第二章单元质量评估(二)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为( )
A．40
B．48
C．50
D．80
2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )
A．93
B．123
C．137
D．167
3．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有以下结论：
①这组数据的众数是3
②这组数据的众数与中位数的数值不等
③这组数据的中位数与平均数的数值相等
④这组数据的平均数与众数的数值相等
其中正确的结论有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如右图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
A．46,45,56
B．46,45,53
C．47,45,56
D．45,47,53
5．某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表：
分数段
[0,80)
[80,90)
[90,100)
[100,110)
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150)
人数
2
5
6
8
12
6
4
2
那么分数在[100,110)中的频率和分数不满110分的频率分别是(精确到0.01)( )
A．0.18,0.47
B．0.47,0.18
C．0.18,0.50
D．0.38,0.75
6．某次数学检测中，某一题目的得分情况如下：
得分(分)
0
1
2
3
4
百分率(%)
37.0
8.6
6.0
28.2
20.2
其中众数是( )
A．37.0%
B．20.2%
C．0分
D．4分
7．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分叉数后，计算出样本方差分别为s＝11，s＝3.4，由此可以估计( )
A．甲种水稻比乙种水稻分叉整齐
B．甲、乙两种水稻分叉整齐程度相同
C．乙种水稻比甲种水稻分叉整齐
D．甲、乙两种水稻分叉整齐程度不能比较
8．2018年，中国部分商品价格出现了上涨．某市为了稳定市场，确保农民增收，某农产品三月份以后的每月市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前六个月的市场收购价格：
月份
1
2
3
4
5
6
7
价格(元/担)
68
78
67
71
72
70
则前七个月该产品的市场收购价格的方差为( )
A.
B.
C．11
D.
9．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为，则( )
A．me＝m0＝
B．me＝m0<
C．meD．m010．某班有56名同学，一次数学考试，经过运算得到平均成绩为75分，标准差为s，后来发现登记有错误，某甲得90分却记为70分，某乙80分误记为100分，更正后重新计算标准差s1，则s与s1的大小关系是( )
A．s＝s1
B．sC．s>s1
D．不能确定
11．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的相关系数为( )
A．－1
B．0
C.
D．1
12．小波一星期的总开支分布如图(1)所示，一星期的食品开支如图(2)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )
A．30%
B．10%
C．3%
D．不能确定
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．为了检验某自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆菌的个数，化验结果如下：
每升水中大肠杆菌个数
0
1
2
3
4
升数
17
20
10
2
1
则所取50升水中平均含有大肠杆菌1个/升，估计全部消毒过的自来水中平均每升水的大肠杆菌的含量为(
)个．
14.如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5
℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5
℃的城市个数为(
)
15．设样本数据x1，x2，…，x2
018的方差是5，若yi＝3xi＋1(i＝1,2，…，2
018)，则y1，y2，…，y2
018的方差是(
)
16．某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表：
广告费用x/万元
3
4
5
6
销售额y/万元
25
30
40
45
根据上表可得回归方程
＝
x＋
中的
为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为(
)万元．
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)工厂用传输带将产品送入包装车间，检验人员从传输带上每隔5
min抽一件产品进行检验，这是一种什么抽样方法？若已知甲、乙、丙三个车间一天内生产的产品分别是150件、130件、120件，为了掌握各车间产品质量情况，从中取出一个容量为40的样本，该用什么抽样方法？简述抽样过程．
18．(本小题12分)在某中学举行的电脑知识竞赛中，将高一两个班的参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制出如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.
(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？
19．(本小题12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中x的值．
(2)求月平均用电量的众数和中位数．
(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？
20．(本小题12分)为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校学习基地现场进行加工直径为20
mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据如下面的图表所示(单位：mm)．
数据
平均数
方差
完全符合要求的个数
A
20
0.026
2
B
20
s
5
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些．
(2)计算出s的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些．
(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．
21．(本小题12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
22．(本小题12分)某工厂有工人1
000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样方法(按A类，B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)．
(1)A类工人中和B类工人中各抽查多少工人？
(2)A类工人的抽查结果和B类工人的抽查结果分别如下表1和表2.
①先确定x，y，再补全下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)
②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．第二章单元质量评估(二)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为( C )
A．40
B．48
C．50
D．80
解析：因为高一、二、三年级的人数比为4∶3∶5，所以从高三应抽取的人数为120×＝50.
2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( C )
A．93
B．123
C．137
D．167
解析：初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137.
