(共32张PPT)
第23章
解直角三角形
沪科版数学九年级上册
23.1
锐角的三角函数
1.锐角的三角函数
第2课时
正弦和余弦
1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计
算；（重点、难点）
2.在直角三角形中求正弦值、余弦值.
(重点)
学习目标
本节目标
1.分别求出图中∠A，∠B的正切值.
引入新知
复习思考
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与邻边的比就随之确定.想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？
A
B
C
邻边b
对边a
斜边c
任意画Rt△ABC
和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么
与
有什么关系．你能试着分析一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
正弦的定义
新知讲解
合作探究
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
A
B
C
A'
B'
C'
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA
，
即
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
概念讲解
例1
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长.
解：
在Rt△ABC中，
即
∴
BC=200×0.6=120.
A
B
C
典例精析
变式：在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=20,
求:△ABC的周长和面积.
解:
在Rt△ABC中,
20
┐
A
B
C
任意画Rt△ABC
和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么
与
有什么关系．你能试着分析一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
余弦的定义
合作探究
A
B
C
A'
B'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．
∠B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦（cosine），记作cosB，即
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
概念讲解
例2：如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
求:
sinB,cosB,tanB.
老师提示:过点A作AD⊥BC于D.
5
5
6
A
B
C
┌
D
如图，梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？
A
sinA的值越大,梯子越
____
;
cosA的值越
____
,梯子越陡.
陡
小
8
10
6
8
10
6
A
讨论思考
例3：sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( )
A．tan70°＜cos70°＜sin70°
B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin70°＜cos70°＜tan70°
D．cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D.
【方法总结】当角度在0°<∠A<90°间变化时，0cosA>0.当角度在45°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞1.
D
如图：在Rt
△ABC中，∠C＝90°，
正弦
余弦
归纳总结
定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切
(习惯省去“∠”号).
3.sinA,cosA,tanA
是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位.
4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
例4：在Rt△ABC中,∠C=90°,如图,已知AC=12,BC=5,
求∠A的各个三角函数.
┌
A
C
B
12
5
求:AB,sinB.
10
┐
A
B
C
变式：如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10,
思考:我们发现sinA=cosB,其中的内在联系你可否掌握?
例5：如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP,求OP与x轴正方向所夹锐角α的各个三角函数.
x
y
o
Q
(3,4)
P
α
解
过点P作x轴的垂线，垂足为Q.
在Rt△PQO中，OQ=3，QP=4，得
如图：在Rt
△ABC中，∠C＝90°，
sinA=cosB
归纳总结
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（
）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
2.已知∠A,∠B为锐角
(1)若∠A=∠B,则sinA
sinB;
(2)若sinA=sinB,则∠A
∠B.
A
B
C
┌
C
=
=
巩固练习
3.如图,
∠C=90°CD⊥AB.
4.在上图中,若BD=6,CD=12.则cosA=______.
┍
┌
A
C
B
D
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
CDBC
ACAB
ADAC
6.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB
=10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值．
解：∵
又∵
A
B
C
6
10
变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
cosA＝
，求sinA、tanA的值．
解：∵
A
B
C
设AC=15k，则AB=17k
所以
∴
变式2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝
，求sinA、cosB的值．
A
B
C
8
解：∵
7．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM.
解：设正方形ABCD的边长为4x，∵M是AD的中点，BE=3AE，
∴AM＝DM＝2x,AE＝x,BE＝3x．
由勾股定理可知，
A
M
E
D
B
C
7．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM.
A
M
E
D
B
C
由勾股定理逆定理可知，△EMC为直角三角形.
8．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝
(1)求点B的坐标；
(2)求cos∠BAO的值．
A
B
H
解：(1)如图所示，作BH⊥OA，
垂足为H．在Rt△OHB中，
∵BO＝5，sin∠BOA＝
,
∴BH=3，OH＝4，
∴点B的坐标为(4，3)．
8．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝
(2)求cos∠BAO的值．
A
B
H
(2)∵OA＝10，OH＝4，
∴AH＝6．
∵在Rt△AHB中，BH=3，
在Rt△ABC中
=
a
b
tanA
=
本节小结
第23章
解直角三角形
沪科版数学九年级上册(共31张PPT)
第23章
解直角三角形
沪科版数学九年级上册
23.1
锐角的三角函数
2.30°,45°,60°角的三角函数值
第1课时
30°,45°,60°角的三角函数值
1.运用三角函数的概念，自主探索，求出30°、
45°、60°角的三角函数值；（重点）
2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加
以运用.(难点)
学习目标
本节目标
猜谜语
一对双胞胎，一个高，一个胖，?
