苏科版九年级下册数学 7.6用锐角三角函数解决问题 同步习题（Word版 含解析）

7.6用锐角三角函数解决问题 同步习题
一．选择题
1．如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，且测得D、B相距30m，则塔高BC为（　　）m．
A．40 B．45 C．30+ D．30
2．如图，已知点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，则在这个过程中，从A观测点C的俯角将（　　）
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
3．如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD，BD＝2CD，设斜坡AC的坡度为iAC，坡角为∠ACD，斜坡AB的坡度为iAB，坡角为∠ABD，则下列结论正确的是（　　）
A．iAC＝2iAB B．∠ACD＝2∠ABD C．2iAC＝iAB D．2∠ACD＝∠ABD
4．如图，小王在山坡上E处，用高1.5米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为25°，DE平行于地面BC，若DE＝2米，BC＝10米，山坡CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝5米，则铁塔AB的高度约是（　　）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47 ）
A．11.1米 B．11.8米 C．12.0米 D．12.6米
5．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（　　）m．
A．10 B．15 C．15 D．15﹣5
6．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下HD长的人行道，问人行道HD的长度是（　　）米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．2.7 B．3.4 C．2.5 D．3.1
7．如图，一个直角梯形的堤坝坡长AB为6米，斜坡AB的坡角为60°，为了改善堤坝的稳固性，准备将其坡角改为45°，则调整后的斜坡AE的长度为（　　）
A．3米 B．3米 C．（3﹣2）米 D．（3﹣3）米
8．为加快5G网络建设，某移动通信公司在一个坡度为2：1的山腰上建了一座5G信号通信塔AB，在距山脚C处水平距离39米的点D测得通信塔底B处的仰角是35°，测得通信塔顶A处的仰角是49°（如图），则通信塔AB的高度约为（　　）参考数据：sin35°＝0.57，tan35°＝0.70，sin49°＝0.75，tan49°＝1.15）
A．27米 B．31米 C．48米 D．52米
9．如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　）
A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里
10．“五一”期间，小明和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（　　）米．（＝1.41，＝1.73）
A．14 B．15 C．19 D．20
二．填空题
11．如图，在坡角为30°的斜坡上有两棵树，它们间的水平距离AC为3m，则这两棵树间的坡面距离AB的长为　 　m．
12．如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B与船C之间的距离为　 　海里．
13．如图，为了测量矗立在高速公路上水平地面上的交通警示牌的高度CD，在与M相距4米的A处，测得警示牌下端D的仰角为45°，再笔直往前走8米到达B处，在B处测得警示牌上端C的仰角为30°，则警示牌CD的高度为　 　米（结果保留根号）．
14．水务人员为考察水情，乘快艇以每秒10米的速度沿平行于岸边的航线AB由西向东行驶．如图所示，在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达点B处，测得建筑物P在北偏西60°方向上，则建筑物P到航线AB的距离为　 　米．
15．2019年，徐州马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅度提升了徐州市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度　 　m．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．
三．解答题
16．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杄顶端E的俯角α是45°，旗杄底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是10米，梯坎坡长BC是10米，梯坎坡度iBC＝1：，求大楼AB的高．
17．如图，在瞭望塔AB前有一段坡比为1：的斜坡BC，经测量BC＝8米，在海岸上取点D，使CD＝45米，在点D测得瞭望塔顶端A的仰角为40°，求瞭望塔AB的高度约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.41）
18．某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图1所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走16米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图2所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41，≈1.73）
参考答案
一．选择题
1．解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵∠BDE＝30°，BD＝30m，
∴BE＝BD＝15m，
∵AD＝30m，
∴CE＝30m，
∴BC＝CE+BE＝30+15＝45m．
故选：B．
2．解：点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，则在这个过程中，从A观测点C的俯角将增大，
故选：A．
3．解：斜坡AC的坡度iAC＝，斜坡AB的坡度iAB＝，
∵BD＝2CD，
∴iAC＝2iAB，A正确，C错误；
