沪科版数学九年级上册22.2 第3课时 相似三角形的判定定理2课件（23张）

(共23张PPT)
第22章
相似形
沪科版数学九年级上册
22.2
相似三角形的判定
第3课时
相似三角形的判定定理2
学习目标
1.掌握相似三角形的判定定理2；（重点）
2.能熟练运用相似三角形的判定定理2．（难点）
本节目标
问题1.有两边对应成比例的两个三角形相似吗?
3
3
5
5
不相似
问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
3
3
5
5
相似
引入新知
观察思考
利用刻度尺和量角器画
△ABC和
△A′B′C′，使
∠A=∠A′，
量出
BC
及
B′C′
的长，
它们的比值等于
k
吗？再量一量两个三角形另外的
两个角，你有什么发现？△ABC
与
△A′B′C′
有何关
系？
两个三角形相似
改变
k
和∠A
的值的大小，是否有同样的结论？
引入新知
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
合作探究
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=
∠A′，
证明：
在
△A′B′C′
的边
A′B′
上截取点D，
使
A′D
=
AB．过点
D
作
DE∥B′C′，
交
A′C′
于点
E.
∵
DE∥B′C′，
∴
△A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
∴
A′E
=
AC
.
又
∠A′
=
∠A.
∴
△A′DE
≌
△ABC，
∴
△A′B′C′
∽
△ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∵
A′D=AB，
∴
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵
∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴
△ABC
∽
△A′B′C′
.
归纳：
对于△ABC和
△A′B′C′，如果
A′B′
:
AB=
A′C′
:
AC.
∠B=
∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
A
B
C
思考：
A′
B′
B″
C′
结论：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
例1
根据下列条件，判断
△ABC
和
△A′B′C′
是否相似，并说明理由：
(1)AB=5，AC=3
，∠A=45°,A'B'=10,A'C'=6,
∠A=45°;
解：(1)∵
∴
又
∠A′
=
∠A=45°，∴
△ABC
∽
△A′B′C′.
典例精析
(2)∠A=38°，∠C=97°，∠A'=38°,∠B'=45°
.
解：(2)∵∠B=180°-
∠A-∠C=45°
∴∠B=∠B'=45°.
又
∠A′
=
∠A=38°，
∴
△ABC
∽
△A′B′C′.
1.
在
△ABC
和
△DEF
中，∠C
=∠F=70°，AC
=
3.5
cm，BC
=
2.5
cm，DF
=2.1
cm，EF
=1.5
cm.
求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
E
D
证明：
∵
AC
=
3.5
cm，BC
=
2.5
cm，
DF
=
2.1
cm，EF
=
1.5
cm，
又
∵∠C
=∠F
=
70°，∴
△DEF
∽△ABC.
∴
随堂练习
2.
如图，△ABC
与
△ADE
都是等腰三角形，AD=AE，
AB=AC，∠DAB=∠CAE.
求证：△ABC
∽△ADE.
证明：
∵
△ABC
与
△ADE
是等腰三角形，
∴
AD
=AE，AB
=
AC，
∴
又
∵∠DAB
=
∠CAE，
∴
∠DAB
+∠BAE
=
∠CAE
+∠BAE，
即
∠DAE
=∠BAC，∴△ABC
∽
△ADE.
A
B
C
D
E
解：∵
AE=1.5，AC=2，
例2
如图，D，E分别是
△ABC
的边
AC，AB
上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3，且
，求
DE
的长.
A
C
B
E
D
∴
又∵∠EAD=∠CAB，
∴
△ADE
∽△ABC，
∴
∴
提示：解题时要找准对应边.
证明：
∵
CD
是边
AB
上的高，
∴
∠ADC
=∠CDB
=90°.
∴△ADC
∽△CDB，∴
∠ACD
=∠B，
∴
∠ACB
=∠ACD
+∠BCD
=∠B
+∠BCD
=
90°.
例3
如图，在
△ABC
中，CD
是边
AB
上的高，且
，求证
∠ACB=90°．
A
B
C
D
∵
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
1.
判断
(1)
两个等边三角形相似
(
)
(2)
两个直角三角形相似
(
)
(3)
两个等腰直角三角形相似
(
)
(4)
有一个角是50°的两个等腰三角形相似
(
)
×
√
√
×
巩固练习
2.
如图，D
是
△ABC
一边
BC
上一点，连接
AD，使
△ABC
∽
△DBA的条件是
(
)
A.
AC
:
BC=AD
:
BD
B.
AC
:
BC=AB
:
AD
C.
AB2
=
CD
·
BC
D.
AB2
=
BD
·
BC
D
A
B
C
D
3.
如图
△AEB
和
△FEC
(填
“相似”
或
“不相似”)
.
54
30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
相似
解析：当
△ADP
∽△ACB
时，
AP
:
AB
=AD
:
AC
，∴
AP
:
12
=6
:
8
，
解得
AP
=
9；
当
△ADP
∽△ABC
时，
AD
:
AB
=AP
:
AC
，∴
6
:
12
=
AP
:
8
，
解得
AP
=
4.
∴
当
AP
的长度为
4
或
9
时，
△ADP
和
△ABC
相似．
4.
如图，已知
△ABC中，D
为边
AC
上一点，P
为边
AB上一点，AB
=
12，AC
=
8，AD
=
6，当
AP
的长
度为
时，△ADP
和
△ABC
相似.
A
B
C
D
4
或
9
P
P
5.
如图，在四边形
ABCD
中，已知
∠B
=∠ACD，
AB=6，BC=4，AC=5，CD=
，求
AD
的长．
A
B
C
D
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=
，
∴
又∵∠B=∠ACD，
∴
△ABC
∽
△DCA，
∴
，
∴
6.
如图，∠DAB
=∠CAE，且
AB
·
AD
=
AE·AC，求证
△ABC
∽△AED.
A
B
C
D
E
证明：∵
AB
·
AD
=
AE·AC，
∴
又∵
∠DAB
=∠CAE，
∴∠
DAB
+∠BAE
=∠CAE
+∠BAE
，
即∠DAE
=∠BAC，
∴
△ABC
∽△AED.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用两边及夹角判定三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
本节小结
第22章
相似形
沪科版数学九年级上册