第一章单元质量评估(一)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列语句中是命题的是( C )
A．数列都有通项公式吗？
B．x>0
C．直线都有斜率
D．加油！
解析：选项A是疑问句，选项D是感叹句，选项B不能判断真假，故选C.
2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( C )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
解析：命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”．故选C.
3．已知命题p：若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2，下列说法正确的是( B )
A．p的否定是真命题
B．p的否命题是真命题
C．p的逆命题是假命题
D．p的逆否命题是假命题
解析：命题p的否命题是：若x2－3x＋2≠0，则x≠1，且x≠2，是真命题．又因为p是真命题，所以p的逆命题是真命题，逆否命题是真命题，p的否定是假命题，故选B.
4．已知a，b为实数，则“a<0且b<0”是“a＋b<0且ab>0”的( C )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a<0且b<0时，有a＋b<0且ab>0；当a＋b<0且ab>0时，由ab>0可得a，b同号，再由a＋b<0可得a<0且b<0.故选C.
5．命题“对任意的x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定为( C )
A．存在x∈R，使x2－2x＋4≥0
B．对任意的x∈R，都有x2－2x＋4>0
C．存在x∈R，使x2－2x＋4>0
D．存在x?R，使x2－2x＋4>0
解析：全称命题的否定是特称命题，x2－2x＋4≤0的否定是x2－2x＋4>0.故选C.
6．设0
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由07．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“>”是“a>b”的充要条件，则( A )
A．“p或q”为真
B．“p且q”为真
C．p真q假
D．p，q均为假
解析：由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由>能够推出a>b，反之，因为>0，所以由a>b能推出>成立，故命题q是真命题．因此选A.
8．设p，q是两个命题，则新命题“綈(p或q)为假，p且q为假”的充要条件是( C )
A．p，q中至少有一个为真
B．p，q中至少有一个为假
C．p，q中有且只有一个为假
D．p为真，q为假
解析：由綈(p或q)为假知p或q为真，又p且q为假，故p，q中一真一假，故选C.
9．给定下列三个命题：
p1：函数y＝ax＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；
p2：?a，b∈R，a2－ab＋b2<0；
p3：“cosα＝cosβ”成立的一个充分不必要条件是“α＝2kπ＋β(k∈Z)．”
则下列命题中的真命题为( D )
A．p1或p2
B．p2且p3
C．p1或(綈p3)
D．(綈p2)且p3
解析：对于p1：令y＝f(x)，当a＝时，f(0)＝0＋0＝1，f(－1)＝－1－1＝1，所以p1为假命题；
对于p2：a2－ab＋b2＝2＋b2≥0，所以p2为假命题；
对于p3：由cosα＝cosβ，可得α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3是真命题．所以(綈p2)且p3为真命题，故选D.
10．下列说法正确的是( B )
A．命题“?x∈R，ex>0”的否定是“?x0∈R，ex0>0”
B．命题“已知x，y∈R，若x＋y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题是真命题
C．“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”?“(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”
D．命题“若a＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为真命题
解析：A：命题的否定是“?x0∈R，ex0≤0”，∴A错误；B：命题的逆否命题为“已知x，y∈R，若x＝2且y＝1，则x＋y＝3”，易知为真命题，∴B正确；C：分析题意可知，不等式两边的最值不一定在同一个点取到，故C错误；D：若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝0符合题意．当a≠0时，Δ＝4＋4a＝0，即a＝－1，故逆命题是假命题，∴D错误．
11．已知命题p：存在x∈(－∞，0)，2x<3x，命题q：任意x∈(0,1)，log2x<0，则下列命题为真命题的是( C )
A．p且q
B．p或(綈q)
C．(綈p)且q
D．p且(綈q)
解析：由指数函数的图像与性质可知，命题p是假命题，由对数函数的图像与性质可知，命题q是真命题，则命题“p且q”为假命题，命题“p或(綈q)”为假命题，命题“(綈p)且q”为真命题，命题“p且(綈q)”为假命题，故选C.
12．已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是( A )
A.
B.
C.
D.
解析：当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0.当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m.由题意知f(x)min≥g(x)min，即0≥－m，解得m≥，故选A.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是圆的切线到圆心的距离等于半径．
解析：逆否命题只需将原命题的条件与结论变换并否定即可．逆否命题为：圆的切线到圆心的距离等于半径．
14．已知命题“存在x0∈R，x－5x0＋a≤0”的否定为真命题，则实数a的取值范围是(，＋∞)．
解析：由“存在x0∈R，x－5x0＋a≤0”的否定为真命题，可知命题“任意x∈R，x2－5x＋a>0”为真命题，即不等式x2－5x＋a>0恒成立，故方程x2－5x＋a＝0的判别式Δ＝25－4×a<0，解得a>，即实数a的取值范围为(，＋∞)．
15．设命题p：<0，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.
解析：<0，即(2x－1)(x－1)<0，即由题意得?[a，a＋1]，故且等号不能同时取到，解得0≤a≤.
16．已知函数f(x)＝a2x－2a＋1，若命题“?x∈(0,1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
解析：若命题“?x∈(0,1)，f(x)＝a2x－2a＋1≠0”是假命题，则原命题的否定是“?x0∈(0,1)，f(x0)＝0”是真命题，
∴f(1)·f(0)<0，即(a2－2a＋1)(－2a＋1)<0，即(a－1)2(2a－1)>0，解得a>且a≠1，
∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知命题p：?a∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝sin的周期不大于4π.
(1)写出綈p；
(2)当綈p是假命题时，求实数b的最大值．
解：(1)綈p：?a0∈(0，b)(b∈R且b>0)，函数f(x)＝sin的周期大于4π.
