沪科版数学九年级上册22.2 第4课时 相似三角形的判定定理3课件（25张）

(共25张PPT)
第22章
相似形
沪科版数学九年级上册
22.2
相似三角形的判定
第4课时
相似三角形的判定定理3
1.
复习已经学过的三角形相似的判定定理.
2.
掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进
行相关计算.
(重点、难点)
学习目标
本节目标
2.
证明三角形全等有哪些方法？你能从中获
得证明三角形相似的启发吗？
1.
什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪
些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有
其缺点和局限性？
A
B
C
D
E
引入新知
3.
类似于判定三角形全等的
SSS
方法，我们能不能通
过三边来判定两个三角形相似呢？
画
△ABC
和
△A′B′C′，使
，
动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两
个三角形是否相似？
A
B
C
C′
B′
A′
三边成比例的两个三角形相似
合作探究
A
B
C
C′
B′
A′
通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，
又因为两个三角形的边对应成比例，所以
△ABC
∽
△A′B′C′.
下面我们用前面所学得定理证明该结论.
∴
C′
B′
A′
证明:
在线段
AB
(或延长线)
上截取
AD=A′B′，
过点
D
作
DE∥BC
交AC于点
E.
∵
DE∥BC
，∴
△ADE
∽
△ABC.
∴
DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′，
△A′B′C′
∽△ABC.
B
C
A
D
E
又
，AD=A′B′，
∴
，
.
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似．
∵
，
∴
△
ABC
∽
△A′B′C.
符号语言：
归纳总结
例1
判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
(1)
归纳总结
解：在
△ABC
中，AB
>
BC
>
CA，在
△
DEF中，
DE
>
EF
>
FD.
∴
△ABC
∽
△DEF.
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
∵
，
，
，
∴
.
解：
∴
△ABC
∽
△A'B'C'.
∵
，
，
∴
.
(2)
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
归纳总结
已知
△ABC
和
△DEF，根据下列条件判断它们是否相似.
(3)
AB=12，
BC=15，
AC＝24，
DE＝16，EF＝20，
DF＝30.
(2)
AB=4，
BC
=8，
AC＝10，
DE＝20，EF＝16，
DF＝8；
(1)
AB
=3，
BC
=4，
AC＝6，
DE＝6，
EF＝8，
DF＝9；
是
否
否
练一练
例2:如图,
方格网的小方格是边长为1的正方形，
△ABC与△
A′B′C′的顶点都在格点上，△
ABC与
△A′B′C′相似吗?为什么?
C
B
A
A′
B′
C′
解：△
ABC与△
A′B′C′的顶点都在格点上，根据勾股定理，得
∴
△
ABC与△
A′B′C′相似.
例3
如图，在
Rt△ABC
与
Rt△A′B′C′中，∠C
=∠C
′
=
90°，且
求证：△
A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知条件得
AB
=
2
A′B′，AC
=
2
A′C′，
∴
BC
2
=
AB
2－AC
2
=
(
2
A′B′
)2－(
2
A′C′
)2
=
4
A′B′
2－
4
A′C′
2
=
4
(
A′B′
2－A′C′
2
)
=
4
B′C′
2
=
(
2
B′C′
)2.
∴
△
A′B′C′∽△ABC.
(三边对应
成比例的两个三角形相似)
∴
BC=2B′C′，
∴∠BAC=∠DAE，∠BAC
－∠DAC
=
∠DAE
－∠DAC，
即
∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
∴
△ABC
∽△ADE
(三边成
比例的两个三角形相似).
例4
如图，在
△ABC
和
△ADE
中，
∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
A
B
C
D
E
解：∵
解：在
△ABC
和
△ADE
中，
∵
AB
:
CD
=
BC
:
DE
=
AC
:
AE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.
∴∠BAC－∠CAD
=∠DAE－∠CAD
，
∴∠BAD=∠CAE.
故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，
∠B=∠D，∠C=∠E，
∠BAD=∠CAE.
如图，已知
AB
:
AD
=
BC
:
DE
=
AC
:
AE，找出图中相等的角
(对顶角除外)，并说明你的理由.
A
B
C
D
E
随堂练习
1.
如图，若
△ABC∽△
DEF，则
x
的值为
(
)
A
B
C
D
E
F
A.
20
B.
27
C.
36
D.
45
C
巩固练习
2.
如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三
角形的是
(
)
①
②
③
④
A.
①和②
B.
②和③
C.
①和③
D.
②和④
C
3.
如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论
正确的是
(
)
A.
△PAB∽△PCA
B.
△PAB∽△PDA
C.
△ABC∽△DBA
D.
△ABC∽△DCA
A
C
B
P
D
C
∵
AB
:
BC
=
BD
:
AB
=
AD
:
AC，∴△ABC∽△DBA，故选C.
解析：设AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°，∴AB=
，AC=
，AD=
.
4.
根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似：
AB=4cm
，BC
=6cm
，AC
=8cm，A′B′=12cm
，B′C′=18cm
，A′C′=21cm.
答案：不相似.
5.
如图，△ABC中，点
D，E，F
分别是
AB，BC，CA
的中点，求证：△ABC∽△EFD．
∴
△ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，
CA的中点，
∴
∴
6.
如图，某地四个乡镇
A，B，C，D
之间建有公路，已知
AB
=
14
千米，AD
=
28
千米，BD
=
21
千米，
DC
=
31.5
千米，公路
AB
与
CD
平行吗？说出你的理由.
A
C
B
D
28
14
21
42
31.5
解：公路
AB
与
CD
平行.
∴
∴
△ABD∽△BDC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
三边成比例的两个三角形相似
利用三边判定两个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
本节小结
第22章
相似形
沪科版数学九年级上册