第三章单元质量评估
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知sinθ＝－，θ∈，则cos的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
2．已知cosα＝－，则cos2α等于( )
A.
B．－
C.
D．－
3．已知－<α<，sin(－α)＝，则sinα＝( )
A.
B.
C.
D.
4．已知α，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，则α＋β＝( )
A．－
B.或
C.
D.
5．已知锐角α的终边上一点P(1＋cos40°，sin40°)，则锐角α＝( )
A．80°
B．70°
C．20°
D．10°
6．若sin(π－α)＝－且α∈(π，)，则sin(＋)＝( )
A．－
B．－
C.
D.
7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )
A．－
B．－
C.
D.
8．设5π<θ<6π，cos＝a，那么sin等于( )
A．－
B．－
C．－
D．－
9．y＝sinxcosx＋sin2x可化为( )
A．y＝sin＋
B．y＝sin－
C．y＝sin＋
D．y＝2sin＋1
10．在△ABC中，A＝15°，则sinA－cos(B＋C)的值为( )
A.
B.
C.
D．2
11．已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴是x＝，则函数g(x)＝asinx＋cosx的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
12．已知不等式f(x)＝3sin·cos＋cos2－＋m≤0，对于任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥
B．m≤
C．m≤－
D．－≤m≤
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．若tanx＝，则＝(
)
14．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于(
)
15．当函数y＝sinx－cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝(
16．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为.
三、解答题(共70分)
17．(本小题10分)已知α∈(，π)，β是第三象限角，且sinα＝，cosβ＝－.求cos(α－β)和sin(α＋β)的值．
18．(本小题12分)计算：(1)；
(2).
19．(本小题12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0<α<，－<β<0，且sinβ＝－，求sinα的值．
20．(本小题12分)已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.
(1)将f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式(A>0，ω>0)；
(2)求f(x)的最小正周期；
(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
21．(本小题12分)已知函数f(x)＝sinx－cosx＋2，记函数f(x)的最小正周期为β，向量a＝(2，cosα)，b＝(1，tan(α＋))，0<α<，且a·b＝.
(1)求f(x)在区间[，]上的最值；
(2)求的值．
22．(本小题12分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度．
(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0,2π)内有两个不同的解α，β.
(ⅰ)求实数m的取值范围；
(ⅱ)证明：cos(α－β)＝－1.第三章单元质量评估
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知sinθ＝－，θ∈，则cos的值为( A )
A．－
B.
C．－
D.
解析：∵sinθ＝－，θ∈，∴cosθ＝＝＝.
∴cos＝cosθcos＋sinθsin＝×＋×＝－.
2．已知cosα＝－，则cos2α等于( B )
A.
B．－
C.
D．－
解析：∵cosα＝－，∴cos2α＝2cos2α－1＝－.
3．已知－<α<，sin(－α)＝，则sinα＝( A )
A.
B.
C.
D.
解析：∵－<α<，∴－<－α<，又sin(－α)＝，∴cos(－α)＝，∴sinα＝sin[－(－α)]＝.
4．已知α，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，则α＋β＝( D )
A．－
B.或
C.
D.
解析：∵α，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，∴cosα＝，cosβ＝，且α＋β∈(0，π)，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－＝＝，∴α＋β＝，故选D.
5．已知锐角α的终边上一点P(1＋cos40°，sin40°)，则锐角α＝( C )
A．80°
B．70°
C．20°
D．10°
解析：由三角函数的定义可得tanα＝＝＝tan20°，因为α是锐角，所以α＝20°.
6．若sin(π－α)＝－且α∈(π，)，则sin(＋)＝( B )
A．－
B．－
C.
D.
解析：∵sin(π－α)＝sinα＝－，α∈(π，)，∴cosα＝－＝－.
又cosα＝2cos2－1，∈(，)，∴cos＝－＝－，∴sin(＋)＝cos＝－.
7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( B )
A．－
B．－
C.
D.
解析：由题意可知tanθ＝2，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝－.
8．设5π<θ<6π，cos＝a，那么sin等于( D )
A．－
B．－
C．－
D．－
解析：∵5π<θ<6π，∴<<，则sin＝－＝－.
9．y＝sinxcosx＋sin2x可化为( A )
A．y＝sin＋
B．y＝sin－
C．y＝sin＋
D．y＝2sin＋1
解析：y＝sinxcosx＋sin2x＝sin2x＋＝sin2x－cos2x＋＝＋＝sin＋.
10．在△ABC中，A＝15°，则sinA－cos(B＋C)的值为( C )
A.
B.
C.
D．2
解析：∵A＋B＋C＝π，∴原式＝sinA－cos(π－A)＝sinA＋cosA＝2sin(A＋30°)＝2sin(15°＋30°)＝.