∠ACD≠2∠ABD，B错误；
2∠ACD≠∠ABD，D错误；
故选：A．
4．解：如图，过点E、F分别作AB的垂线，垂足分别为G、H，得矩形EFHG，
∴GH＝EF＝1.5，HF＝GE＝GD+DE＝GD+2，
过点D作BC延长线的垂线，垂足为M，
得矩形DMBG，
∵CD的坡度i＝1：0.75＝4：3，CD＝5，
∴DM＝4，CM＝3，
∴DG＝BM＝BC+CM＝10+3＝13，BG＝DM＝4，
∴HF＝DG+2＝15，
在Rt△AFH中，∠AFH＝25°，
∴AH＝FH?tan25°≈15×0.47≈7.05，
∴AB＝AH+HG+GB≈7.05+1.5+4≈12.6（米）．
答：铁塔AB的高度约是12.6米．
故选：D．
5．解：在Rt△CDE中，
∵CD＝10m，DE＝5m，
∴sin∠DCE＝，
∴∠DCE＝30°．
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，
∴∠BGF＝60°
∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．
∵∠BDF＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC＝＝＝10（m），
∴AB＝BC?sin60°＝10×＝15（m）．
故选：B．
6．解：根据题意可知：
∠CBA＝90°，∠CAB＝45°，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝CB＝10，
AH＝10，
设DH＝x米，则AD＝AH﹣DH＝（10﹣x）米，
∴BD＝AD+AB＝（20﹣x）米，
在Rt△DCB中，∠CDB＝30°，
∴tan30°＝，
即＝，
解得x≈2.7．
所以人行道HD的长度是2.7米．
故选：A．
7．解：作AH⊥BC于H，
在Rt△ABH中，sin∠ABH＝，cos∠ABH＝，
则AH＝AB?sin∠ABH＝6×＝3，
∵∠E＝45°，
∴AE＝AH＝×3＝3，
故选：A．
8．解：设CE＝x米，
∵斜坡BC的坡度为2：1，
∴BE＝2x米，
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝，
则＝0.7，
解得，x＝21，
∴DE＝39+x＝60，
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，
则AE＝DE?tan∠ADE＝69，
∴AB＝AE﹣BE＝69﹣42＝27（米），
故选：A．
9．解：作CE⊥AB交AB 的延长线于E，
由题意得，AB＝24×＝12，∠CBE＝60°，∠CAE＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴BC＝AB＝12，
在Rt△CBE中，sin∠CBE＝，
∴CE＝BC×sin∠CBE＝12×＝6（海里），
故选：B．
10．解：作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，
∵∠EBF＝45°，
∴∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝8×＝4，
在Rt△ECF中，tan∠ECF＝，
则CF＝EF，
在Rt△EBF中，∠EBF＝45°，
∴BF＝EF，
由题意得，EF﹣EF＝10，
解得，EF＝5+5，
则DE＝EF+DF＝5+5+4≈19，
故选：C．
二．填空题
11．解：由题意知，在Rt△ABC中，AC＝3m，∠A＝30°，
∵cos∠A＝，
∴AB＝＝＝6（m），
故答案为：6．
12．解：根据题意得：∠BAC＝90°，AB＝12海里，AC＝9海里，
在Rt△ABC中，BC＝＝15海里，
故答案为：15．
13．解：在Rt△ADM中，
∵AM＝4，∠MAD＝45°，
∴DM＝AM＝4，
∵AB＝8，
∴MB＝AM+AB＝12，
在Rt△BCM中，∵∠MBC＝30°，
∴MC＝MBtan30°＝4，
∴DC＝MC﹣DM＝（4﹣4）（米）
答：警示牌的高度CD为（4﹣4）米，
故答案为：（4﹣4）．
14．解：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠PAC＝60°，∠PBC＝30°，
在Rt△PAC中，＝tan∠PAC＝tan60°，
∴AC＝PC，
在Rt△PBC中，＝tan∠PBC＝tan30°，
∴BC＝PC，
∵AB＝AC+BC＝PC＝10×40＝400，
∴PC＝100（米），
故答案为：100．
15．解：作CE⊥AB于E，
则四边形CDBE为矩形，
∴CE＝DB，CD＝BE，
在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，
∴AB＝DB＝20，
∴CE＝20，
在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，
∴AE＝CE?tan∠ACE≈20×0.70＝14，
∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6m，
故答案为：6．
三．解答题
16．解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，作BG⊥CD于点G，
∵ED⊥CD，
∴四边形DEFG是矩形，
∴EF＝DG，ED＝FG，
根据题意可知：∠AEF＝α＝45°，
∴AF＝EF，
∵坡度，
∴BG：CG＝3：4，
设BG＝3x，CG＝4x，则BC＝5x，
∴5x＝10，
解得x＝2，
∴CG＝8，BG＝6，
∴EF＝DG＝CG+CD＝8+10＝18，
∴AF＝EF＝18，
∵FG＝ED＝15，
∴FB＝FG﹣BG＝15﹣6＝9，
∴AB＝AF+FB＝18+9＝27（米）．
答：大楼AB的高为27米．
17．解：如图，延长AB，交直线DC于点F．
∵在Rt△BCF中，，
∴设BF＝k，则，．
又∵，
∴k＝8，
∴BF＝8，．
∵DF＝DC+CF，
∴．
∵在Rt△ADF中，，
∴（米）．
∵AB＝AF﹣BF，
∴AB＝47.28﹣8≈39.3（米）．
答：瞭望塔AB的高度约为39.3米．
18．解：设楼高CE为x米，
∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，
∴AE＝CE＝x，
∵AB＝16，
∴BE＝x﹣16，
在Rt△CEB中，CE＝BE?tan63.4°≈2（x﹣16），
∴2（x﹣16）＝x，
解得：x＝32（米），
在Rt△DAE中，DE＝AEtan30°＝32×＝，
∴CD＝CE﹣DE＝32﹣≈14（米），
答：大楼部分楼体CD的高度约为14米．