第二章单元质量评估(二)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果是( C )
A．
B．2
C．0
D．2
解析：取BC的中点F，则＋－－＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.
2．已知A(－1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，则sin〈，〉等于( C )
A．－
B．
C．
D．－
解析：因为＝(1,0,0)，＝(－2，－2,1)，所以cos〈，〉＝－，所以〈，〉∈(，π)，所以sin〈，〉＝.
3．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是( D )
A．a＝(1,0,1)，n＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
解析：若l∥α，则a·n＝0，只有选项D中a·n＝0.
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0，－2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( D )
A．1
B．
C．
D．
解析：依题意(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.
5．在三棱柱ABC?A1B1C1中，D，F分别为CC1，A1B的中点，且＝α＋β，则( A )
A．α＝，β＝－1
B．α＝－，β＝1
C．α＝1，β＝－
D．α＝－1，β＝
解析：如图，取AB中点E，连接EF，CE，则EF綊CC1.又D为C1C的中点，则EF綊DC，四边形DCEF为平行四边形，
则＝＝－，因此α＝，β＝－1，故选A．
6．如图，在正四棱锥P?ABCD中，已知＝a，＝b，＝c，＝，则＝( A )
A．a－b＋c
B．a＋b＋c
C．－a－b＋c
D．－a－b＋c
解析：如图，连接AC，BD，交点为O，再连接PO，则＝a＋c.又＝＋b，所以＝a＋c－b，故＝＝a＋c－b，从而＝＋＝a－b＋c，故选A．
7.如图，在三棱锥A?BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则·等于( A )
A．－2
B．2
C．－2
D．2
解析：·＝·(－)＝·－·＝||||cos90°－||||cos60°＝2×2×cos90°－2×2×cos60°＝－2.
8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2D1D＝2，DA<1，E为线段AB上的动点，当DE＝1，且DE⊥C1E时，DE与C1D1所成的角是( C )
A．120°
B．150°
C．60°
D．30°
解析：·＝(＋＋)·＝·＋·＋·＝0＋1＋0＝1.由于cos〈，〉＝＝，因而DE与C1D1所成的角是60°，故选C．
9．若A(3cosθ，3sinθ，1)，B(2cosθ，sinθ，1)，则||的取值范围为( C )
A．[0,2]
B．(1,2)
C．[1,2]
D．[1,4]
解析：由||＝＝，得||的取值范围是[1,2]，故选C．
10．在底面为直角梯形的四棱锥S?ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为( B )
A．
B．
C．
D．
解析：
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(，0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，平面SAB的一个法向量＝(，0，0)，并求得平面SCD的一个法向量n＝(1，－，)，则cos〈，n〉＝＝.
11．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，D为AA1上一点．若二面角B1?DC?C1的大小为60°，则AD的长为( A )
A．
B．
C．2
D．
解析：如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，B1(0,2,2)．设AD＝a，则点D的坐标为(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,2,2)．设平面B1CD的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则?，令z＝－1，得m＝(a,1，－1)．
又平面C1DC的一个法向量为(0,1,0)，记为n，
则由cos60°＝，得＝，即a＝，故AD＝.故选A．
12．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝－＋，则||2的值为( D )
A．
B．2
C．
D．
解析：过点C作CE垂直于BD，垂足为E，连接AE，则得AC＝1，故三角形ABC为正三角形．
||2＝2＝2＋2＋2－·＋·－·＝×1＋×1＋()2－×1×1×cos∠ABC＝－＝.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，，2)，则m＝－8.
解析：∵l∥α，∴l的方向向量与平面α的法向量垂直，即(2，m,1)·(1，，2)＝0，∴2＋m＋2＝0，∴m＝－8.
14．如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝a＋b＋c(用a，b，c表示)．
解析：＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
15．已知正四棱台ABCD?A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则异面直线AD1与B1C夹角的余弦值为.
