第三章单元质量评估(二)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( C )
A．y2＝－4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y
D．y2＝4x或x2＝－4y
解析：∵抛物线过点(－4,4)，∴设其方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，将(－4,4)代入可得p＝2，
∴抛物线方程为y2＝－4x或x2＝4y.
2．已知两定点F1(5,0)，F2(－5,0)，曲线上的点P到F1，F2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为( A )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：∵||PF1|－|PF2||＝6<10＝|F1F2|，∴曲线为双曲线，且a＝3，c＝5，∴b＝4，∴方程为－＝1.
3．若椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为( C )
A．2
B．2
C．4
D．4
解析：由椭圆过点(－2，)，所以＋＝1，解得b2＝4，因此c2＝a2－b2＝12，所以c＝2，2c＝4.
4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( A )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±2x
解析：由得所以a＝＝，因此双曲线的方程为－y2＝1，所以渐近线方程为y＝±x.
5．在△ABC中，|AB|＝2|BC|，以A，B为焦点，经过C的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则( A )
A.－＝1
B.－＝2
C.－＝1
D.－＝2
解析：
如图，分别设椭圆与双曲线的标准方程为＋＝1(a>b>0)，－＝1(a′>0，b′>0)，焦距为2c，则|AB|＝2c，|BC|＝c，∵C在椭圆上，∴|AC|＋|BC|＝2a?|AC|＝2a－c，又∵C在双曲线上，∴|AC|－|BC|＝2a′，即2a－c－c＝2a′?－＝1?－＝1.
6．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率可能等于( D )
A.或
B.或2
C.或2
D.或
解析：因为|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，所以设|PF1|＝4x，则|F1F2|＝3x，|PF2|＝2x，x>0.因为|F1F2|＝3x＝2c，
所以x＝c.若曲线为椭圆，则有2a＝|PF1|＋|PF2|＝6x，即a＝3x，所以离心率e＝＝＝＝.若曲线为双曲线，
则有2a＝|PF1|－|PF2|＝2x，即a＝x，所以离心率e＝＝＝＝.所以选D.
7．点A在曲线x2＋y2＝1上移动，点B(3,0)，则线段AB的中点P的轨迹方程是( C )
A．(x＋3)2＋y2＝4
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1
D.2＋y2＝1
解析：设A(x′，y′)，P(x0，y0)，则x′2＋y′2＝1.又∵∴∴(2x0－3)2＋4y＝1，故选C.
8.如图，直线y＝m与抛物线y2＝4x交于点A，与圆(x－1)2＋y2＝4的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则三角形ABF的周长的取值范围是( B )
A．(2,4)
B．(4,6)
C．[2,4]
D．[4,6]
解析：设B(xB，yB)，则1≤xB≤3.因为可以构成三角形ABF，所以1
9．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( D )
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
D．不存在
解析：抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则A，B到直线x＝－1的距离之和为x1＋x2＋2.设直线方程为x＝my＋1，代入抛物线y2＝4x，则y2＝4(my＋1)，即y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，
∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2.∴x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4.∴A，B到直线x＝－2的距离之和x1＋x2＋2＋2≥6>5.
∴满足题意的直线不存在．
10．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( A )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意知，直线A1B1和A2B2关于x轴对称，又所成的角为60°，所以直线方程为y＝±x或y＝±x.又因为有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，所以渐近线斜率满足<≤，解得11．已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( C )
A．2∶
B．1∶2
C．1∶
D．1∶3
解析：设直线FA的倾斜角为θ，因为F(0,1)，A(2,0)，所以直线FA的斜率为－，即tanθ＝－，过点M作准线的垂线交准线于点Q，
由抛物线定义得|FM|＝|MQ|，在△MQN中＝，可得＝，即|FM|∶|MN|＝1∶.
12．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( A )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－，0)∪(0，)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：
如图所示，由题意知BC为双曲线的通径，所以|BC|＝，则|BF|＝.又|AF|＝c－a，因为BD⊥AC，DC⊥AB，所以点D在x轴上．由Rt△BFA∽Rt△DFB，得|BF|2＝|AF|·|FD|，即2＝(c－a)·|FD|，所以|FD|＝，则由题意知第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为＋x2＝1.
