沪科版数学九年级上册21.5 第2课时 反比例函数的图象和性质教学课件（46张）

(共46张PPT)
第21章
二次函数与反比例函数
沪科版数学九年级上册
21.5
反比例函数
第2课时
反比例函数的图象和性质
学习目标
1.
经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的
图象特征和性质的过程
(重点、难点)
2.
会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图
象和性质.
(重点)
3.
能够初步应用反比例函数的图象和性质解题.
(重点、
难点)
本节目标
我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？
写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？
引入新知
例1
画反比例函数
与
的图象.
合作探究
提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线.
需要注意的是在反比例函数中自变量
x
不能为
0.
反比例函数的图象和性质
新知讲解
解：列表如下：
x
…
－6
－5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
6
…
…
…
…
…
－1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
3
2
1.5
1.2
1
－2
－2.4
－3
－4
－6
6
4
3
2.4
2
O
－2
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可
得
　的图象．
观察这两个函数图象，回答问题：
思考：
(1)
每个函数图象分别位于哪些象限？
(2)
在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？
你能由它们的解析式说明理由吗？
(3)
对于反比例函数
(k＞0)，考虑问题(1)(2)，
你能得出同样的结论吗？
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限
它们与
x
轴、y
轴都不相交；
●在每个象限内，y
随
x
的增大而减小.
反比例函数
(k＞0)
的图象和性质：
1.
反比例函数
的图象大致是
(
)
C
y
A.
x
y
o
B.
x
o
D.
x
y
o
C.
x
y
o
练一练
2.
已知反比例函数
的图象过点(－2，－3)，函
数图象上有两点
A(
，y1)，B(5，y2)，则
y1与y2
的大小关系为
(
)
A.
y1
>
y2
B.
y1
=
y2
C.
y1
<
y2
D.
无法确定
C
提示：由题可知反比例函数的解析式为
，因为6＞0，且
A，B
两点均在该函数图象的第一象限部分，根据
>5，可知y1，y2的大小关系.
观察与思考
当
k
=－2，－4，－6时，反比例函数
的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数
(k＞0)
的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数
(k＜0)的图象和性质吗？
y
x
O
y
x
O
y
x
O
反比例函数
(k＜0)
的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限
它们与x轴、y轴都不相交；
●在每个象限内，y随x的增大而增大.
归纳：
(1)
当
k
>
0
时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，y
随
x
的增大而减小；
(2)
当
k
<
0
时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每一象限内，y
随
x
的增大而增大.
一般地，反比例函数
的图象是双曲线，它具有以下性质：
k
的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
点(2，y1)和(3，y2)在函数
上，则y1
y2
(填“>”“<”或“=”).
<
练一练
例2
已知反比例函数
，y
随
x
的增大而增大，求a的值.
解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．
解得
a=－3.
反比例函数的图象和性质的初步运用
练一练
已知反比例函数
在每个象限内，y
随着
x
的增大而减小，求
m
的值．
解：由题意得
m2－10=－1，且
3m－8＞0．
解得
m=3.
例3
已知反比例函数的图象经过点
A
(2，6).
(1)
这个函数的图象位于哪些象限？y
随
x
的增大如
何变化？
解：因为点
A
(2，6)
在第一象限，所以这个函数的
图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y
随
x
的增大而减小.
(2)
点B(3，4)，C(
，
)，D(2，5)是否在这个
函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为
，因为点
A
(2，6)在其图象上，所以有
，解得
k
=12.
因为点
B，C
的坐标都满足该解析式，而点
D的坐标不满足，所以点
B，C
在这个函数的图象上，点
D
不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的解析式为
.
(1)
图象的另一支位于哪个象限？常数
m
的取值范围
是什么？
O
x
y
例4
如图，是反比例函数
图象的一支.
根据图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一
支位于第一象限，所以另一支
必位于第三象限.
由因为这个函数图象位于第一、
三象限，所以m－5＞0，
解得m＞5.
(2)
在这个函数图象的某一支上任取点
A
(x1，y1)
和
点B
(x2，y2).
如果x1＞x2，那么
y1
和
y2
有怎样的
大小关系？
解：因为
m－5
＞
0，所以在这个函数图象的任一支
上，y
都随
x
的增大而减小，因此当x1＞x2时，
y1＜y2.
(1)
如果这个函数图象经过点（-3,5），求k的值；
(2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数y随x的增大而减小，求k的范围.
例5
已知反比例函数
解：(1)
因为函数图象经过点（-3，5），代入
函数的表达式，得
解方程，得k=-7.
(2)根据题意，有2k-1>0.
解不等式，得
1.
在反比例函数
的图象上分别取点P，Q
向
x
轴、y
轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，
填写下页表格：
合作探究
反比例函数解析式中
k
的几何意义
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S1
S2
P
(2，2)
Q
(4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想
S1，S2
与
k的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想与
k
的关系
P
(－1，4)
Q
(－2，2)
2.
若在反比例函数
中也
用同样的方法分别取
P，Q
两点，填写表格：
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
y
x
O
P
Q
S1
S2
由前面的探究过程，可以猜想：
若点P是
图象上的任意一点，作
PA
垂直于
x
轴，作
PB
垂直于
y
轴，矩形
AOBP
的面积与k
的关系是S矩形
AOBP=|k|.
y
x
O
P
S
我们就
k
<
0
的情况给出证明：
设点
P
的坐标为
(a，b)
A
B
∵点
P
(a，b)
在函数
的图
象上，
∴
，即
ab=k.