解析：
设上、下底面中心分别为O1，O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD，AC，OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
因为AB＝2，A1B1＝1，所以AC＝BD＝2，A1C1＝B1D1＝，因为平面BDD1B1⊥平面ABCD，所以∠B1BO为侧棱与底面的夹角，所以∠B1BO＝60°，设棱台高为h，则tan60°＝，
所以h＝，所以A(0，－，0)，D1，B1，C(0，，0)，
所以＝，＝，所以cos〈，〉＝＝，
故异面直线AD1与B1C夹角的余弦值为.
16．在几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中点，则直线CM与平面CDE夹角的大小为45°.
解析：
如图，以点C为坐标原点，以CA，CB所在的直线分别为x轴、y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系．设||＝a，则A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，E(2a,0，a)，D(0,2a,2a)，M(a，a,0)．
设向量n＝(x0，y0，z0)为平面CDE的一个法向量，则n⊥，n⊥.所以n·＝0，n·＝0.
因为＝(2a,0，a)，＝(0,2a,2a)，所以
令x0＝1，则y0＝2，z0＝－2.所以n＝(1,2，－2)．所以cos〈，n〉＝＝，
即与n的夹角为45°.故直线CM与平面CDE夹角的大小为45°.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使λa＋μb与z轴垂直．
解：2a＋3b＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8)＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16).3a－2b＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21.∵|a|＝＝5，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝.∵λa＋μb与z轴垂直．∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ，∴当λ，μ满足λ＝2μ时，可使λa＋μb与z轴垂直．
18．(本小题12分)已知空间直角坐标系中，△ABC的三个顶点为A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求BC边上的中线AD的长；
(2)求∠BAC的大小．
解：(1)由题意知D(－，0，)，所以AD＝＝＝.
(2)因为＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，所以cos〈，〉＝＝＝＝，所以∠BAC＝.
19．(本小题12分)如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PC的中点．
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)若∠PDA＝60°，求EF与平面ABCD所成角的大小．
解：(1)证明：如图，取PD的中点G，连接AG，FG.∵E，F，G分别是AB，PC，PD的中点，
∴FG綊CD，AE綊CD，∴FG綊AE，∴四边形AEFG是平行四边形，
∴EF∥AG.∵AG?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD．
(2)建立如图所示的空间直角坐标系．∵AP⊥平面ABCD，且∠PDA＝60°，∴AP＝AD．设AB＝a，AD＝b，则A(0,0,0)，P(0,0，b)，E，F，从而＝，＝(0,0，b)，
∴cos〈，〉＝＝＝，∴EF与平面ABCD所成角的正弦值为，∴EF与平面ABCD所成的角为60°.
20.(本小题12分)如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝120°，AD＝AB＝1，AC和BD交于点O.
(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；
(2)若点A在平面PBD内的射影G恰好是△PBD的重心，求AG的长．
解：(1)证明：依题意，可得Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，∴△ABO≌△ADO，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，∴AC⊥BD．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．又BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．
(2)过A作AD的垂线，以该垂线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B，D(0,1,0)．设P(0,0，λ
)(λ>0)，∴G，＝，由AG⊥PB，
得·＝－－λ2＝0，解得λ2＝，λ＝，∴点G的坐标为，∴||＝＝.
21．(本小题12分)如图1，正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是边AC，BC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A?DC?B，如图2所示．
(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求二面角E?DF?C的余弦值；
(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．
解：(1)AB∥平面DEF.∵在△ABC中，E，F分别是边AC，BC的中点，
∴EF∥AB．又AB平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF.
(2)由题，易知AD，DB，DC两两垂直，则以点D为坐标原点，直线DB，DC，DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则D(0,0,0)，A(0,0,2)，E(0，，1)，F(1，，0)，∴＝(1，，0)，＝(0，，1)，＝(0,0,2)
易知平面CDF的一个法向量为＝(0,0,2)．设平面EDF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即
令y＝－，则n＝(3，－，3)．∴cos〈·n〉＝＝.∴二面角E?DF?C的余弦值为.