解析：由已知2a＝8,2c＝2，所以a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.
14．已知F1(－3,0)，F2(3,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α，当α＝时，△F1PF2的面积最大，则a＋b的值等于15.
解析：当|PF1|＝|PF2|时，△F1PF2的面积最大．由∠F1PF2＝，∴＝2，＝，∴a＋b＝15.
15．已知两定点M(－1,0)，N(1,0)，若直线上存在点P，使|PM|＋|PN|＝4，则该直线为“A型直线”．给出下列直线，其中是“A型直线”的是①④(填序号)．
①y＝x＋1；②y＝2；③y＝－x＋3；④y＝－2x＋3.
解析：由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是＋＝1.①把y＝x＋1代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，
∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，∴直线与椭圆有两个交点，∴y＝x＋1是“A型直线”．
②把y＝2代入＋＝1得＝－不成立，直线与椭圆无交点，∴y＝2不是“A型直线”．
③把y＝－x＋3代入＋＝1，并整理得7x2－24x＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y＝－x＋3不是“A型直线”．
④把y＝－2x＋3代入＋＝1，并整理得19x2－48x＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y＝－2x＋3是“A型直线”．
16．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为.
解析：设点A在点B的左侧，抛物线C2的焦点为F，则F.
联立解得A；联立解得B.∵F为△OAB的垂心，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
即·＝－1，即4b2＝5a2，即4(c2－a2)＝5a2，即＝，∴e＝＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知椭圆的顶点与双曲线－＝1的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的方程．
解：设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，其离心率为e，焦距为2c，双曲线－＝1的焦距为2c1，离心率为e1，则有c＝4＋12＝16，c1＝4，∴e1＝＝2.∴e＝－2＝，即＝. ①又b＝c1＝4，② a2＝b2＋c2，③
由①②③可得a2＝25.∴所求椭圆方程为＋＝1.
18．(本小题12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y＝2x＋1交于P，Q两点，|PQ|＝，求抛物线的方程．
解：设抛物线的方程为y2＝2px，则消去y得4x2－(2p－4)x＋1＝0，x1＋x2＝，x1x2＝.
|PQ|＝|x1－x2|＝＝＝，
则
＝，p2－4p－12＝0，解得p＝－2或p＝6.∴y2＝－4x或y2＝12x.
19．(本小题12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程．
(2)若直线y＝k(x－1)与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变化时总有∠OTS＝∠OTR？若存在，请说明理由．
解：(1)圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝R＋r1＋r2－R＝r1＋r2＝4>|MN|＝2.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)假设存在T(t,0)满足∠OTS＝∠OTR.设R(x1，y1)，S(x2，y2)，联立得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
其中Δ＝144(k2＋1)>0恒成立，
由根与系数的关系得①由∠OTS＝∠OTR(显然TS，TR的斜率存在)，得kTS＋kTR＝0，
即＋＝0.②由R，S两点在直线y＝k(x－1)上，故y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)．代入②得
＝＝0，即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，③
将①代入③得＝＝0，④
要使得④与k的取值无关，当且仅当t＝4时成立．故存在T(4,0)，使得当k变化时，总有∠OTS＝∠OTR.
20．(本小题12分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线y＝kx＋m(km≠0)与该双曲线C交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以点A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．
解：(1)依题意解得a2＝3，b2＝1.所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)消去y得，(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，由已知：1－3k2≠0且Δ＝12(m2＋1－3k2)>0?m2＋1>3k2①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点P(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，
因为AP⊥CD，所以kAP＝＝＝－，整理得3k2＝4m＋1，②
联立①②得m2－4m>0，所以m<0或m>4，又3k2＝4m＋1>0，所以m>－，因此－4.
21．(本小题12分)已知点A(x1，y1)，D(x2，y2)(其中x1(1)当点B的坐标为(1,0)时，求直线AD的斜率；
(2)记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：<.
