第一章单元质量评估(二)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列哪种工作不能使用抽样方法进行( D )
A．测定一批炮弹的射程
B．测定海洋水域的某种微生物的含量
C．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度
D．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况
解析：抽样是为了用总体中的部分个体(即样本)来估计总体的情况，选项A，B，C都是从总体中抽取部分个体进行检验，选项D是检测全体学生的身体状况，所以，要对全体学生的身体都进行检验，而不能采取抽样的方法．
2．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查；第二种由教务处对该年级的学生随机地进行编号，号码从001到200，抽取编号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是( D )
A．分层抽样，简单随机抽样
B．简单随机抽样，分层抽样
C．分层抽样，系统抽样
D．简单随机抽样，系统抽样
解析：由抽样方法的定义知，简单随机抽样每个个体被抽到的可能性相同，系统抽样为等间隔抽样，故选D.
3．某农科所种植的甲、乙两种水稻，连续六年在面积相等的两块稻田中做对比试验，试验得出平均产量是甲＝乙＝415
kg，方差是s＝794，s＝958，那么这两种水稻中产量比较稳定的是( A )
A．甲
B．乙
C．甲、乙一样稳定
D．无法确定
解析：∵s4．对某校400名学生的体重(单位：kg)进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60
kg以上的人数为( B )
A．200
B．100
C．40
D．20
解析：由频率分布直方图可知学生体重在60
kg以上的频率为(0.04＋0.01)×5＝0.25，故学生体重在60
kg以上的人数为400×0.25＝100.
5．已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a；x4，x5，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：∵x1，x2，x3的平均数为a，∴x1，x2，x3的和为3a.
∵x4，x5，…，x10的平均数为b，∴x4，x5，…，x10的和为7b，
∴样本数据的和为3a＋7b，样本数据的平均数为，故选A.
6．有一个容量为60的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，5；[23.5,27.5)，16；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5)，3.
根据样本的频率分布估计数据落在[27.5,39.5)的频率约是( C )
A.
B.
C.
D.
解析：根据所给的数据的分组和各组的频数可知数据落在[27.5,39.5)的有[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7，共有11＋12＋7＝30个数．
∵本组数据共有60个，∴数据落在[27.5,39.5)的频率约是＝，故选C.
7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程y＝0.67x＋54.9.表中一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为( C )
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62
75
81
89
A.75
B．62
C．68
D．81
解析：设表中模糊不清的数据为m，由表中数据得＝30，＝，由于由最小二乘法求得回归方程y＝0.67x＋54.9，将＝30，＝代入回归直线方程，得m＝68，故选C.
8．某机床生产一种机器零件，10天中每天出的次品数分别是：2,3,1,1,0,2,1,1,0,1，则这组数据的平均数和方差(即标准差的平方)分别是( A )
A．1.2,0.76
B．1.2,2.173
C．1.2,0.472
D．1.2,0.687
4
解析：＝(2＋3＋1＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)＝1.2，s2＝(0.82＋1.82＋0.22＋0.22＋1.22＋0.82＋0.22＋0.22＋1.22＋0.22)＝0.76.
9．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( C )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
解析：甲射击比赛中靶4,5,6,7,8环各1次，则甲成绩的中位数为6，平均数为6，极差为4，方差为2；乙射击比赛中靶5环3次，6环1次，9环1次，则乙成绩的中位数为5，平均数为6，极差为4，方差为2.4.所以甲成绩的方差比乙成绩的方差小．故选C.
10．某校开展“了解传统习俗，弘扬民族文化”为主题的实践活动，实践小组就“是否知道端午节的由来”这个问题对部分学生进行了调查，调查结果如图所示，其中“不知道”的学生有8人，下列说法不正确的是( C )
A．被调查的学生共有50人
B．被调查的学生中“知道”的人数为32
C．图中“记不清”对应的圆心角为60°
D．全校“知道”的人数约占全校人数的64%
解析：“不知道”的学生有8人，所占比例为16%，所以被调查的学生共有8÷16%＝50(人)，A正确；被调查的学生中“知道”的人数为50×64%＝32，B正确；题图中“记不清”对应的圆心角为360°×(1－16%－64%)＝72°，C错，符合题意，故选C.