∴
S矩形
AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点
P
在第二象限，则
a<0，b>0，
若点
P
在第四象限，则
a>0，b<0，
∴
S矩形
AOBP=PB·PA
=a·
(－b)=－ab=－k.
B
P
A
综上，S矩形
AOBP=|k|.
自己尝试证明
k
>
0的情况.
点
Q
是其图象上的任意一
点，作
QA
垂直于
y
轴，作
QB
垂直于x
轴，矩形AOBQ
的面积与
k
的关系是
S矩形AOBQ=
.
推理：△QAO与△QBO的
面积和
k
的关系是
S△QAO=S△QBO=
.
Q
对于反比例函数
，
A
B
|k|
y
x
O
归纳：
反比例函数的面积不变性
A.
SA
>SB>SC
B.
SAC.
SA
=SB=SC
D.
SA1.
如图，在函数
(x＞0)的图像上有三点A，B
，
C，过这三点分别向
x
轴、y
轴作垂线，过每一点
所作的两条垂线与x轴、
y轴围成的矩形的面积分
别为SA
，SB，SC，则
(
)
y
x
O
A
B
C
C
练一练
2.
如图，过反比例函数
图象上的一点
P，作
PA⊥x
轴于A.
若△POA
的面积为
6，则
k
=
.
－12
提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意
k＜0.
y
x
O
P
A
3.
若点
P
是反比例函数图象上的一点，过点
P
分别向
x
轴、y
轴作垂线，垂足分别为点
M，N，若四边形
PMON
的面积为
3，则这个反比例函数的关系式是
.
或
例5
如图，P，C是函数
(x>0)
图像上的任意两点，过点
P
作
x
轴的垂线
PA，垂足为
A，过点
C
作
x
轴的
垂线
CD，垂足为
D，连接
OC
交
PA
于点
E.
设
△POA
的面积
为
S1，则
S1=
；梯形CEAD
的面积为
S2，则
S1
与
S2
的大小
关系是
S1
S2；△POE
的面
积
S3
和
S2
的大小关系是S2
S3.
典例精析
2
S1
S2
＞
＝
S3
如图所示，直线与双曲线交于
A，B
两点，P
是AB
上的点，△
AOC
的面积
S1、△
BOD
的面积
S2、
△
POE
的面积
S3
的大小关系为
.
S1
=
S2
<
S3
练一练
解析：由反比例函数面积的不变
性易知
S1
=
S2.
PE
与双曲线的一
支交于点
F，连接
OF，易知，
S△OFE
=
S1
=
S2，而
S3＞S△OFE，
所以
S1，S2，S3的大小关系为
S1
=
S2
<
S3
F
S1
S2
S3
1.
反比例函数
的图象在
(
)
A.
第一、二象限
B.
第一、三象限
C.
第二、三象限
D.第二、四象限
B
巩固练习
2.
在同一直角坐标系中，函数
y
=
2x
与
的
图象大致是
(
)
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
A.
B.
C.
D.
B
3.
已知反比例函数
的图象在第一、三象
限内，则m的取值范围是________.
4.
下列关于反比例函数
的图象的三个结论：
(1)
经过点
(－1，12)
和点
(10，－1.2)；
(2)
在每一个象限内，y
随
x
的增大而减小；
(3)
双曲线位于二、四象限.
其中正确的是
(填序号).
(1)(3)
m
＞
2
5.
在反比例函数　　　(k>0)
的图象上有两点
A
(x1，y1)，
B
(x2，y2)，
且
x1>x2>0，则
y1－y2
0.
＜
y
D
B
A
C
x
6.
如图，点
A
是反比例函数
(x＞0)的图象上
任意一点，AB//x
轴交反比例函数
(x＜0)
的图象于点
B，以
AB
为边作平行四边形
ABCD，其中
点
C，D
在
x
轴上，则
S平行四边形ABCD
=___.
3
2
5
7.
已知反比例函数
y
=
mxm?－5，它的两个分支分别在
第一、第三象限，求
m
的值.
解：因为反比例函数
y
=
mxm?－5
的两个分支分别在第
一、第三象限，
所以有
m2－5=－1，
m＞0，
解得
m=2.
8.
已知反比例函数
的图象经过点
A
(2，－4).
(1)
求
k
的值；
解：∵
反比例函数
的图象经过点
A(2，－4)，
∴
把点
A
的坐标代入表达式，得
，
　　
解得
k
=
－8.
(2)
这个函数的图象分布在哪些象限？y
随
x
的增大
如何变化?
解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个
象限内，y
随
x
的增大而增大.
(3)
画出该函数的图象；
O
x
y
解：如图所示：
(4)
点
B
(1，－8)
，C
(－3，5)是否在该函数的图象上？
因为点
B
的坐标满足该解析式，而点
C
的坐标
不满足该解析式，
所以点
B
在该函数的图象上，点
C
不在该函数
的图象上.
解：该反比例函数的解析式为
.
能力提升：
8.
点
(a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数
(k＞0)
的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.
解：由题意知，在图象的每一支上，y
随
x
的增大而
减小.
①
当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，∴a－1＞a+1，
无解；
②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴必有
y1＜0＜y2.
∴a－1＜0，a+1＞0，
解得：－1＜a＜1.
故
a
的取值范围为：－1＜a＜1．
反比例函数
(k≠0)
k
k
>
0
k
<
0
图象
性质
图象位于第一、三象限
图象位于第二、四象限
在每个象限内，y
随
x
的增大而减小
在每个象限内，y
随
x
的增大而增大
本节小结
第21章
二次函数与反比例函数
沪科版数学九年级上册