3．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有以下结论：
①这组数据的众数是3
②这组数据的众数与中位数的数值不等
③这组数据的中位数与平均数的数值相等
④这组数据的平均数与众数的数值相等
其中正确的结论有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：由中位数、众数、平均数的概念知只有①是正确的．
4．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如右图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( A )
A．46,45,56
B．46,45,53
C．47,45,56
D．45,47,53
解析：由概念知中位数是中间两数的平均数，即＝46，众数是45，极差为68－12＝56.故选A.
5．某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表：
分数段
[0,80)
[80,90)
[90,100)
[100,110)
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150)
人数
2
5
6
8
12
6
4
2
那么分数在[100,110)中的频率和分数不满110分的频率分别是(精确到0.01)( A )
A．0.18,0.47
B．0.47,0.18
C．0.18,0.50
D．0.38,0.75
解析：由分布表可知样本容量为2＋5＋6＋8＋12＋6＋4＋2＝45，在[100,110)中的频数为8，故频率为≈0.18，不满110的频率为≈0.47.
6．某次数学检测中，某一题目的得分情况如下：
得分(分)
0
1
2
3
4
百分率(%)
37.0
8.6
6.0
28.2
20.2
其中众数是( C )
A．37.0%
B．20.2%
C．0分
D．4分
解析：由于众数是出现次数最多的数，由表可知，0分出现的百分率最大，所以众数是0分．
7．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分叉数后，计算出样本方差分别为s＝11，s＝3.4，由此可以估计( C )
A．甲种水稻比乙种水稻分叉整齐
B．甲、乙两种水稻分叉整齐程度相同
C．乙种水稻比甲种水稻分叉整齐
D．甲、乙两种水稻分叉整齐程度不能比较
解析：由于方差反映了样本数据的稳定性，且s>s，所以乙种水稻比甲种水稻分叉整齐．
8．2018年，中国部分商品价格出现了上涨．某市为了稳定市场，确保农民增收，某农产品三月份以后的每月市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前六个月的市场收购价格：
月份
1
2
3
4
5
6
7
价格(元/担)
68
78
67
71
72
70
则前七个月该产品的市场收购价格的方差为( B )
A.
B.
C．11
D.
解析：设7月份的市场收购价格为x，则f(x)＝(x－71)2＋(x－72)2＋(x－70)2＝3x2－426x＋15
125＝3(x－71)2＋2，则当x＝71时，7月份的市场收购价格与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，即7月份的市场收购价格为71.计算前七个月该产品的市场收购价格的平均数是71，方差是.
9．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为，则( D )
A．me＝m0＝
B．me＝m0<
C．meD．m0解析：由题图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即me＝5.5，由于5分出现的次数最多，故m0＝5.
＝≈6，所以m010．某班有56名同学，一次数学考试，经过运算得到平均成绩为75分，标准差为s，后来发现登记有错误，某甲得90分却记为70分，某乙80分误记为100分，更正后重新计算标准差s1，则s与s1的大小关系是( C )
A．s＝s1
B．sC．s>s1
D．不能确定
解析：这两次计算的平均分没有变化，则s＝，s1＝，∴s>s1.
11．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的相关系数为( D )
A．－1
B．0
C.
D．1
解析：由所有样本点都在直线y＝x＋1上，即相关性最强，且为正相关，故相关系数为1.故选D.
12．小波一星期的总开支分布如图(1)所示，一星期的食品开支如图(2)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( C )
A．30%
B．10%
C．3%
D．不能确定
解析：由题图可知，小波一星期的食品开支为30＋40＋100＋80＋50＝300(元)，小波一星期的总开支为＝1
000(元)，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为×100%＝3%.故选C.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．为了检验某自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆菌的个数，化验结果如下：
每升水中大肠杆菌个数
0
1
2
3
4
升数
17
20
10
2
1
则所取50升水中平均含有大肠杆菌1个/升，估计全部消毒过的自来水中平均每升水的大肠杆菌的含量为1个．
解析：50升水中平均含有大肠杆菌＝1(个/升)，这是样本平均值，可以用它估计总体．
14.如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5
℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5
℃的城市个数为9.
解析：设样本容量为n，则(0.1＋0.12)n＝11，解得n＝50，故气温不低于25.5
℃的城市个数为50×0.18＝9.故填9.
15．设样本数据x1，x2，…，x2
018的方差是5，若yi＝3xi＋1(i＝1,2，…，2
018)，则y1，y2，…，y2
018的方差是45.