11．已知数据x1，x2，x3的中位数为k，众数为m，平均数为n，方差为p，则下列说法中，错误的是( D )
A．数据2x1,2x2,2x3的中位数为2k
B．数据2x1,2x2,2x3的众数为2m
C．数据2x1,2x2,2x3的平均数为2n
D．数据2x1,2x2,2x3的方差为2p
解析：当数据由x1，x2，x3变为2x1,2x2,2x3时，其中位数、众数、平均数也变为原来的2倍，但是其方差应变为原来的4倍．故数据2x1,2x2,2x3的方差为4p.
12．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部不小于13秒且不大于19秒，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y的值分别是( A )
A．90%,35
B．90%,45
C．10%,35
D．10%,45
解析：成绩小于17秒的人数占全班总人数的百分比为(0.02＋0.18＋0.36＋0.34)×100%＝90%；成绩大于或等于15秒且小于17秒的人数为(0.36＋0.34)×100%×50＝35.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．有A，B，C三种零件，分别为a个、300个、200个，采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，A种零件被抽取20个，则a＝400.
解析：根据题意得＝，解得a＝400.
14．已知回归方程y＝4.4x＋838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为5∶22.
解析：x每增加1个单位，y约增加4.4个单位，故增长的速度之比约为1∶4.4＝5∶22.
15．某校有老师200人，男学生1
200人，女学生1
000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n＝192.
解析：由题意知＝，解得n＝192.
16．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a，b的取值分别是10.5,10.5.
解析：因为总体的个体数是10，且中位数是10.5，所以＝10.5，即a＋b＝21.所以总体的平均数是10.
要使总体的方差最小，只要(a－10)2＋(b－10)2最小，因为(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(11－a)2＝2a2－42a＋221，
所以当a＝＝10.5时，(a－10)2＋(b－10)2取得最小值，此时b＝21－a＝21－10.5＝10.5.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表(单位：辆)：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，应如何抽取？
解：(1)设该厂本月生产轿车n辆，由题意，得＝，所以n＝2
000，
则z＝2
000－100－300－150－450－600＝400.
(2)设所抽样本中有m辆舒适型轿车，因为要用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以＝，解得m＝2，
即在C类轿车中抽取2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
18.(本题满分12分)已知某研究所培育了250只新品种的山鸡，将这些山鸡随机按1～250编号，按照系统抽样的方法抽取其中10只进行测评．
(1)若抽到的一个号码为33，求此号码所在的组数，并写出所有被抽到的山鸡的号码；
(2)分别统计这10只新品种的山鸡的尾羽长度(单位：cm)，得到数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差．
解：(1)将250只新品种的山鸡分成10组，每组25只，因为25<33<2×25，所以33号的山鸡在第2组．
设第1组中抽到的号码为l0，
因为l0＋(2－1)×25＝33，所以l0＝8，即第1组抽到的号码为8，抽到的10只山鸡的号码依次为8,33,58,83,108,133,158,183,208,233.
(2)这10只山鸡尾羽长度的平均数＝×(19＋22＋25＋27＋30＋33＋35＋37＋38＋44)＝31，故样本方差s2＝×[(19－31)2＋(22－31)2＋(25－31)2＋(27－31)2＋(30－31)2＋(33－31)2＋(35－31)2＋(37－31)2＋(38－31)2＋(44－31)2]＝55.2.