11．已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴是x＝，则函数g(x)＝asinx＋cosx的最大值是( B )
A.
B.
C.
D.
解析：由于函数f(x)的图象关于x＝对称，则f(0)＝f，∴a＝－－，∴a＝－，
∴g(x)＝－sinx＋cosx＝sin，∴g(x)max＝.
12．已知不等式f(x)＝3sin·cos＋cos2－＋m≤0，对于任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是( C )
A．m≥
B．m≤
C．m≤－
D．－≤m≤
解析：f(x)＝3sin·cos＋cos2－＋m＝sin＋(1＋cos)－＋m＝sin＋cos＋m
＝＋m＝sin＋m.
故要使f(x)≤0对任意的－≤x≤恒成立，只需m≤－sin在－≤x≤上恒成立．
∵－≤x≤，∴－≤＋≤，∴[－sin(＋)]min＝－.∴m≤－.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．若tanx＝，则＝2－3.
解析：∵tanx＝，∴原式＝＝＝＝＝2－3.
14．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于.
解析：由sin2α＋cos2α＝，得sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝cos2α＝，∵α∈，∴cosα＝，∴α＝，∴tanα＝tan＝.
15．当函数y＝sinx－cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝.
解析：y＝sinx－cosx＝2sin，由0≤x<2π得，－≤x－<，所以当x－＝，即x＝时取得最大值．
16．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为.
解析：f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin(ωx＋)，因为函数f(x)的图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)＝sin(ω2＋)＝±，所以ω2＋＝＋kπ，k∈Z，即ω2＝＋kπ，k∈Z，又函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋≤，即ω2≤，取k＝0，得ω2＝，所以ω＝.
三、解答题(共70分)
17．(本小题10分)已知α∈(，π)，β是第三象限角，且sinα＝，cosβ＝－.求cos(α－β)和sin(α＋β)的值．
解：∵α∈(，π)，∴cosα＝－＝－.∵β是第三象限角，∴sinβ＝－＝－.
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－)×(－)＋×(－)＝－；
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×(－)＋(－)×(－)＝.
18．(本小题12分)计算：(1)；
(2).
解：(1)原式＝＝＝＝
＝＝－4.
(2)原式＝＝＝＝＝.
19．(本小题12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0<α<，－<β<0，且sinβ＝－，求sinα的值．
解：(1)a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)．|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2cos(α－β)，
∴＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝.
(2)由0<α<，－<β<0且sinβ＝－，可知cosβ＝，且0<α－β<π.
又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×(－)＝.
20．(本小题12分)已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.
(1)将f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式(A>0，ω>0)；
(2)求f(x)的最小正周期；
(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝2sin(π－x)cosx＝2sinxcosx＝sin2x.
(2)由(1)知，函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(3)由－≤x≤，得－≤2x≤π.所以－≤sin2x≤1.所以f(x)在区间[－，]上的最大值为1，最小值为－.
21．(本小题12分)已知函数f(x)＝sinx－cosx＋2，记函数f(x)的最小正周期为β，向量a＝(2，cosα)，b＝(1，tan(α＋))，0<α<，且a·b＝.
(1)求f(x)在区间[，]上的最值；
(2)求的值．
解：(1)f(x)＝sinx－cosx＋2＝2sin(x－)＋2，
∵x∈[，]，∴x－∈，∴f(x)在区间上的最大值是4，最小值是2.
(2)∵β＝2π，∴a·b＝2＋cosαtan(α＋π)＝2＋sinα＝，∴sinα＝，又0<α<，∴cosα＝，
∴＝＝2cosα＝.
22．(本小题12分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度．
(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0,2π)内有两个不同的解α，β.
(ⅰ)求实数m的取值范围；
(ⅱ)证明：cos(α－β)＝－1.
解：方法一：(1)将g(x)＝cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cosx的图象，再将y＝2cosx的图象向右平移个单位长度得到y＝2cos(x－)的图象，故f(x)＝2sinx.
从而函数f(x)＝2sinx图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)．
(2)(ⅰ)f(x)＋g(x)＝2sinx＋cosx＝(sinx＋cosx)＝sin(x＋φ)(其中sinφ＝，cosφ＝)．
依题意，sin(x＋φ)＝在[0,2π)内有两个不同的解α，β当且仅当||<1，故m的取值范围是(－，)．
(ⅱ)证明：因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.
当1≤m<时，α＋β＝2(－φ)，即α－β＝π－2(β＋φ)；
当－所以cos(α－β)＝－cos2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)－1＝2()2－1＝－1.
方法二：(1)同方法一．
(2)(ⅰ)同方法一．
(ⅱ)证明：因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.
当1≤m<时，α＋β＝2(－φ)，即α＋φ＝π－(β＋φ)；
当－所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)．
故cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)]＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－cos2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－[1－()2]＋()2＝－1.