(2)因为綈p是假命题，所以p是真命题．
所以对?a∈(0，b]，≤4π恒成立，解得a≤2，所以b≤2，所以实数b的最大值是2.
18．(本小题12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(2)任意x∈{x|x>0}，x＋≥2；
(3)存在x∈{x|x∈Z}，log2x>2.
解：(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．
(2)命题中含有全称量词“任意”，是全称命题，真命题．
(3)命题中含有存在量词“存在”，是特称命题，真命题．
19．(本小题12分)(1)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；如果不存在，请说明理由．
(2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解：(1)由x2－x－2>0得x>2或x<－1；由4x＋p<0得x<－.
当－≤－1，即p≥4时，x<－≤－1，则x<－1，则x2－x－2>0.
故存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件，此时，p的取值范围是[4，＋∞)．
(2)因为x2－x－2>0?4x＋p<0，
所以不存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件．
20．(本小题12分)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，若“p且q”为假，綈q为假，求a的取值范围．
解：由题意知当p为真时，0或a<，
因为“p且q”为假，“綈q”为假，所以p假q真，即即a>.
21．(本小题12分)命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?；命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)p、q至少有一个是真命题；
(2)p或q是真命题且p且q是假命题．
解：∵关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?.
∴Δ＝(a－1)2－4a2<0即a<－1或a>，
∴p：a<－1或a>，綈p：－1≤a≤.
∵函数y＝(2a2－a)x为增函数，∴2a2－a>1，即a<－或a>1，
∴q：a<－或a>1，綈q：－≤a≤1.
(1)若(綈p)且(綈q)为真，则－≤a≤，
∴p、q至少有一个是真时a<－或a>.
(2)∵p或q是真命题且p且q是假命题，∴p、q一真一假，
∴綈p且q为真时即－1≤a＜－，
∴p且(綈q)为真时即∴p或q是真命题且p且q是假命题时，－1≤a<－或22．(本小题12分)已知P：x2－8x－20≤0，Q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)．
(1)若P是Q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
(2)若S：P是Q的充分不必要条件，T：0解：(1)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，若P是Q的充分条件，
则x2－2x＋1－m2≤0在[－2,10]上恒成立，即m2≥(x－1)2在[－2,10]上恒成立，
因为当x＝10时(x－1)2取最大值81，所以m2≥81，
易知m2≥81时，P不是Q的必要条件，又m>0，所以m的取值范围为[9，＋∞)．
(2)由(1)知S：m≥9.若“S或T”为真，“S且T”为假，则S、T一真一假．
所以或解得0第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列语句中是命题的是( )
A．数列都有通项公式吗？
B．x>0
C．直线都有斜率
D．加油！
2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
3．已知命题p：若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2，下列说法正确的是( )
A．p的否定是真命题
B．p的否命题是真命题
C．p的逆命题是假命题
D．p的逆否命题是假命题
4．已知a，b为实数，则“a<0且b<0”是“a＋b<0且ab>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．命题“对任意的x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定为( )
A．存在x∈R，使x2－2x＋4≥0
B．对任意的x∈R，都有x2－2x＋4>0
C．存在x∈R，使x2－2x＋4>0
D．存在x?R，使x2－2x＋4>0
6．设0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“>”是“a>b”的充要条件，则( )
A．“p或q”为真
B．“p且q”为真
C．p真q假
D．p，q均为假
8．设p，q是两个命题，则新命题“綈(p或q)为假，p且q为假”的充要条件是( )
A．p，q中至少有一个为真
B．p，q中至少有一个为假
C．p，q中有且只有一个为假
D．p为真，q为假
9．给定下列三个命题：
p1：函数y＝ax＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；
p2：?a，b∈R，a2－ab＋b2<0；
p3：“cosα＝cosβ”成立的一个充分不必要条件是“α＝2kπ＋β(k∈Z)．”
则下列命题中的真命题为( )
A．p1或p2
B．p2且p3
C．p1或(綈p3)
D．(綈p2)且p3
10．下列说法正确的是( )
A．命题“?x∈R，ex>0”的否定是“?x0∈R，ex0>0”
B．命题“已知x，y∈R，若x＋y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题是真命题
C．“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”?“(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”
D．命题“若a＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为真命题
11．已知命题p：存在x∈(－∞，0)，2x<3x，命题q：任意x∈(0,1)，log2x<0，则下列命题为真命题的是( )
A．p且q
B．p或(綈q)
C．(綈p)且q
D．p且(綈q)
12．已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是(
)．
14．已知命题“存在x0∈R，x－5x0＋a≤0”的否定为真命题，则实数a的取值范围是(
)．
15．设命题p：<0，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(
)
16．已知函数f(x)＝a2x－2a＋1，若命题“?x∈(0,1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是(
)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知命题p：?a∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝sin的周期不大于4π.
(1)写出綈p；
(2)当綈p是假命题时，求实数b的最大值．
18．(本小题12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(2)任意x∈{x|x>0}，x＋≥2；
(3)存在x∈{x|x∈Z}，log2x>2.
19．(本小题12分)(1)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；如果不存在，请说明理由．
(2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围；如果不存在，请说明理由．
20．(本小题12分)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，若“p且q”为假，綈q为假，求a的取值范围．
21．(本小题12分)命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?；命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)p、q至少有一个是真命题；
(2)p或q是真命题且p且q是假命题．
22．(本小题12分)已知P：x2－8x－20≤0，Q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)．
(1)若P是Q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
(2)若S：P是Q的充分不必要条件，T：0