3个头,尖尖角,我们学习少不了
思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？
引入新知
45°
45°
90°
60°
30°
90°
思考：你能用所写的知识，算出图中表示角度的三角函数值吗？
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
30°
60°
45°
45°
30°、45°、60°角的三角函数值
合作探究
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，
另一条直角边长
=
∴
30°
60°
∴
30°
60°
设两条直角边长为
a，则斜边长
=
∴
45°
45°
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角
函数
30°
45°
60°
sin
a
cos
a
tan
a
归纳：
1
例1
求下列各式的值：
提示：cos260°表示(cos60°)2，即
(cos60°)×(cos60°).
解：cos260°+sin260°
(1)
cos260°+sin260°；
典例精析
(2)
解：
(3)
解：原式
(4)
解：原式
计算：
(1)
sin30°+
cos45°；
解：原式
=
(2)
sin230°+
cos230°－tan45°.
解：原式
=
随堂练习
1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）
2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？
锐角三角函数的增减性：
当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而
；
余弦值随着角度的增大（或减小）而
.
增大（或减小）
减小（或增大）
思考讨论
1.如果∠α是等边三角形的一个内角，则cosα=____.
2.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,
则tanA=____.
3.若tanA=1，则锐角∠A=_____.
4.在Rt△ABC中，sinB=
,则∠B=_____.
5.sinα﹤cosα，则锐角α取值范围（
）
A
30°﹤α
﹤
45
°
B
0°﹤α
﹤
45
°
C
45°﹤α
﹤
60
°
D
0°﹤α
﹤
90
°
B
随堂练习
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
逆向思维
由特殊三角函数值确定锐角度数
填表
例2：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
，求∠A的度数．
解：
在图中，
A
B
C
典例精析
解：
在图中，
A
B
O
∴
α
=
60°.
∵
tanα
=
，
如图，AO
是圆锥的高，OB
是底面半径，AO
=
OB，求
α
的度数.
随堂练习
例3
一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
特殊三角函数值的运用
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
∠AOD
OD=2.5m,
A
C
O
B
D
解:如图,根据题意可知,
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
例4
已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x-3=0的一个根，求2sin2α+cos2α-
tan（α+15°）的值．
解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3，
∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°.
∴2sin2α+cos2α-
3
tan（α+15°）
=2sin245°+cos245°-
3
tan60°
例5
已知
△ABC
中的
∠A
与
∠B
满足
(1－tanA)2
＋|sinB－
|＝0，试判断
△ABC
的形状．
解：∵
(1－tanA)2
＋
|
sinB－
|＝0，
∴
tanA＝1，sinB＝
∴
∠A＝45°，∠B＝60°，
∠C＝180°－45°－60°＝75°，
∴
△ABC
是锐角三角形．
已知：|
tanB－
|
＋
(2
sinA－
)2
＝0，求∠A，∠B的度数.
解：∵
|
tanB－
|
＋
(2
sinA－
)2
＝0，
∴
tanB＝
，sinA＝
∴
∠B＝60°，∠A＝60°.
随堂演练
2.在△ABC中，若
，则∠C=（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
1.
tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（ ）
A．40°
B．30°
C．20°
D．10°
D
D
3.已知cosα
﹤
，锐角a取值范围（
）
A
60°﹤α
﹤
90
°
B
0°﹤α
﹤
60
°
C
30°﹤α﹤
90
°
D
0°﹤α﹤
30
°
A
巩固练习
4.求下列各式的值：
（1）1－2
sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
（3）
解：
（1）1－2
sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
5.如图，在△ABC中，∠A=30°，
求AB.
