沪科版数学九年级上册22.3 第2课时 相似三角形的性质定理3课件（27张）

(共27张PPT)
第22章
相似形
沪科版数学九年级上册
22.3
相似三角形的性质
第2课时
相似三角形的性质定理3
1.掌握相似三角形的性质定理3；（重点）
2.运用相似三角形的面积比解决实际问题.(难点)
学习目标
本节目标
问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们周长的比等于相似比.那么它们面积之比之间有什么关系？也等于相似比吗？
A
B
C
A1
B1
C1
引入新知
(1)与(2)的相似比=______,
(1)与(2)的面积比=______
(1)与(3)的相似比=______,
(1)与(3)的面积比=______
1
2
3
1∶
2
（1）
（2）
（3）
1∶
4
1∶
3
1∶
9
问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,回答以下问题：
结论：
相似三角形的面积比等于__________．
相似比的平方
相似三角形的面积比等于相似比的平方
新知讲解
证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,
如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.
∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′.
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
想一想：怎么证明这一结论呢？
∵△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
归纳总结
例1：如图,△ABC的面积为25，直线DE//BC,如果
△ADE的面积为9，求
的值.
A
B
C
D
∴
△ADE
∽△ABC.
解
∵
DE//BC，
E
典例精析
1.已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2：3，则对
应边上中线之比
，面积之比为
.
2.
如果两个相似三角形的面积之比为1:9，
周长的比为______
.
1:3
2:3
4:9
练一练
如图，四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，相似比为k，它们面积的比是多少？
相似多边形面积的比等于相似比的平方.
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
合作探究
例2：将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离.
　
解：根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC
即，△ABC平移的距离为
解：在
△ABC
和
△DEF
中，
∵
AB=2DE，AC=2DF，
又
∵∠D=∠A，
∴
△DEF
∽
△ABC
，相似比为
1
:
2.
A
B
C
D
E
F
∴
例3
如图，在
△ABC
和
△DEF
中，AB
=
2
DE
，AC
=
2
DF，∠A
=
∠D.
若
△ABC
的边
BC
上的高为
6，面积为
，求
△DEF
的边
EF
上的高和面积.
A
B
C
D
E
F
∵△ABC
的边
BC
上的高为
6，面积为
，
∴△DEF
的边
EF
上的高为
×6
=
3，
面积为
如果两个相似三角形的面积之比为
2
:
7，较大三角形一边上的高为
7，则较小三角形对应边上的高为______.
随堂练习
例4
如图，D，E
分别是
AC，AB
上的点，已知△ABC
的面积为100
cm2，且
，求
四边形
BCDE
的面积.
　
∴
△ADE
∽△ABC.
∵
它们的相似比为
3
:
5，
∴
面积比为
9
:
25.
B
C
A
D
E
解：∵
∠BAC
=
∠DAE，且
又∵
△ABC
的面积为
100
cm2，
∴
△ADE
的面积为
36
cm2
.
∴
四边形
BCDE
的面积为100－36
=
64
(cm2).
B
C
A
D
E
如图，△ABC
中，点
D、E、F
分别在
AB、AC、BC
上，且
DE∥BC，EF∥AB.
当
D
点为
AB
中点时，求
S四边形BFED
:
S△ABC
的值.
A
B
C
D
F
E
解：∵
DE∥BC，D
为
AB
中点，
∴
△ADE
∽
△ABC
，
相似比为
1
:
2，
面积比为
1
:
4.
∴
随堂练习
A
B
C
D
F
E
又∵
EF∥AB，
∴
△EFC
∽
△ABC
，相似比为
1
:
2，
面积比为
1
:
4.
设
S△ABC
=
4，则
S△ADE
=
1，S△EFC
=
1，
S四边形BFED
=
S△ABC－S△ADE－S△EFC
=
4－1－1
=
2，
∴
S四边形BFED
:
S△ABC
=
2
:
4
=
1.
判断：
(1)
一个三角形的各边长扩大为原来的
5
倍，这个
三角形的周长也扩大为原来的
5
倍
(
)
(2)
一个四边形的各边长扩大为原来的
9
倍，这个
四边形的面积也扩大为原来的
9
倍
(
)
√
×
巩固练习
3.
连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个
小三角形与原三角形的周长比等于______，面积
比等于_____.
1
:
2
1
:
4
2.
在
△ABC
和
△DEF
中，AB＝2
DE，AC＝2
DF，
∠A＝∠D，AP，DQ
是中线，若
AP＝2，则
DQ
的值为
(
)
A．2
B．4
C．1
D.
C
4.
两个相似三角形对应的中线长分别是
6
cm
和
18
cm，
若较大三角形的周长是
42
cm，面积是
12
cm2，则
较小三角形的周长____cm，面积为____cm2.
14
5.
如图，这是圆桌正上方的灯泡
(点A)
发出的光线照
射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为
1.2
米，桌面距离地面为
1
米，若灯泡距离地面
3
米，
则地面上阴影部分的面积约为多少
(结果保留两位
小数)？
A
D
E
F
C
B
H
解：∵
FH
=
1
米，AH
=
3
米，
桌面的直径为
1.2
米，
∴
AF
=
AH－FH
=
2
(米)，
DF
=
1.2÷2
=
0.6
(米).
∵DF∥CH，
∴△ADF
∽△ACH，
A
D
E
F
C
B
H
∴
即
解得
CH
=
0.9米.
∴
阴影部分的面积为：
(平方米).
答：地面上阴影部分的面积为
2.54
平方米.
6.
△ABC
中，DE∥BC，EF∥AB，已知
△ADE
和
△EFC
的面积分别为
4
和
9，求
△ABC
的面积.
A
B
C
D
F
E
解：∵
DE∥BC，EF∥AB，
∴
△ADE
∽△ABC，
∠ADE
=∠EFC，∠A
=∠CEF，
∴△ADE
∽△EFC.
又∵S△ADE
:
S△EFC
=
4
:
9，
∴
AE
:
EC=2:3，
则
AE
:
AC
=2
:
5，
∴
S△ADE
:
S△ABC
=
4
:
25，∴
S△ABC
=
25.
7.
如图，△ABC
中，DE∥BC，DE
分别交
AB、AC
于
点
D、E，S△ADE＝2
S△DCE，求
S△ADE
∶S△ABC.
解：过点
D
作
AC
的垂线，交点为
F，则
∴
又∵
DE∥BC，
∴
△ADE
∽△ABC.
A
B
C
D
E
∴
即
S△ADE
:
S△ABC
＝4
:
9.
A
B
C
D
E
相似三角形的性质2
相似三角形面积之比等于相似比的平方
性质的应用
本节小结
第22章
相似形
沪科版数学九年级上册