解：(1)因为B(1,0)，所以A(1，y1)，代入y2＝4x，得到y1＝2.又|BC|＝2，所以x2－x1＝2，所以x2＝3.代入y2＝4x，得到y2＝2.所以kAD＝＝＝－1.
(2)证明：直线OD的方程为y＝x，所以点A到直线OD的距离为d＝.又|OD|＝，
所以S1＝|OD|d＝|x1y2－x2y1|.又S2＝(y1＋y2)(x2－x1)＝y1＋y2，
所以＝＝＝＝，
因为所以y－y＝4(x2－x1)＝8，所以＝＝＝，
因为y1＋y2≥2，当且仅当y1＝y2时取等号，又y1≠y2，所以<＝.
22．(本小题12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
(1)求C的方程．
(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，
①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．
②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意知F.设D(t,0)(t>0)，则FD的中点为.因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋＝，
解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形，所以由＝3，解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)①证明：由(1)知F(1,0)．设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0)，因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1.
由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)．故直线AB的斜率kAB＝－，因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y＝－x＋b，
代入抛物线方程y2＝4x得y2＋y－＝0，由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.
设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝＝.当y≠4时，kAE＝＝－＝，
可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)，由y＝4x0，整理可得y＝(x－1)，直线AE恒过点F(1,0)．
当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1,0)．所以直线AE过定点F(1,0)．
②由①知直线AE过焦点F(1,0)，所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.
设直线AE的方程为x＝my＋1.因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m＝.
设B(x1，y1)，直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)．由于y0≠0，可得x＝－y＋2＋x0，
代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0，所以y0＋y1＝－，可得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.
所以点B到直线AE的距离为d＝＝＝4.
则△ABE的面积S＝×4·≥16.当且仅当＝x0，即x0＝1时等号成立．所以△ABE的面积的最小值为16.第三章单元质量评估(二)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y
D．y2＝4x或x2＝－4y
2．已知两定点F1(5,0)，F2(－5,0)，曲线上的点P到F1，F2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
3．若椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为( )
A．2
B．2
C．4
D．4
4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±2x
5．在△ABC中，|AB|＝2|BC|，以A，B为焦点，经过C的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则( )
A.－＝1
B.－＝2
C.－＝1
D.－＝2
6．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率可能等于( )
A.或
B.或2
C.或2
D.或
7．点A在曲线x2＋y2＝1上移动，点B(3,0)，则线段AB的中点P的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1
D.2＋y2＝1
8.如图，直线y＝m与抛物线y2＝4x交于点A，与圆(x－1)2＋y2＝4的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则三角形ABF的周长的取值范围是( )
A．(2,4)
B．(4,6)
C．[2,4]
D．[4,6]
9．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
D．不存在
10．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
11．已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( )
A．2∶
B．1∶2
C．1∶
D．1∶3
12．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－，0)∪(0，)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为(
)
14．已知F1(－3,0)，F2(3,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α，当α＝时，△F1PF2的面积最大，则a＋b的值等于(
)
15．已知两定点M(－1,0)，N(1,0)，若直线上存在点P，使|PM|＋|PN|＝4，则该直线为“A型直线”．给出下列直线，其中是“A型直线”的是(
)(填序号)．
①y＝x＋1；②y＝2；③y＝－x＋3；④y＝－2x＋3.
16．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为(
)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知椭圆的顶点与双曲线－＝1的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的方程．
18．(本小题12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y＝2x＋1交于P，Q两点，|PQ|＝，求抛物线的方程．
19．(本小题12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程．
(2)若直线y＝k(x－1)与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变化时总有∠OTS＝∠OTR？若存在，请说明理由．
20．(本小题12分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线y＝kx＋m(km≠0)与该双曲线C交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以点A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．
21．(本小题12分)已知点A(x1，y1)，D(x2，y2)(其中x1(1)当点B的坐标为(1,0)时，求直线AD的斜率；
(2)记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：<.
22．(本小题12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
(1)求C的方程．
(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，
①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．
②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．