19．(本题满分12分)某次运动会甲、乙两名射击运动员的成绩如下：
甲：9.4
8.7
7.5
8.4
10.1
10.5
10.7
7.2
7.8
10.8
乙：9.1
8.7
7.1
9.8
9.7
8.5
10.1
9.2
10.1
9.1
(1)用茎叶图表示甲、乙两人的成绩；
(2)根据茎叶图分析甲、乙两人的成绩；
(3)分别计算两个样本的平均数和标准差，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定．
解：(1)如图所示，茎表示成绩的整数部分，叶表示小数点后的数字.
(2)由茎叶图可看出：乙的成绩大致对称，因此乙发挥稳定性好；甲波动性大．
(3)甲＝×(9.4＋8.7＋7.5＋8.4＋10.1＋10.5＋10.7＋7.2＋7.8＋10.8＝9.11，
s＝×[(9.4－9.11)2＋(8.7－9.11)2＋…＋(10.8－9.11)2]，故s甲≈1.3；
乙＝×(9.1＋8.7＋7.1＋9.8＋9.7＋8.5＋10.1＋9.2＋10.1＋9.1)＝9.14，
s＝×[(9.1－9.14)2＋(8.7－9.14)2＋…＋(9.1－9.14)2]，故s乙≈0.9.
因为s甲>s乙，这说明了甲运动员成绩的波动程度大于乙运动员的波动程度，所以我们估计乙运动员的成绩比较稳定．
20．(本题满分12分)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1
mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5
000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：
(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置；
(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；
(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．
解：(1)如表所示．
(2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70.
(3)设这批产品中的合格品数为x件，依题意有＝，解得x＝1
980.
所以该批产品的合格品件数估计是1
980件．
21．(本题满分12分)某城市理论预测2017年到2021年该城市人口总数y(单位：十万)与年份(用2017＋x表示)的关系如下表所示：
年份中的x
0
1
2
3
4
人口总数y
5
7
8
11
19
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程y＝bx＋a；
(3)据(2)中的回归方程估计2022年该城市人口总数．
参考数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,02＋12＋22＋32＋42＝30.
解：(1)根据表格画出散点图，如图所示，可得y与x成线性正相关．
(2)由题中数表知：＝×(0＋1＋2＋3＋4)＝2，
＝×(5＋7＋8＋11＋19)＝10，
(3)当x＝5时，可得y＝19.6(十万)＝196(万)．所以估计2022年该城市人口总数约为196万．
22．(本题满分12分)某公司为了了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示)．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．
(1)求频率分布直方图中各小长方形的宽度；
(2)估计该公司在若干地区各投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值和中位数(以各组的区间中点值代表该组的取值)；
(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入x/万元
1
2
3
4
5
销售收益y/万元
2
3
2
M
7
表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，计算y关于x的回归方程．
解：(1)设各小长方形的宽度为m，由频率分布直方图中的各小长方形面积总和为1，可知(0.08＋0.10＋0.14＋0.12＋0.04＋0.02)m＝0.5m＝1，故m＝2.
(2)由(1)知各组区间依次是[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，其中点分别为1,3,5,7,9,11，
对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，
故可估计平均值为1×0.16＋3×0.20＋5×0.28＋7×0.24＋9×0.08＋11×0.04＝5.
设中位数为x，则0.08×2＋0.10×2＋0.14(x－4)＝0.5，解得x＝5，所以中位数为5.第一章单元质量评估(二)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列哪种工作不能使用抽样方法进行( )
A．测定一批炮弹的射程
B．测定海洋水域的某种微生物的含量
C．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度
D．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况
2．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查；第二种由教务处对该年级的学生随机地进行编号，号码从001到200，抽取编号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是( )
A．分层抽样，简单随机抽样
B．简单随机抽样，分层抽样
C．分层抽样，系统抽样
D．简单随机抽样，系统抽样
3．某农科所种植的甲、乙两种水稻，连续六年在面积相等的两块稻田中做对比试验，试验得出平均产量是甲＝乙＝415
kg，方差是s＝794，s＝958，那么这两种水稻中产量比较稳定的是( )
A．甲
B．乙
C．甲、乙一样稳定
D．无法确定
4．对某校400名学生的体重(单位：kg)进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60
kg以上的人数为( )
A．200
B．100
C．40
D．20
5．已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a；x4，x5，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为( )
A.