A
B
C
D
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∠A=30°，
6.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
求∠A、∠B的度数．
B
A
C
解：
由勾股定理
∴
∠A=30°
∠B
=
90°－
∠
A
=
90°－30°=
60°
D
A
B
E
1.6m
20m
45°
C
7.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
=20+1.6=21.6（m）
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数
30°
45°
60°
sin
a
cos
a
tan
a
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；
对于cosα，角度越大，函数值越小.
本节小结
第23章
解直角三角形
沪科版数学九年级上册(共23张PPT)
第23章
解直角三角形
沪科版数学九年级上册
23.1
锐角的三角函数
3.一般锐角的三角函数值
1.复习并巩固锐角三角函数的相关知识.
2.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算.
(重点)
3.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.（难点）
学习目标
本节目标
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角α
三角函数
30°
45°
60°
sin
α
cos
α
tan
α
引入新知
复习思考
D
A
B
E
1.6m
20m
42°
C
问题:
升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42°（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
这里的tan42°是多少呢？
1.求sin18°．
第一步：按计算器
键，
sin
第二步：输入角度值18，
屏幕显示结果sin18°=0.309
016
994
（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）.
用计算器求三角函数值
新知讲解
第一步：按计算器
键，
tan
2.求
tan30°36'.
第二步：输入角度值30，分值36
(可以使用
键)，
°＇
″
屏幕显示答案：0.591
398
351；
第一种方法：
第二种方法：
第一步：按计算器
键，
tan
第二步：输入角度值30.6
（因为30°36'＝30.6°）
屏幕显示答案：0.591
398
351.
第一种方法：
第二种方法：
例1：用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：
(1)cos34°35′； (2)tan66°15′17''；
(3)sin47°； (4)sin18°＋cos55°－tan59°.
解：根据题意用计算器求出：
(1)cos34°35′≈0.8233；
(2)tan66°15′17''≈2.2732；
(3)sin47°≈0.7314；
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
典例精析
如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．
利用计算器求锐角的度数
已知sinA=0.5086，用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：
还以以利用
键，进一步得到
∠A＝30°34'14
".
第一步：按计算器
键，
2nd
F
sin
第二步：然后输入函数值0.
5086
屏幕显示答案：
30.57062136°
°＇″
2nd
F
合作操作
例2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：
(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；
(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；
(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.
解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°；
(2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°；
(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°.
cos55°=
cos70°=
cos74°28
'=
tan3°8
'
=
tan80°25'43″=
sin20°=
sin35°=
sin15°32
'
=
0.3420
0.3420
0.5735
0.5735
0.2678
0.2678
5.930
0.0547
角度增大
正弦值增大
余弦值减小
正切值增大
比一比，你能得出什么结论？
合作探究
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
归纳总结
例3：如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB的长；
(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
利用三角函数解决实际问题
(1)求改直后的公路AB的长；
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，
∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)，AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)．
∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，
∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)．
所以，改直后的公路AB的长约为13.3千米；
(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
(2)∵AC＝10千米，BC＝5.9千米，
∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)．
所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米．
【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长．
例4：如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米
(结果精确到个位)．
解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.
∵∠A＝45°，
∴AF＝DF.
设EF＝x，
∵tan25.6°＝
≈0.5，
∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，
故tan61.4°＝
＝1.8，
解得x≈31.
故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．
所以，塔高DE大约是81米．
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
归纳总结
1.
已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
（1）sinA=0.627
5，sinB＝0.054
7；
（2）cosA＝0.625
2，cosB＝0.165
9；
（3）tanA＝4.842
5，tanB＝0.881
6.
