第三章单元质量评估(一)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；
③“明天天津市要下雨”是必然事件；
④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件．
其中正确命题的个数是( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①④正确．
2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( D )
A．至少有1个黑球与都是红球
B．至少有1个黑球与都是黑球
C．至少有1个黑球与至少有1个红球
D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
解析：A中的两个事件是对立事件，不符合要求；B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D中是互斥而不对立的两个事件．故选D.
3．某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5
544
9
013
13
520
17
191
男婴数
2
716
4
899
6
812
8
590
这一地区男婴出生的概率约是( B )
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．0.7
解析：由表格可知，男婴出生的频率依次约为0.49,0.54,0.50,0.50，故这一地区男婴出生的概率约为0.5.故选B.
4．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A，则P(A)＝＝.
5．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：试验是连续掷两次骰子，故共包含6×6＝36个基本事件．事件点P在x＋y＝5下方，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6个基本事件，故p＝＝.
6．某产品的设计长度为20
cm，规定误差不超过0.5
cm为合格品，今对一批产品进行测量，测得结果如下表：
长度(cm)
19.5以下
19.5～20.5
20.5以上
件数
5
68
7
则这批产品的不合格率为( D )
A.
B.
C.
D.
解析：记“产品为19.5
cm以下”为事件A，P(A)＝；记“产品为20.5
cm以上”为事件B，P(B)＝，则事件A和B互斥，产品不合格即为事件A∪B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
7．如图所示，ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( B )
A.
B．1－
C.
D．1－
解析：根据几何概型概率公式得所求概率为p＝＝＝1－，故选B.
8．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( C )
A.
B.
C.
D．无法确定
解析：设两间空房分别为A、B.情况1，甲、乙同住A房间．情况2，甲、乙同住B房间．情况3，甲住A房间，乙住B房间．情况4，甲住B房间，乙住A房间．所以甲、乙两人各住一间房的概率为.
9．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是( C )
A.
B.
C.
D.
解析：三位正整数有100～999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27,28,29，共3个，故所求事件的概率为＝.
10．小莉与小明一起用A，B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在已知抛物线y＝－x2＋4x上的概率为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：根据题意，两人各掷立方体一次，每人都有6种可能性，则(x，y)的情况有36种，即P点有36种可能，而y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，即(x－2)2＋y＝4，易得在抛物线上的点有(2,4)，(1,3)，(3,3)共3个，因此满足条件的概率为＝.
11．在区间(－1,1)内任取一个数a，能使方程x2＋x＋a＝0有两个不相等的实根的概率为( D )
A.
B.
C.
D.
解析：Δ＝1－4a>0，∴a<.又∵a∈(－1,1)，∴－1
12．对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)，记出现向上的点数分别为m，n，如果m＋n是偶数，则把a1乘以2后再减去2；如果m＋n是奇数，则把a1除以2后再加上2，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3.当a3>a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的值不可能是( C )
A．0
B．2
C．3
D．4
解析：本题考查概率的意义．依题意，m＋n是偶数的概率为.若a1＝0，则a2＝－2或a2＝2；当a2＝－2时，a3＝－6a1；当a2＝2时，a3＝2>a1或a3＝3>a1，此时甲获胜的概率为，因此a1的值可能是0.同理可结合各选项检验，a1的值可能是2,4，a1的值不可能是3，故选C.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为.
解析：设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都为男生}，则A、B为对立事件，∴P(B)＝1－P(A)＝.
14．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为.
解析：甲，乙，丙站成一排有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共6种．甲，乙相邻而站有(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共4种．所以甲，乙两人相邻而站的概率为＝.
15．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为.
解析：由几何概型概率公式可得P＝＝，又S正方形＝2×2＝4，所以S阴影＝×4＝.
16．袋中含有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为.
解析：因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为，设白球个数为x，则黑球个数为5－x，那么，可知白球有3个，黑球有2个，因此可知从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．
(1)写出这个试验的所有基本事件；
(2)求恰有两枚正面向上的概率．
解：(1)这个试验的基本事件有(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)共8个．
(2)记A＝“恰有两枚正面向上”，它包含的基本事件有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)3个．
所以P(A)＝.
18．(本题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
(1)用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
19．(本题满分12分)设关于x的一元二次方程为x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]中任取的一个数，b是从区间[0,2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共12个：
(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A包含9个基本事件，
故事件A发生的概率P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率为＝.