B.
C.
D.
6．有一个容量为60的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，5；[23.5,27.5)，16；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5)，3.
根据样本的频率分布估计数据落在[27.5,39.5)的频率约是( )
A.
B.
C.
D.
7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程y＝0.67x＋54.9.表中一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为( )
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62
75
81
89
A.75
B．62
C．68
D．81
8．某机床生产一种机器零件，10天中每天出的次品数分别是：2,3,1,1,0,2,1,1,0,1，则这组数据的平均数和方差(即标准差的平方)分别是( )
A．1.2,0.76
B．1.2,2.173
C．1.2,0.472
D．1.2,0.687
4
9．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
10．某校开展“了解传统习俗，弘扬民族文化”为主题的实践活动，实践小组就“是否知道端午节的由来”这个问题对部分学生进行了调查，调查结果如图所示，其中“不知道”的学生有8人，下列说法不正确的是( )
A．被调查的学生共有50人
B．被调查的学生中“知道”的人数为32
C．图中“记不清”对应的圆心角为60°
D．全校“知道”的人数约占全校人数的64%
11．已知数据x1，x2，x3的中位数为k，众数为m，平均数为n，方差为p，则下列说法中，错误的是( )
A．数据2x1,2x2,2x3的中位数为2k
B．数据2x1,2x2,2x3的众数为2m
C．数据2x1,2x2,2x3的平均数为2n
D．数据2x1,2x2,2x3的方差为2p
12．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部不小于13秒且不大于19秒，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y的值分别是( )
A．90%,35
B．90%,45
C．10%,35
D．10%,45
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．有A，B，C三种零件，分别为a个、300个、200个，采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，A种零件被抽取20个，则a＝(
).
14．已知回归方程y＝4.4x＋838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为(
).
15．某校有老师200人，男学生1
200人，女学生1
000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n＝(
).
16．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a，b的取值分别是(
).
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表(单位：辆)：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，应如何抽取？
18.(本题满分12分)已知某研究所培育了250只新品种的山鸡，将这些山鸡随机按1～250编号，按照系统抽样的方法抽取其中10只进行测评．
(1)若抽到的一个号码为33，求此号码所在的组数，并写出所有被抽到的山鸡的号码；
(2)分别统计这10只新品种的山鸡的尾羽长度(单位：cm)，得到数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差．
19．(本题满分12分)某次运动会甲、乙两名射击运动员的成绩如下：
甲：9.4
8.7
7.5
8.4
10.1
10.5
10.7
7.2
7.8
10.8
乙：9.1
8.7
7.1
9.8
9.7
8.5
10.1
9.2
10.1
9.1
(1)用茎叶图表示甲、乙两人的成绩；
(2)根据茎叶图分析甲、乙两人的成绩；
(3)分别计算两个样本的平均数和标准差，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定．
20．(本题满分12分)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1
mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5
000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：
(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置；
(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；
(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．
21．(本题满分12分)某城市理论预测2017年到2021年该城市人口总数y(单位：十万)与年份(用2017＋x表示)的关系如下表所示：
年份中的x
0
1
2
3
4
人口总数y
5
7
8
11
19
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程y＝bx＋a；
(3)据(2)中的回归方程估计2022年该城市人口总数．
参考数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,02＋12＋22＋32＋42＝30.
22．(本题满分12分)某公司为了了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示)．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．
(1)求频率分布直方图中各小长方形的宽度；
(2)估计该公司在若干地区各投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值和中位数(以各组的区间中点值代表该组的取值)；
(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入x/万元
1
2
3
4
5
销售收益y/万元
2
3
2
M
7
表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，计算y关于x的回归方程．