∠B=38°8″
∠A=38°51′57″
∠A=51°18′11″
∠B=80°27′2″
∠A=78°19′58″
∠B=41°23′58″
巩固练习
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子定成立的是（ ）
A．sinA=sinB
B．cosA=cosB
C．tanA=tanB
D．sinA=cosB
D
3.已知：sin232°+cos2α=1，则锐角α等于（ ）
A．32°
B．58°
C．68°
D．以上结论都不对
B
A
4.下列各式中一定成立的是（
）
A.tan75°﹥tan48°﹥tan15°
B.
tan75°﹤tan48°﹤tan15°
C.
cos75°﹥cos48°﹥cos15°
D.
sin75°﹤sin48°三角函数的计算
用计算器求锐角的三角函数值或角的度数
不同的计算器操作步骤可能有所不同
利用计算器探索锐三角函数的新知
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
本节小结
第23章
解直角三角形
沪科版数学九年级上册(共19张PPT)
第23章
解直角三角形
沪科版数学九年级上册
23.1
锐角的三角函数
2.30°，45°，60°角的三角函数值
第2课时
互余两角的三角函数
1.理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系；（重点）
2.会利用互余的角进行正、余弦函数的互换，进行简单地三角变换或相应的计算.(难点)
学习目标
本节目标
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数
30°
45°
60°
sin
a
cos
a
tan
a
引入新知
复习思考
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角
函数
30°
45°
60°
sin
a
cos
a
tan
a
1
从上面的练习中我们不难发现：
你还能从中发现什么规律呢？
sin30°=cos60°
sin60°=cos30°
sin45°=cos45°
规律：这些角的正（余）弦的值，分别等于它们余角的余（正）弦值.
问题
这个规律是否适合任意一个锐角呢？你能够用所学的知识证明你的结论吗？
提示：使用三角函数的定义证明.
A
C
B
c
a
b
新知讲解
互余两角的正弦、余弦值的关系
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和斜边之间的比值也随之确定.
b
A
B
C
a
┌
c
∴sinA=cosB,
cosA=sinB.
b
A
B
C
a
┌
c
∴sinA=cosB,cosA=sinB.
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=90°－∠A，
即sinA=cosB=cos（90°－∠A），
cosA=sinB=
sin（90°－∠A）.
试一试：你能用文字叙述你发现的结论吗？
任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值.
几何语言：
∵∠A+∠B=90°，
∴sinA=cosB，cosA=sinB.
归纳总结
例1
如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝
，求cosB的值
解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立．
解
∵∠A+∠B=90°，
∴cosB=cos(90°-∠A)
=sinA
=
典例精析
例2
已知cosα＝
，α＋β＝90°，则cosβ＝( )
C
解析：∵cosα＝
，α＋β＝90°，∴sinβ＝cosα＝
.设β是一个直角三角形中的锐角，且sinβ＝
，
设b＝3k，c＝5k，则另一直角边的长度为a＝4k，∴cosβ=
利用互为余角的锐角三角函数关系时，先判断两角关系，然后再寻求锐角三角函数之间的关系．将角放到直角三角形中，画出图形，根据图形设出比例式，表示出各边．
归纳总结
下列式子中，不成立的是（
）
A．sin35°=cos55°
B．sin30°+
sin45°=
sin75°
C．
cos30°=
sin60°
D．sin260°+cos260°=1
B
随堂演练
b
A
B
C
a
┌
c
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边和邻边之间的比值也随之确定.
结论：互余两个锐角的正切值互为倒数.
互余两个锐角的正切值的关系
例3
在△ABC中，∠A，∠B是锐角，tanA，tanB是方程3x2－tx＋3＝0的两个根，则∠C＝________．
解析：∵tanA，tanB为方程3x2－tx＋3＝0的两根，
∠A，∠B是锐角．
∴tanA·tanB＝1.
∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.
90°
【方法总结】利用tanA·tan(90°－∠A)＝1，可得∠A与∠B之间的关系，从而求出∠C的大小．
解：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA=
，
∴
tanB=
.
又∵
sinA=
，
∴
cosB=
sinA=
.
1.在△ABC中，∠C=90°，tanA=
，sinA=
,求tanB，cosB.
巩固练习
2.计算：tan33°·tan34°·tan35°·tan55°·tan56°·tan57°
解：原式=(tan33°·
tan57°)(
tan34°·
tan56°)
(tan35°·
tan55°)
=1×1×1
=1
互余两角的
三角函数
任意一个锐角的正（余）弦值，等于
它的余角的余（正）弦值.
互余两个锐角的正切值互为倒数.
