23.2 第4课时 坡度问题及一次函数k的几何意义（共24张PPT）
文档属性
| 名称 | 23.2 第4课时 坡度问题及一次函数k的几何意义（共24张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 952.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-24 07:37:32 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
第23章
解直角三角形
沪科版数学九年级上册
23.2
解直角三角形及其应用
第4课时
坡度问题及一次函数
k
的几何意义
1.理解并掌握坡度、坡比的定义；(重点)
2.学会用坡度、坡比解决实际问题.(难点)
学习目标
本节目标
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
A
B
C
引入新知
观察思考
α
l
h
i=
h
:
l
1.
坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作
α
.
2.
坡度
(或坡比)
坡度通常写成
1∶m的形式，如i=1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度
(h)
和水平长度
(l)
的比叫做坡面的坡度
(或坡比)，记作i，
即
i
=
h
:
l
.
坡面
水平面
与坡度、坡角有关的实际问题
新知讲解
3.
坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
α
l
h
i=
h
:
l
坡面
水平面
1.
斜坡的坡度是
，则坡角α
=___度.
2.
斜坡的坡角是45°
，则坡比是
_____.
3.
斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.
α
l
h
30
1
:
1
随堂演练
例1
如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，
沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多
少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长
度精确到0.1m）？
i=1:2
典例精析
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，
AC=240m，
解：
用α表示坡角的大小，由题意可得
因此
α≈26.57°.
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上
升了约107.3
m．
从而
BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
因此
例2
铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基宽BC=9.8m，高BE=5.8m，斜坡AB的坡度i=1∶1.6，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：底宽AB和斜坡的坡角α和β
(精确到
1°)；
A
D
B
C
i=1:2.5
5.8
9.8
α
i=1:1.6
解：
过C作CF⊥AD于点F，得
CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠B=β.
β
F
∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m).
∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).
答：铁路路基下底宽为33.6m，斜坡的坡角分别为32°和21°
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
5.8
9.8
α
i=1:1.6
β
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1
:
2，走
米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．
练一练
A
C
B
D
30°
答案：点B和点C的水平距离为
米.
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
h
h
α
α
l
l
合作探究
我们设法“化曲为直，以直代曲”．
我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角α1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sinα1.
h1
α1
l1
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
归纳总结
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l.
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
x
y
o
Q1
Q2
R
P1(x1,y1)
α
α
P2(x2,y2)
例3:已知：在直线y=kx+b上有任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.
求证：
证明：由α是锐角，可知直线y=kx+b是上升的，即函数y=kx+b的值随x值的增大而增大.
如图，x1＜x2,则y1＜y2.过点P1,P2作x轴的垂线，垂足分别为Q1,Q2,
再过点P1作x轴的平行线P1R交P2Q2于点R，得
∠P2P1R=α.
在Rt△P2P1R中，
∵P1,P2都在直线y=kx+b上，
1.
如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1
:
，坝高
BC=3m，则坡面AB的长度是
(
)
A.
9m
B.
6m
C.
m
D.
m
A
C
B
B
巩固练习
2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6
m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1
m)．
解：作DE⊥AB，
CF⊥AB，
垂足分别为E、F．
由题意可知
DE＝CF＝4
(米)，CD＝EF＝12
(米)．
4.
一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是
12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，
求路基下底的宽
(精确到0.1米，
，
).
?
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
在Rt△ADE中，
E
F
在Rt△BCF中，同理可得
因此
AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93
(米)．
答：
路基下底的宽约为22.93米．
(米).
(米).
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
E
F
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
本节小结
第23章
解直角三角形
沪科版数学九年级上册
第23章
解直角三角形
沪科版数学九年级上册
23.2
解直角三角形及其应用
第4课时
坡度问题及一次函数
k
的几何意义
1.理解并掌握坡度、坡比的定义；(重点)
2.学会用坡度、坡比解决实际问题.(难点)
学习目标
本节目标
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
A
B
C
引入新知
观察思考
α
l
h
i=
h
:
l
1.
坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作
α
.
2.
坡度
(或坡比)
坡度通常写成
1∶m的形式，如i=1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度
(h)
和水平长度
(l)
的比叫做坡面的坡度
(或坡比)，记作i，
即
i
=
h
:
l
.
坡面
水平面
与坡度、坡角有关的实际问题
新知讲解
3.
坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
α
l
h
i=
h
:
l
坡面
水平面
1.
斜坡的坡度是
，则坡角α
=___度.
2.
斜坡的坡角是45°
，则坡比是
_____.
3.
斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.
α
l
h
30
1
:
1
随堂演练
例1
如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，
沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多
少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长
度精确到0.1m）？
i=1:2
典例精析
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，
AC=240m，
解：
用α表示坡角的大小，由题意可得
因此
α≈26.57°.
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上
升了约107.3
m．
从而
BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
因此
例2
铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基宽BC=9.8m，高BE=5.8m，斜坡AB的坡度i=1∶1.6，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：底宽AB和斜坡的坡角α和β
(精确到
1°)；
A
D
B
C
i=1:2.5
5.8
9.8
α
i=1:1.6
解：
过C作CF⊥AD于点F，得
CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠B=β.
β
F
∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m).
∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).
答：铁路路基下底宽为33.6m，斜坡的坡角分别为32°和21°
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
5.8
9.8
α
i=1:1.6
β
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1
:
2，走
米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．
练一练
A
C
B
D
30°
答案：点B和点C的水平距离为
米.
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
h
h
α
α
l
l
合作探究
我们设法“化曲为直，以直代曲”．
我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角α1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sinα1.
h1
α1
l1
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
归纳总结
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l.
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
x
y
o
Q1
Q2
R
P1(x1,y1)
α
α
P2(x2,y2)
例3:已知：在直线y=kx+b上有任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，这条直线向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α.
求证：
证明：由α是锐角，可知直线y=kx+b是上升的，即函数y=kx+b的值随x值的增大而增大.
如图，x1＜x2,则y1＜y2.过点P1,P2作x轴的垂线，垂足分别为Q1,Q2,
再过点P1作x轴的平行线P1R交P2Q2于点R，得
∠P2P1R=α.
在Rt△P2P1R中，
∵P1,P2都在直线y=kx+b上，
1.
如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1
:
，坝高
BC=3m，则坡面AB的长度是
(
)
A.
9m
B.
6m
C.
m
D.
m
A
C
B
B
巩固练习
2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6
m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1
m)．
解：作DE⊥AB，
CF⊥AB，
垂足分别为E、F．
由题意可知
DE＝CF＝4
(米)，CD＝EF＝12
(米)．
4.
一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是
12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，
求路基下底的宽
(精确到0.1米，
，
).
?
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
在Rt△ADE中，
E
F
在Rt△BCF中，同理可得
因此
AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93
(米)．
答：
路基下底的宽约为22.93米．
(米).
(米).
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
E
F
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
本节小结
第23章
解直角三角形
沪科版数学九年级上册