20．(本题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.
21．(本题满分12分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)，…，第五组[17,18]．如图是按分组得到的频率分布直方图：
(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
(2)设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13,14)∪[17,18]．求事件“|m－n|>1”的概率．
解：(1)由题中的直方图知，成绩在[14,16)内的人数为50×0.16×1＋50×0.38×1＝27，
所以该班成绩良好的人数为27人．
(2)设事件M为“|m－n|>1”．
由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的人数为50×0.06×1＝3，设这3人分别为x，y，z.
成绩在[17,18]的人数为50×0.08×1＝4，设这4人分别为A，B，C，D.
若m，n∈[13,14)，则有xy，xz，yz，共3种情况；
若m，n∈[17,18]，则有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况．
当m，n分别在[13,14)和[17,18]内时，此时有|m－n|>1.如下表所示：
共12种情况．
所以基本事件总数为3＋6＋12＝21种．
又事件“|m－n|>1”所包含的基本事件个数为12，
∴P(M)＝＝.
22．(本题满分12分)在甲、乙等5位学生参加的一次社区专场演唱会中，每位学生的节目集中安排在一起演出，若采用抽签的方式随机确定各位学生的演出顺序(序号为1,2,3,4,5)．求：
(1)甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数的概率；
(2)甲、乙两人的演出序号不相邻的概率．
解：甲、乙两人可能被排在1,2号；1,3号；1,4号；1,5号；2,3号；2,4号；2,5号；3,4号；3,5号；4,5号，共10种情形．
其中甲、乙两人至少有一个被安排在偶数号的情形有：1,2号；1,4号；2,3号；2,4号；2,5号；3,4号；4,5号，共7种情形．甲、乙两人被安排在不相邻的演出序号的情形有：1,3号；1,4号；1,5号；2,4号；2,5号；3,5号，共6种情形．
(1)记“甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数”为事件A，则P(A)＝.
(2)记“甲、乙两人的演出序号不相邻”为事件B，
则P(B)＝＝.第三章单元质量评估(一)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；
③“明天天津市要下雨”是必然事件；
④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件．
其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有1个黑球与都是红球
B．至少有1个黑球与都是黑球
C．至少有1个黑球与至少有1个红球
D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
3．某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5
544
9
013
13
520
17
191
男婴数
2
716
4
899
6
812
8
590
这一地区男婴出生的概率约是( )
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．0.7
4．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.
B.
C.
D.
5．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率为( )
A.
B.
C.
D.
6．某产品的设计长度为20
cm，规定误差不超过0.5
cm为合格品，今对一批产品进行测量，测得结果如下表：
长度(cm)
19.5以下
19.5～20.5
20.5以上
件数
5
68
7
则这批产品的不合格率为( )
A.
B.
C.
D.
7．如图所示，ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A.
B．1－
C.
D．1－
8．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( )
A.
B.
C.
D．无法确定
9．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是( )
A.
B.
C.
D.
10．小莉与小明一起用A，B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在已知抛物线y＝－x2＋4x上的概率为( )
A.
B.
C.
D.
11．在区间(－1,1)内任取一个数a，能使方程x2＋x＋a＝0有两个不相等的实根的概率为( )
A.
B.
C.
D.
12．对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)，记出现向上的点数分别为m，n，如果m＋n是偶数，则把a1乘以2后再减去2；如果m＋n是奇数，则把a1除以2后再加上2，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3.当a3>a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的值不可能是( )
A．0
B．2
C．3
D．4
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为(
).
14．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为(
)
15．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为(
)
16．袋中含有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为(
).
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．
(1)写出这个试验的所有基本事件；
(2)求恰有两枚正面向上的概率．
18．(本题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
19．(本题满分12分)设关于x的一元二次方程为x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]中任取的一个数，b是从区间[0,2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
20．(本题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
21．(本题满分12分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)，…，第五组[17,18]．如图是按分组得到的频率分布直方图：
(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
(2)设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13,14)∪[17,18]．求事件“|m－n|>1”的概率．
22．(本题满分12分)在甲、乙等5位学生参加的一次社区专场演唱会中，每位学生的节目集中安排在一起演出，若采用抽签的方式随机确定各位学生的演出顺序(序号为1,2,3,4,5)．求：
(1)甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数的概率；
(2)甲、乙两人的演出序号不相邻的概率．