本节小结
第23章
解直角三角形
沪科版数学九年级上册(共33张PPT)
第22章
相似形
沪科版数学九年级上册
23.1
锐角的三角函数
1.锐角的三角函数
第1课时
正切
1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点）
2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；
(重点)
3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.（难点）
学习目标
本节目标
智者乐水，仁者乐山
引入新知
思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
铅直高度
水平宽度
梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ称为倾斜角
从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度
从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度
A
C
B
正切的定义
新知讲解
概念讲解
问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
A
B
C
D
E
F
倾斜角越大——梯子越陡
合作探究
问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡
当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
甲
乙
问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
当铅直高度与水平宽度的比相等时，
梯子一样陡
3m
6m
D
E
F
C
2m
B
4m
A
问题4:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.
3m
2m
6m
5m
A
B
C
D
E
F
倾斜角越大，梯子越陡.
若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1
C1
,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？
A
C1
C2
B2
B1
合作探究
两个直角三角形相似
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3
)呢?
思考：由此你得出什么结论?
A
B1
C2
C1
B2
C3
B3
相等
相似三角形的对应边相等
探究思考
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
tanA=
结论：tanA的值越大，梯子越陡.
归纳总结
定义中的几点说明：
1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，
∠A是一个锐角.
2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1.
3.tanA﹥0
且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序：
）.
4.tanA不表示“tan”乘以“A
”.
5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
A
B
C
┌
锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.
思考讨论
例1：
下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
解:甲梯中,
β
6m
┐
乙
8m
α
5m
┌
甲
13m
乙梯中,
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
典例精析
1.
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则
tan
A=______，tan
B
=______．
互余两锐角的正切值互为倒数.
2.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.
A
B
C
D
(1)
tanA
=
=
AC
(
)
CD
(
)
(2)
tanB=
=
BC
(
)
CD
(
)
BC
AD
BD
AC
随堂练习
4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（
）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
A
B
C
┌
C
3.已知∠A,∠B为锐角，
(1)若∠A=∠B,则tanA
tanB;
(2)若tanA=tanB,则∠A
∠B.
=
=
正切通常也用来描述山坡的坡度.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
坡度、坡角
例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:
坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角；
坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称
为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
100m
60m
┌
α
i
概念讲解
例2
如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是( )
解析：∵∠ACB＝90°，i＝1∶3，
B
【方法总结】理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键．
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
例2
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求tanA和tanB.
B
C
A
解
B
C
A
(1)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,
AC=12,tanA=(
).
(2)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,
AB=13,tanA=(
),tanB=(
).
(3)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,tanA=
,
AC=(
).
1.完成下列填空：
巩固练习
2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=
（
）
A.
B.
C.
D.
D
这个图呢？
C
A
B
C
A
B
3.如图,P是
的边
OA
上一点，点
P的坐标为
，则
=__________.
M
记得构造直角三角形哦！
O
P(12,5)
A
x
y
4.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
A
B
C
┌
解：
5.在等腰△ABC中,
AB=AC=13,
BC=10,求tanB.
提示:过点A作AD垂直于BC于点D.
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
A
C
B
┌
D
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴在Rt△ABD中，
易知BD=5，AD=12.
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,
AB=15,tanA=
,求AC和BC.
4k
┌
A
C
B
15
3k
7.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M、N两点关于对角线AC对称,
若DM=1，求tan∠ADN的值.
A
D
B
N
M
C
解：由正方形的性质可知，
∠ADN=∠DNC，BC=DC=4，
∵
M、N两点关于对角线AC对称,
∴
DM=1BN=DM=1.
如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点,
点A(5,0)，O是坐标原点，△PAO
的面积为S.
（1）求S与x的函数关系式；
（2）当S=10时,求tan∠PAO
的值.
M
解：(1)过点P作PM⊥OA于点M，
拓展提高
（2）当S=10时,求tan∠PAO
的值.
M
解：
又∵点P在直线y=-x+6上，
∴x=2.
∴AM=OA-OM=5-2=3.
正切
定义
坡度
∠A越大，tanA越大,
梯子越陡
与梯子倾斜程度的关系
本节小结
第23章
解直角三角形
沪科版数学九年级上册
