1,1，)＝n，∴A正确．
10．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意得，点P的坐标为(－c，)或(－c，－)，因为∠F1PF2＝60°，所以＝，
即2ac＝b2＝(a2－c2)，所以e2＋2e－＝0，解得e＝或e＝－(舍去)．
11．已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( A )
A.
B.
C.
D.
解析：
设AB＝1，则AA1＝2，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
则D(0,0,2)，C1(0,1,0)，B(1,1,2)，C(0,1,2)，＝(1,1,0)，＝(0,1，－2)，＝(0,1,0)，
设n＝(x，y，z)为平面BDC1的一个法向量，则即取n＝(－2,2,1)，
设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ＝||＝.
12．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝2AD，设∠DAB＝θ，θ∈，若以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则( B )
A．当θ增大时，e1增大，e1·e2为定值
B．当θ增大时，e1减小，e1·e2为定值
C．当θ增大时，e1增大，e1·e2增大
D．当θ增大时，e1减小，e1·e2减小
解析：连接DB，AC，由题意，可知双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝.
设|AD|＝|BC|＝t，则|AB|＝2t，|CD|＝2t－2tcosθ，|AC|＝|BD|＝t，
所以e1＝，e2＝，所以e1e2＝1.又θ∈，故当θ增大时，cosθ减小，e1减小，故选B.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．“a，G，b三个数成等比数列”是“G＝”的既不充分也不必要条件．
解析：若a，G，b三个数成等比数列可得G＝±，因此充分性不成立；而如果G＝，则当a＝G＝0，b＝1时，a，G，b三个数不成等比数列，必要性不成立．
14．已知空间三点的坐标为A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)，若A，B，C三点共线，则p＋q＝5.
解析：由已知得＝k，所以(p－1，－2，q＋4)＝k(1，－1,3)，得到p＝3，q＝2，所以p＋q＝5.
15．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝1，则cos∠F1PF2＝.
解析：椭圆焦点在y轴上，a2＝4，b2＝3，c＝1，又P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝4，又|PF1|－|PF2|＝1，
所以|PF1|＝，|PF2|＝，又|F1F2|＝2c＝2，所以cos∠F1PF2＝＝.
16．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线的斜率等于±1.
解析：设直线l的方程为y＝k(x＋1)，联立消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由根与系数的关系得，xA＋xB＝－，于是xQ＝＝－1，把xQ代入y＝k(x＋1)，得到yQ＝，根据|FQ|＝＝2，解出k＝±1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知命题p：不等式|x－1|>m－1的解集为R，命题q：f(x)＝－(5－2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
解：由于不等式|x－1|>m－1的解集为R，所以m－1<0，m<1.又由于f(x)＝－(5－2m)x是减函数，所以5－2m>1，m<2.
即命题p：m<1，命题q：m<2.又由于p或q为真，p且q为假，所以p和q中一真一假．当p真q假时应有无解；
当p假q真时应有得1≤m<2.故实数m的取值范围是1≤m<2.
18．(本小题12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且a2＝2b.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于A、B两点，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
解：(1)由题意得解得故椭圆的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．联立直线与椭圆的方程得
即3x2＋2mx＋m2－2＝0，所以x0＝＝－，y0＝x0＋m＝，即M，
又因为M点在圆x2＋y2＝5上，所以2＋2＝5，解得m＝±3.
19．(本小题12分)已知直线l：y＝2x－16，抛物线C：y2＝ax(a>0)．
(1)若抛物线C的焦点F在直线l上，试确定抛物线C的方程；
(2)若△ABC的三个顶点都在(1)所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标为8，△ABC的重心恰为抛物线C的焦点F，求直线BC的斜率．
解：(1)直线l与x轴的交点为(8,0)，因此抛物线C的焦点为F(8,0)，所以a＝32，所求抛物线的方程为y2＝32x.
(2)因为点A的纵坐标为8，所以A(2,8)．又F(8,0)为△ABC的重心，设B(x2，y2)，C(x3，y3)，则有＝8，＝0，
则y2＋y3＝－8，kBC＝＝＝＝－4，即直线BC的斜率为－4.
20．(本小题12分)如图，在平面内直线EF与线段AB相交于点C，∠BCF＝30°，且AC＝CB＝4，将此平面沿直线EF折成60°的二面角α?EF?β.又BP⊥平面α，点P为垂足．
(1)求∠ACP的正弦值；
(2)求异面直线AB与EF所成角的正切值．
解：如图，在平面α内，过点P作PM⊥EF，点M为垂足，连接BM，则∠BMP为二面角α?EF?β的平面角．以点P为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系P?xyz.
(1)在Rt△BMC中，由∠BCM＝30°，CB＝4，得CM＝2，BM＝2.在Rt△BMP中，由∠BMP＝60°，BM＝2，得MP＝1，BP＝.
故P(0,0,0)，B(0,0，)，C(－1，－2，0)，M(－1,0,0)．由∠ACM＝150°，AC＝4，得A(1，－4，0)．
所以＝(1,2，0)，＝(2，－2，0)，则cos∠ACP＝＝－，所以sin∠ACP＝.
(2)AB与EF所成的角即AB与CM所成的角．又＝(1，－4，－)，＝(0，－2，0)，所以cos〈，〉＝，
所以sin〈，〉＝，tan〈，〉＝.即AB与EF所成角的正切值为.
