第三章单元质量评估(一)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( C )
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：抛物线的焦点到准线的距离为p＝4.
2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( D )
A．(1，＋∞)
B．(1,2)
C.
D．(0,1)
解析：将椭圆方程变为＋＝1，由题意，得>2，解得03．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( D )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2)
D．x2＋y2＝4(x≠±2)
解析：点P的轨迹是以MN为直径的圆，又P为直角三角形的顶点，∴点P不能与M，N两点重合，故x≠±2.
4．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( A )
A.
B.
C.
D．3
解析：设与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋c＝0，与抛物线联立方程组得消去y得3x2－4x－c＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c)＝0，解得c＝－，则抛物线与直线4x＋3y－8＝0平行的切线是4x＋3y－＝0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d＝＝，故选A.
5．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( C )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D．以上都不对
解析：当双曲线的顶点为(±4,0)时，a＝4，由e＝2知，c＝8，b＝4，双曲线的方程为－＝1；当双曲线的顶点为(0，±3)时，a＝3，由e＝2知，c＝6，b＝3，双曲线的方程为－＝1，故选C.
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是双曲线－＝1的一个焦点，则p的值为( D )
A．4
B．6
C．8
D．12
解析：抛物线的焦点为(，0)，双曲线的半焦距为c＝，∴12＋2p＝，∴p＝12(负值舍去)，故选D.
7．已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( A )
A.
B.
C.
D．2
解析：离心率e＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.故选A.
8．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在抛物线x2＝y的图像上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( A )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：由已知可得|AB|＝2，要使S△ABC＝2，则点C到直线AB的距离必须为，设C(x，x2)，而lAB：x＋y－2＝0，
所以有＝，所以x2＋x－2＝±2，当x2＋x－2＝2时，有两个不同的C点；
当x2＋x－2＝－2时，亦有两个不同的C点．因此满足条件的C点有4个，故选A.
9．已知抛物线y2＝4x的准线过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，且准线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为，则椭圆的离心率为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵抛物线y2＝4x的准线过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，
∴椭圆的左焦点为(－1,0)，∴c＝1.∵O为坐标原点，△AOB的面积为，∴××1＝，
∴＝＝，整理，得2a2－3a－2＝0，解得a＝2或a＝－(舍)，∴e＝＝.故选B.
10．过点P(x，y)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2且·＝1，则点P的轨迹方程是( D )
A．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)
B．3x2－y2＝1(x>0，y>0)
C.x2－3y2＝1(x>0，y>0)
D.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
解析：因为Q与P(x，y)关于y轴对称，所以Q(－x，y)，由＝2，得A，B(0,3y)所以＝.
从而由·＝(－x，y)·＝1，得x2＋3y2＝1，其中x>0，y>0，故选D.
11．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( C )
A．3
B．2
C.
D.
解析：设弦端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x＋2y＝4，x＋2y＝4，∴x－x＝－2(y－y)，
∴此弦的斜率k＝＝－＝－，∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即y＝－x＋.代入x2＋2y2＝4，整理，得3x2－6x＋1＝0，∴x1·x2＝，x1＋x2＝2，
∴|AB|＝·＝·＝.
12．若直线y＝x＋t与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，当|t|变化时，|AB|的最大值为( C )
A．2
B.
C.
D.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得5x2＋8tx＋4t2－4＝0.由Δ＝(8t)2－20(4t2－4)＝－16t2＋80>0，得t2<5，
∴－当t＝0∈(－，)时，|AB|max＝＝.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．双曲线－＝1的两条渐近线的方程为y＝±x.
解析：由题意可得，a＝4，b＝3.又∵双曲线的焦点在x轴上，∴y＝±x＝±x.
14．设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是＋y2＝1.
解析：双曲线的焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，离心率为.设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则e＝＝.因为c＝1，所以a＝.所以b＝＝1.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
15．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①
＋＝1.②
①、②两式相减并整理得＝－·.把已知条件代入上式得，－＝－×，
∴＝，故椭圆的离心率e＝＝.
16．已知抛物线y＝2px2(p>0)的焦点为F，点P在抛物线上，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为点Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点M，则四边形PQMF的面积为.
解析：由P(1，)在抛物线上，得p＝，故抛物线的标准方程为x2＝4y，焦点F(0,1)，准线为y＝－1，
∴|FM|＝2，|PQ|＝1＋＝，|MQ|＝1，则直角梯形PQMF的面积为××1＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
解：(1)当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．∵离心率e＝，∴＝.又∵a2＝b2＋c2，∴a＝3b.
又∵椭圆经过点P(3,0)，∴＋＝1，∴a2＝9，b2＝1.∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．同理可得a＝3b.又∵椭圆过点P(3,0)，∴＋＝1，
∴b2＝9，a2＝81.∴椭圆的标准方程为＋＝1.综上可知，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
18．(本小题12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·.
解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．把点(4，－)代入双曲线的方程得42－(－)2＝λ，∴λ＝6.∴所求双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)由(1)知双曲线的方程为x2－y2＝6.∴c＝2，不妨令F1(－2，0)、F2(2，0)．∵点M在双曲线上，
∴32－m2＝6，∴m2＝3.∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝－3＋3＝0.
19．(本小题12分)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由联立得x2－4x－4b＝0，(
)
因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(
)即为x2－4x＋4＝0，解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，故点A(2,1)．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
20．(本小题12分)已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
解：(1)由已知得c＝2，＝.解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4.所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m.由联立得4x2＋6mx＋3m2－12＝0. ①
设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝＝－1，解得m＝2.
此时方程①为4x2＋12x＝0.解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝3.
此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.
21．(本小题12分)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解：(1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去)．故C的离心率为.
(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a，①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28.故a＝7，b＝2.
22．(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
①求的值；
②求△ABQ面积的最大值．
解：(1)由题意知，2a＝4，则a＝2，又＝，a2－c2＝b2，可得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.①设P(x0，y0)，＝λ，由题意知，Q(－λx0，－λy0)．
因为＋y＝1，又＋＝1，即＝1，所以λ＝2，即＝2.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ>0，可得m2<4＋16k2， ①
因为x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|x1－x2|＝.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝＝＝2.
设＝t，则t>0.将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②
由①②可知0由①知，△ABQ面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为6.第三章单元质量评估(一)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( )
A．1
B．2
C．4
D．8
2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B．(1,2)
C.
D．(0,1)
3．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2)
D．x2＋y2＝4(x≠±2)
4．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )
A.
B.
C.
D．3
5．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D．以上都不对
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是双曲线－＝1的一个焦点，则p的值为( )
A．4
B．6
C．8
D．12
7．已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A.
B.
C.
D．2
8．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在抛物线x2＝y的图像上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
9．已知抛物线y2＝4x的准线过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，且准线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
10．过点P(x，y)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2且·＝1，则点P的轨迹方程是( )
A．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)
B．3x2－y2＝1(x>0，y>0)
C.x2－3y2＝1(x>0，y>0)
D.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
11．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )
A．3
B．2
C.
D.
12．若直线y＝x＋t与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，当|t|变化时，|AB|的最大值为( )
A．2
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．双曲线－＝1的两条渐近线的方程为(
).
14．设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是(
).
15．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于(
).
16．已知抛物线y＝2px2(p>0)的焦点为F，点P在抛物线上，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为点Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点M，则四边形PQMF的面积为(
)..
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
18．(本小题12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求·.
19．(本小题12分)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
20．(本小题12分)已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
21．(本小题12分)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
22．(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
①求的值；
②求△ABQ面积的最大值．
