沪科版数学九年级上册22.1 第3课时 比例的性质和黄金分割（47张）

(共47张PPT)
第22章
相似形
沪科版数学九年级上册
22.1
比例线段
第3课时
比例的性质与黄金分割
1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点）
2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题.（难点）
3.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比，能对黄金分割进行简单运用．（重点、难点）
学习目标
本节目标
如图的(1)和(2)都是故宫太和殿的照片，(2)是由(1)缩小得到的.
（1）
（2）
P
Q
P′
Q′
在照片(1)中任意取四个点P，Q，A
,B在照片(2)找出对应的两个点P′，Q′，A′,
B′量出线段PQ，P′Q′，AB，
A′B′的长度.计算它们的长度的比值.
A
A'
B'
B
引入新知
观察思考
问题1：如果四个数a
,
b,
c,
d成比例，即
那么
ad
=
bc吗？反过来如果ad
=
bc,那么a
,
b,
c
,
d四个数成比例吗？
比例的基本性质
新知讲解
合作探究
如果四个数a,b,c,d成比例，即
那么ad=bc吗？
在等式两边同时乘以bd,得ad=bc
由此可得到比例的基本性质：
如果
，那么
ad=bc.
由此可得到比例的基本性质：
如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么
.
如果ad=bc,那么等式
还成立吗？
在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式中，分母不能为0.
例1：根据下列条件，求
a
:
b
的值：
（1）
4a=5b
；
（2）
（2）∵
，∴8a=7b，∴
解
（1）∵
4a=5b，∴
典例精析
例2：已知
，求
的值.
解：解法1：由比例的基本性质，
得
2（a+3b）=7×2b.
∴a=4b，∴
=
4.
解法2：由
，得
.
∴
,
，那么
、
各等于多少？
2．已知
1．已知：　线段a、b、c满足关系式
且b＝4，那么ac＝______．
，
16
随堂练习
,还有什么其他性质吗？
在等式两边同时加上1,得
由此可得到比例的合比性质：
如果
，那么
问题2：已知a
,
b,
c,
d,
e,
f
六个数，如果
（b+d+f≠0）,那么
成立吗？为什么？
设
,则
a
=
kb,
c
=
kd
,
e=
kf
.
所以
等比性质
由此可得到比例的又一性质：
例3：在△ABC与△DEF中，已知
，且△ABC的周长为18cm,求△DEF得周长.
解：∵
∴
∴4(AB
+
BC
+
CA)=3(DE
+
EF
+
FD).
即
AB+BC+CA
=
(DE+EF+FD)
，
又
△ABC的周长为18cm，
即
AB+BC+CA=18cm.
∴
△DEF的周长为24cm.
例4：若a，b，c都是不等于零的数，且
，求k的值.
得
，
则k＝＝2；
当a＋b＋c＝0时，则有a＋b＝－c.
此时
综上所述，k的值是2或－1.
解：当a＋b＋c≠0时，由
，
解：根据题意，得
即
例5：在地图或工程图纸上，都标有比例尺，比例尺就是图上距离与实际距离的比，现在一长比例尺为1∶5000的图纸上，量得一个△ABC的三边：AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，这个图纸所反映的实际△A’B’C’的周长是多少？
答：实际△A'B'C'的周长是600m
一个五角星如下图所示.
问题：度量C到点A、B的距离,
与
相等吗？
A
C
B
A
B
C
黄金分割的概念
A
B
C
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果
,
那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
相关概念
例6
如图，已知线段AB的长度为a，点P是AB上一点，且使
AB:AP=AP:PB，求线段AB的长和
的值.
A
P
B
解
设AP=x，那么PB=a-x.根据题意，得
a:x=x:(a-x),
即
x2+ax-a2=0.
解方程，得
A
P
B
因为线段长不能是负值，所以取
即
于是
2.如图所示,已知线段AB按照如下方法作图:
1.经过点B作BD⊥AB,使BD=
AB
2.连接AD,在AD上截取DE=DB.
3.在AB上截取AC=AE.
思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?
A
B
D
E
C
巴台农神庙
（Parthenom
Temple）
F
C
A
E
B
D
想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，以矩形ABCD
的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现
，
点E是AB
的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？为什么?
点E是AB的黄金分割点
（即
）是黄金比
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
A
B
C
D
E
F
例7：在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
解：设肚脐到脚底的距离为
x
m，根据题意，得
，解得x
=
0.96.
设穿上
y
m高的高跟鞋看起来会更美，则
解得
y≈0.075，而0.075m=7.5cm.
故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.
1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20
cm，则它的宽约为(
)
(A)12.36
cm
(B)13.6
cm
(C)32.36
cm
(D)7.64
cm
【解析】选A.
0.618×20=12.36(cm).
A
随堂练习
2.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10
cm，则AC的长约为_____cm.（结果精确到0.1
cm）
【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题意知
∴AC2=(10-AC)×10，解得AC≈6.2
cm.
6.2
3.如图所示，乐器上的一根弦AB=80
cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC=______cm，DC=_______cm.
【解析】由黄金分割定义可知，
AC=BD=
×AB=(40
-40)cm,
AD=AB-BD=(120-40
)
cm,
所以DC=AC-AD=(80
-160)
cm.
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。
衔远山，吞长江的中国三大
淡水湖也恰好在这黄金分割
的纬度上。
大自然与黄金分割
图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618.
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比,
普通树叶的宽与长之比也接近0.618;
人与黄金分割
人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是23℃(体温)，也是正常人体温(37℃)的黄金点(23=37×0.618).这说明医学与0.618有千丝万缕联系,尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节.上肢与下肢长度之比均近似0.618.
在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美．
B
C
A
设计与黄金分割
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618.
东方明珠塔，塔高468米.设计师在263米处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观.
人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割.
美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例0.618，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美．
黄金分割的魅力
Apple
logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是0.6，而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。
1.(1)已知
，那么
=
，
=
.
(3)如果
，那么
.
(2)如果
那么
.
巩固练习
2.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形面积为S2，则S1与S2的关系是（
）
A．S1>S2
B．S1C．S1=S2
D．S1≥S2
P
A
B
C
3.已知四个数a，b，c，d成比例.
（1）若a=-3，b=9，c=2，求d；
（2）若a=-3，b=
，c=2，求d.
5.小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到书房（书房高3米），请你帮他设计一下，挂在多高能给人赏心悦目的感觉？
4.点C是线段AB的黄金分割点，如果AB=4，求线段
AC的长度．
AC=4×0.618=2.472
或者
AC=4×(1-0.618)=1.518.
离地面的高度
h=3×0.618=1.854m
6.
如图:在△ABC中，AB=AC,
∠BAC=36°，
BD平分∠ABC交AC于点D,
求证：D是AC的黄金分割点.
证明：在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，
所以∠ABC=∠C=72°，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
在△ACB和△BCD中，∠BDC=72°
∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，
∴△ACB∽△BCD，
∴AC：BC=BC：DC；
∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∴AC：AD=AD：DC；
即点D是AC的黄金分割点．
∵∠A=∠ABD，
∴AD=BD.
7.如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH.点H就是AB的黄金分割点.
解:
设AB=1,那么在
Rt△BAE
中,
A
B
C
D
E
F
G
H
黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果
,
那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段：原线段
=
定义
本节小结
第22章
相似形
沪科版数学九年级上册