解析：根据题意，设x1，x2，…，x2
018的平均数为，y1，y2，…，y2
018的方差为s2，
则＝(x1＋x2＋…＋x2
018)，5＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x2
018－)2]，
若yi＝3xi＋1(i＝1,2，…，2
018)，则y1，y2，…，y2
018的平均数为[(3x1＋1)＋(3x2＋2)＋…＋(3x2
018＋1)]＝3＋1，则y1，y2，…，y2
018的方差为s2＝[(3x1－1－3＋1)2＋(3x2－1－3＋1)2＋…＋(3x2
018－1－3＋1)2]＝9×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x2
018－)2]＝45.
16．某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表：
广告费用x/万元
3
4
5
6
销售额y/万元
25
30
40
45
根据上表可得回归方程
＝
x＋
中的
为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为73.5万元．
解析：由题表可知，＝4.5，＝35，代入回归方程
＝7x＋
，得
＝3.5，所以回归方程为
＝7x＋3.5，所以当x＝10时，
＝7×10＋3.5＝73.5(万元)．
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)工厂用传输带将产品送入包装车间，检验人员从传输带上每隔5
min抽一件产品进行检验，这是一种什么抽样方法？若已知甲、乙、丙三个车间一天内生产的产品分别是150件、130件、120件，为了掌握各车间产品质量情况，从中取出一个容量为40的样本，该用什么抽样方法？简述抽样过程．
解：这是将总体分成均匀的若干部分，再从每一部分按预先订出的规则抽取一个个体，得到所需要的样本，故它是系统抽样．
因为总体来自三个不同车间，故适宜用分层抽样．
因为甲、乙、丙三个车间一天内生产产品数量之比为15?13?12，所以需从甲、乙、丙车间抽取产品分别为15件、13件、12件．
具体抽样过程为：将甲车间的150件产品按000,001，…，149编号，将乙车间的130件产品按000,001，…，129编号，将丙车间的120件产品按000,001，…，119编号，用随机数法分别从甲、乙、丙三个车间抽取15件，13件，12件产品，这样就取得了一个容量为40的样本．
18．(本小题12分)在某中学举行的电脑知识竞赛中，将高一两个班的参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制出如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.
(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？
解：(1)第二小组的频率为1－0.30－0.15－0.10－0.05＝0.40，频率分布直方图如图阴影部分所示．(2)＝100.
19．(本小题12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中x的值．
(2)求月平均用电量的众数和中位数．
(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？
解：(1)由(0.002＋0.009
5＋0.011＋0.012
5＋x＋0.005＋0.002
5)×20＝1得x＝0.007
5，
所以直方图中x的值为0.007
5.
(2)月平均用电量的众数是＝230.
因为(0.002＋0.009
5＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，则(0.002＋0.009
5＋0.011)×20＋0.012
5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位数为224.
(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012
5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为＝，所以从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5(户)．
20．(本小题12分)为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校学习基地现场进行加工直径为20
mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据如下面的图表所示(单位：mm)．
数据
平均数
方差
完全符合要求的个数
A
20
0.026
2
B
20
s
5
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些．
(2)计算出s的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些．
(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．
解：(1)因为A，B两位同学成绩的平均数相同，B同学加工的零件中完全符合要求的个数较多，由此认为B同学的成绩好些．
(2)因为s＝×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋(20.2－20)2]＝0.008，且s＝0.026，所以s>s，在平均数相同的情况下，B同学的波动小，所以B同学的成绩好些．
(3)从题图中折线走势可知，尽管A同学的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A同学的潜力大，而B同学前期稳定，后面起伏变大，潜力小，所以选派A同学去参赛较合适．
21．(本小题12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解：(1)＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，
＝－＝80－(－20)×8.5＝250，∴回归方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得：L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1
000＝－202＋361.25，
当且仅当x＝＝8.25时，L取得最大值，故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
22．(本小题12分)某工厂有工人1
000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样方法(按A类，B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)．
(1)A类工人中和B类工人中各抽查多少工人？
(2)A类工人的抽查结果和B类工人的抽查结果分别如下表1和表2.
①先确定x，y，再补全下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)
②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
解：(1)A类工人中和B类工人中分别抽查25名和75名．
(2)①由4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5,6＋y＋36＋18＝75，得y＝15.
频率分布直方图如下：
从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小．
②A＝×105＋×115＋×125＋×135＋×145＝123，
B＝×115＋×125＋×135＋×145＝133.8，＝×123＋×133.8＝131.1.
A类工人生产能力的平均数、B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.