(3)在线段BC上存在点P，使AP⊥DE.证明如下：
在线段BC上取点P，使BP＝BC，过点P作PQ⊥CD于点Q，连接AP，AQ(图略)，
∴PQ⊥平面ACD，∴PQ⊥DE.∵DQ＝DC＝，且AD＝2，∴∠DAQ＝30°.
又△ADE为等边三角形，∴AQ⊥DE.∴又AQ∩PQ＝Q，∴DE⊥平面APQ.∵AP?平面APQ，∴AP⊥DE.
22.(本小题12分)如图，四棱锥S?ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求平面ACP与平面ACD的夹角的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE∶EC的值？若不存在，试说明理由．
解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，由题意知SO⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O?xyz，
如图．设底面边长为a，
则高SO＝a.于是S(0,0，a)，D(－a,0,0)，C(0，a,0)，
B(a,0,0)，＝(0，a,0)，＝(－a,0，－a)，·＝0，故OC⊥SD．从而AC⊥SD．
(2)由题意知，平面PAC的一个法向量＝(a,0，a)，平面DAC的一个法向量＝(0,0，a)．
设所求夹角为θ，则cosθ＝＝，故平面ACP与平面ACD的夹角的大小为30°.
(3)存在．假设在侧棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC．
由(2)知是平面PAC的一个法向量，且＝(a,0，a)，＝(0，－a，a)，＝(－a，a,0)，
设＝t，则＝＋＝＋t＝(－a，a(1－t)，at)．
由·＝0，得t＝.即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.而BE?平面PAC，故BE∥平面PAC．第二章单元质量评估(二)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果是( )
A．
B．2
C．0
D．2
2．已知A(－1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，则sin〈，〉等于( )
A．－
B．
C．
D．－
3．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是( )
A．a＝(1,0,1)，n＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0，－2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1
B．
C．
D．
5．在三棱柱ABC?A1B1C1中，D，F分别为CC1，A1B的中点，且＝α＋β，则( )
A．α＝，β＝－1
B．α＝－，β＝1
C．α＝1，β＝－
D．α＝－1，β＝
6．如图，在正四棱锥P?ABCD中，已知＝a，＝b，＝c，＝，则＝( )
A．a－b＋c
B．a＋b＋c
C．－a－b＋c
D．－a－b＋c
7.如图，在三棱锥A?BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则·等于( )
A．－2
B．2
C．－2
D．2
8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2D1D＝2，DA<1，E为线段AB上的动点，当DE＝1，且DE⊥C1E时，DE与C1D1所成的角是( )
A．120°
B．150°
C．60°
D．30°
9．若A(3cosθ，3sinθ，1)，B(2cosθ，sinθ，1)，则||的取值范围为( )
A．[0,2]
B．(1,2)
C．[1,2]
D．[1,4]
10．在底面为直角梯形的四棱锥S?ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为( )
A．
B．
C．
D．
11．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，D为AA1上一点．若二面角B1?DC?C1的大小为60°，则AD的长为( )
A．
B．
C．2
D．
12．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝－＋，则||2的值为( )
A．
B．2
C．
D．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，，2)，则m＝(
)
14．如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝(
)(用a，b，c表示)．
15．已知正四棱台ABCD?A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则异面直线AD1与B1C夹角的余弦值为(
).
16．在几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中点，则直线CM与平面CDE夹角的大小为(
).
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使λa＋μb与z轴垂直．
18．(本小题12分)已知空间直角坐标系中，△ABC的三个顶点为A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求BC边上的中线AD的长；
(2)求∠BAC的大小．
19．(本小题12分)如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PC的中点．
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)若∠PDA＝60°，求EF与平面ABCD所成角的大小．
20.(本小题12分)如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝120°，AD＝AB＝1，AC和BD交于点O.
(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；
(2)若点A在平面PBD内的射影G恰好是△PBD的重心，求AG的长．
21．(本小题12分)如图1，正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是边AC，BC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A?DC?B，如图2所示．
(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求二面角E?DF?C的余弦值；
(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．
22.(本小题12分)如图，四棱锥S?ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求平面ACP与平面ACD的夹角的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE∶EC的值？若不存在，试说明理由．
