第四章单元质量评估
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．
满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
答题表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
2．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在闭区间[－1,1]上的最大值是( )
A.
B.
C．0
D．－
3．下列函数存在极值的是( )
A．y＝2x
B．y＝
C．y＝3x－1
D．y＝x2
4．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图像如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为( )
A.∪
B．(－∞，0)∪
C.∪
D.∪(2，＋∞)
5．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是( )
A．a＋b＋c
B．8a＋4b＋c
C．3a＋2b
D．c
6．已知a>0，函数f(x)＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
7．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有( )
A．f(x)>f(a)
B．f(x)
C．f(x)≥f(a)
D．f(x)≤f(a)
8．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝处有极值，则ac＋2b的值为( )
A．3
B．－3
C．0
D．1
9．函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是( )
A．a>0
B．a≥0
C．a<0
D．a≤0
10．函数f(x)＝ax2＋5x＋6在区间[1,3]上是减少的，则实数a的取值范围为( )
A．a<－
B．a>－
C．a≤－
D．a≥－
11．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3
B．－3C．－2D．1答案
1．D f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.
2．A f′(x)＝3x2－2x－1＝0时，x＝1或x＝－，f(－1)＝0，f(1)＝0，f＝.
3．D 画出各选项函数的图像可知，只有y＝x2存在极值．
4．B 由题图像知f(x)在和(2，＋∞)上是增加的，f′(x)>0；在上是减少的，f′(x)<0，又xf′(x)<0，所以或
所以x<0或5．D 由题图易知，f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0,2)上为增函数，在(2，＋∞)上为减函数，所以f(x)的极小值为f(0)＝c.
6．C 由题意知f′(x)＝－3x2＋a≤0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在[1，＋∞]上恒成立，则a≤3，故选C.
7．C 由(x－a)f′(x)≥0知，当x>a时f′(x)≥0，当x∴当x＝a时，函数f(x)取得最小值，则f(x)≥f(a)．
8．B ∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f′＝0，
∴3＋2b＋ac＝0，∴ac＋2b＝－3.
9．C 函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是f′(x)＝0有两个不相等的实数根，即3ax2＋1＝0有实根，当a≥0时显然方程没有实根，当a<0时，方程有实根．
10．C f′(x)＝2ax＋5，由于f(x)在[1,3]上是减少的，故f′(x)在[1,3]上不大于0，
故解得a≤－.
11．B f′(x)＝3x2－12，由f′(x)>0，得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由f′(x)<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数区间在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2————————————————————————————
12.若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)上恰好有( )
A．0个零点
B．1个零点
C．2个零点
D．3个零点
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．函数y＝x－ex的单调增区间为________．
14．设f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)15．若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，则函数f(x)的极大值为________．
16．如果不等式≤对任意的正实数x恒成立，则实数k的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)设函数f(x)＝，求f(x)的单调区间．
18．(12分)若函数f(x)＝ax2＋2x＋bln
x在x＝1和x＝2取极值．
(1)求a，b的值；
(2)求f′(x)在上的最大值和最小值．
答案
12．B f(x)＝x3－ax2＋1，
则f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2a>4，
∴当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)在(0,2)上是减少的．又f(0)·f(2)＝1×＝－4a<0，
f(x)＝0在(0,2)上恰好有一个零点，故选B.
13．(－∞，0)
解析：y′＝1－ex，令y′>0，即1－ex>0，解得x<0，所以所求的单调增区间为(－∞，0)．
14．(7，＋∞)
解析：x∈[－1,2]时，函数f(x)的最大值是7，
所以m>7.
15．32
解析：f(x)＝x3－2mx2＋m2x，
∴f′(x)＝3x2－4mx＋m2，
∴f′(2)＝0，
∴12－8m＋m2＝0，
∴m＝2或m＝6.
当m＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4.
令f′(x)＝0，则x1＝2，x2＝，
∴当x<或x>2时，f′(x)>0，
当∴f(2)是极小值，
∴m＝2应舍去．
当m＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36.
令f′(x)＝0时，x1＝2，x2＝6，
∴当x<2或x>6时，f′(x)>0，
当2∴f(2)是极大值，∴f(2)＝2(2－6)2＝32.
16．0解析：令f(x)＝(x>0)，
则f(x)＝＝，
因此f′(x)＝，
令f′(x)＝＝0，
解得x＝，且函数f(x)在x＝处取得极大值，也是最大值，为，由题意有≤，所以017．解：f′(x)＝
＝.