21．(本小题12分)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°.
(1)若异面直线A1B与B1C1所成的角为60°，求棱柱的高；
(2)设D是BB1的中点，DC1与平面A1BC1所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sinθ的最大值．
解：
建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，设AA1＝h(h>0)，
则有B(1,0,0)，B1(1,0，h)，C1(0,1，h)，A1(0,0，h)，＝(－1,1,0)，＝(0,1,0)，＝(1,0，－h)．
(1)因为异面直线A1B与B1C1所成的角为60°，所以cos60°＝，即＝，得＝，
解得h＝1，所以棱柱的高为1.
(2)由D是BB1的中点，得D，于是＝.设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则由n⊥，n⊥，
可得即令z＝1，则x＝h，y＝0，所以可取n＝(h,0,1)，
于是sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
令f(h)＝＝.因为h2＋＋9≥2＋9，当且仅当h2＝，即h＝时，等号成立，
所以f(h)≤＝＝，故当h＝时，sinθ取最大值为.
22．(本小题12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2.直线l：y＝kx＋m(m≠0)与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若线段AB中点的横坐标为，求k的值；
(3)若以弦AB为直径的圆经过椭圆C的右顶点M，则直线l是否经过定点(除右顶点外)？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．
解：(1)依题意，有＝，即a＝c，所以b＝c.又椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即bc＝2，
故b＝c＝，a＝2.所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)联立直线l的方程与椭圆C的方程，即消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系，可得x1＋x2＝，x1x2＝.由题意x1＋x2＝＝m，
因为m≠0，所以＝1，即2k2＋4k＋1＝0，解得k＝－1－或k＝－1＋.
(3)椭圆的右顶点为M(2,0)．若以弦AB为直径的圆经过椭圆的右顶点M，则MA⊥MB.则·＝0，所以(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0.而y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，
故x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝(4k2＋8km＋3m2)＝0，
所以4k2＋8km＋3m2＝0，即(2k＋m)(2k＋3m)＝0，解得m＝－2k或m＝－.所以直线l经过定点(2,0)，，
又点(2,0)为椭圆的右顶点，不合题意，故直线l恒过定点.??模块综合评估(二)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．已知命题p：任意x∈R，x2－x＋>0，则綈p为( )
A．任意x∈R，x2－x＋≤0
B．存在x∈R，x2－x＋≤0
C．存在x∈R，x2－x＋>0
D．任意x∈R，x2－x＋≥0
2．双曲线－＝1的焦距是( )
A．4
B．2
C．8
D．与m有关
3．设p：11，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有( )
A．相同的短轴
B．相同的长轴
C．相同的离心率
D．以上都不对
5．以椭圆＋＝1的右焦点为圆心，且与双曲线－＝1的渐近线相切的圆的方程是( )
A．x2＋y2－10x＋9＝0
B．x2＋y2－10x－9＝0
C．x2＋y2＋10x＋9＝0
D．x2＋y2＋10x－9＝0
6．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|－|FB||的值为( )
A.
B.
C.
D.
7．如图，在空间直角坐标系中有三棱柱ABC?A1B1C1，已知CA＝CC1＝2CB，则直线AB1与直线BC1的夹角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8．若命题p：任意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－3或a>2
B．a≥2
C．a>－2
D．－29.在三棱锥P?ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是( )
A．(1,1，)
B．(1，，1)
C．(1,1,1)
D．(2，－2,1)
10．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
11．已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A.
B.
C.
D.
12．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝2AD，设∠DAB＝θ，θ∈，若以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则( )
A．当θ增大时，e1增大，e1·e2为定值
B．当θ增大时，e1减小，e1·e2为定值
C．当θ增大时，e1增大，e1·e2增大
D．当θ增大时，e1减小，e1·e2减小
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．“a，G，b三个数成等比数列”是“G＝”的(
)条件．
14．已知空间三点的坐标为A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)，若A，B，C三点共线，则p＋q＝(
)
15．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝1，则cos∠F1PF2＝(
)
16．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线的斜率等于(
).
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知命题p：不等式|x－1|>m－1的解集为R，命题q：f(x)＝－(5－2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
18．(本小题12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且a2＝2b.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于A、B两点，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
19．(本小题12分)已知直线l：y＝2x－16，抛物线C：y2＝ax(a>0)．
(1)若抛物线C的焦点F在直线l上，试确定抛物线C的方程；
(2)若△ABC的三个顶点都在(1)所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标为8，△ABC的重心恰为抛物线C的焦点F，求直线BC的斜率．
20．(本小题12分)如图，在平面内直线EF与线段AB相交于点C，∠BCF＝30°，且AC＝CB＝4，将此平面沿直线EF折成60°的二面角α?EF?β.又BP⊥平面α，点P为垂足．
(1)求∠ACP的正弦值；
(2)求异面直线AB与EF所成角的正切值．
21．(本小题12分)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°.
(1)若异面直线A1B与B1C1所成的角为60°，求棱柱的高；
(2)设D是BB1的中点，DC1与平面A1BC1所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sinθ的最大值．
22．(本小题12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2.直线l：y＝kx＋m(m≠0)与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若线段AB中点的横坐标为，求k的值；
(3)若以弦AB为直径的圆经过椭圆C的右顶点M，则直线l是否经过定点(除右顶点外)？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．