当2kπ－－，即f′(x)>0；
当2kπ＋单调递减区间为(k∈Z)．
18．解：(1)f′(x)＝2ax＋2＋，由f(x)在x＝1和x＝2时取极值，得f′(1)＝f′(2)＝0，
所以所以
(2)f(x)＝－x2＋2x－ln
x.
f′(x)＝－x＋2－＝＝0，
所以x＝1或x＝2.
f＝－＋1－ln＝＋ln
2，
f(2)＝－ln
2，f(1)＝.
所以最小值为f(1)＝，最大值为f＝＋ln
2.
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19.(12分)设f(x)＝aln
x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
20．(12分)证明：曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1在R上有唯一的公共点．
答案
19．解：(1)因f(x)＝aln
x＋＋x＋1，故f′(x)＝－＋.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln
x＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋＝
＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，
x2＝－.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.
20．证明：曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1的公共点的个数等于函数φ(x)＝ex－x2－x－1零点的个数．
∵φ(0)＝1－1＝0，
∴φ(x)存在零点x＝0.
又φ′(x)＝ex－x－1，令h(x)＝φ′(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，
当x<0时，h′(x)<0，∴φ′(x)在(－∞，0)上单调递减；
当x>0时，h′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴φ′(x)在R上有唯一的极小值φ′(0)＝0，
即φ′(x)在R上的最小值为φ′(0)＝0.
∴φ′(x)≥0在R上恒成立，
∴φ(x)在R上是单调递增的，
∴φ(x)在R上有唯一的零点．
故曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1在R上有唯一的公共点．
————————————————————————————
21.(12分)已知函数f(x)＝(a>0，r>0)．
(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；
(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．
22．(12分)(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．
(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．
答案
21.解：(1)由题意知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)．
f(x)＝＝，
f′(x)＝
＝，
所以当x<－r或x>r时，f′(x)<0，当－r0，因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x)的单调递增区间为(－r，r)．
(2)由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减．因此，x＝r是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝＝＝＝100.
22．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，
f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f′(x)＝lnx＋－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0.
曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.
(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于lnx－>0.
设g(x)＝lnx－，则
g′(x)＝－＝，g(1)＝0.
(ⅰ)当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)>0；
(ⅱ)当a>2时，令g′(x)＝0得
x1＝a－1－，
x2＝a－1＋.
由x2>1和x1x2＝1得x1<1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)上单调递减，此时g(x)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．
满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
答题表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
2．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在闭区间[－1,1]上的最大值是( )
A.
B.
C．0
D．－
3．下列函数存在极值的是( )
A．y＝2x
B．y＝
C．y＝3x－1
D．y＝x2
4．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图像如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为( )
A.∪
B．(－∞，0)∪
C.∪
D.∪(2，＋∞)
5．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是( )
A．a＋b＋c
B．8a＋4b＋c
C．3a＋2b
D．c
6．已知a>0，函数f(x)＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
7．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有( )
A．f(x)>f(a)
B．f(x)C．f(x)≥f(a)
D．f(x)≤f(a)
8．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝处有极值，则ac＋2b的值为( )
A．3
B．－3
C．0
D．1
9．函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是( )
A．a>0
B．a≥0
C．a<0
D．a≤0
10．函数f(x)＝ax2＋5x＋6在区间[1,3]上是减少的，则实数a的取值范围为( )
A．a<－
B．a>－
C．a≤－
D．a≥－
11．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3
B．－3C．－2D．112.若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)上恰好有( )
A．0个零点
B．1个零点
C．2个零点
D．3个零点
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．函数y＝x－ex的单调增区间为________．
14．设f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)15．若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，则函数f(x)的极大值为________．
16．如果不等式≤对任意的正实数x恒成立，则实数k的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)设函数f(x)＝，求f(x)的单调区间．
18．(12分)若函数f(x)＝ax2＋2x＋bln
x在x＝1和x＝2取极值．
(1)求a，b的值；
(2)求f′(x)在上的最大值和最小值．
19.(12分)设f(x)＝aln
x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
20．(12分)证明：曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1在R上有唯一的公共点．
21.(12分)已知函数f(x)＝(a>0，r>0)．
(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；
(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．
22．(12分)(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．
(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．