2020-2021学年江苏省南通市如皋市高三上学期期中数学试卷 （Word解析版）

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高三（上）期中数学试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1．已知a为正实数，复数1+ai（i为虚数单位）的模为2，则a的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．3
2．已知集合M＝{1，2}，集合N满足M∪N＝{0，1，2}，则集合N的个数为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．7
3．已知，b＝log25，c＝log37，则a，b，c的大小顺序是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
4．5人排成一排照相，甲排在乙左边（可以相邻，也可以不相邻）的排法总数为（　　）
A．30 B．60 C．120 D．240
5．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，双曲线的右焦点为F，则以F为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为（　　）
A．x2+y2+4x+1＝0 B．x2+y2+4x+3＝0
C．x2+y2﹣4x﹣1＝0 D．x2+y2﹣4x+1＝0
6．正三棱锥S﹣ABC中，SA＝2，，则该棱锥外接球的表面积为（　　）
A． B．4π C．12π D．6π
7．将函数的图象向右平移______个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象（　　）
A． B． C． D．
8．函数y＝tan2x﹣2tanx的最大值为（　　）
A． B．3 C．0 D．﹣3
二、多项选择题（共4小题）
9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F分别为B1B，B1C1的中点，则（　　）
A．直线A1E∥平面ACD1 B．直线B1D⊥平面ACD1
C．平面A1EF∥平面ACD1 D．平面A1B1CD⊥平面ACD1
10．下列关于函数的描述正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）是奇函数的一个必要不充分条件是f（0）＝0
B．定义：如果一个函数既是奇函数又是偶函数，这样的函数称为“两面派”函数，那么，“两面派”函数一定有无数个
C．若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数，则其导函数必为偶函数
D．一个函数的导函数是奇函数，则该函数必为偶函数
11．已知A＝B＝{1，2，3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P（a，b），事件“点P（a，b）恰好落在直线x+y＝n上”对应的随机变量为X，P（X＝n）＝Pn，X的数学期望和方差分别为E（X），V（X），则（　　）
A．P4＝2P2 B．
C．E（X）＝4 D．
12．已知抛物线C：y2＝4x，其焦点为F，P为直线x＝﹣2上任意一点，过P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，斜率分别为k1，k2，则（　　）
A． B．|k1﹣k2|＝2
C．AB过定点（2，0） D．AF?BF的最小值为8
三、填空题（共4小题）
13．已知正三角形ABC的边长为3，，，则＝　 　．
14．设（1﹣2x）5（1+x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a0+a3＝　 　．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为正数）过点（1，1），值域为[0，+∞），则ac的最大值为　 　；实数λ满足，则λ取值范围为　 　．
16．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，一千五百二十岁，…，生数皆终，万物复始，天以更元作纪历”，如皋是著名的长寿之乡，该地区的如城街道一老年公寓共有20位老人，他们的年龄（均为正整数）之和为一遂又三蔀，其中有两位百岁老人（均不到110岁），他们的年龄相差一岁；其余18位老人的年龄也恰好依次相差一岁，则20位老人中年龄最小的岁数为　 　．
四、解答题（共6小题，总分70分）
17．已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，三角形ABC的面积为．
（1）求BC边上的高；
（2）求sin（A﹣C）．
18．数列{an}的前n项的和为Sn，a1＝1，．
（1）证明数列{an}是等比数列，并求通项an；
（2）若等差数列{bn}的各项均为正数，且，a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求数列{anbn}的前n项和Tn．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2正三角形，侧面ACC1A1是菱形，且平面ACC1A1⊥平面ABC，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，．
（1）证明：EF∥平面ABB1A1；
（2）若①三棱锥C1﹣ABC的体积为1；②C1C与底面所成的角为60°；③异面直线BB1与AE所成的角为30°．
请选择一个条件求平面EFG与平面ACC1A1所成的二面角（锐角）的余弦值．
20．利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围x（cm）与肺活量y（mL）的样本，计算平均值，，并求出线性回归方程为．
高一男生胸围与肺活量样本统计表
胸围 70 75 80 85 82 73 77 73 85 72
肺活量 3700 4600 4000 4300 4400 3400 3200 3800 4400 3500
胸围 70 83 78 91 81 74 91 76 104 90
肺活量 3600 4500 3700 4100 4700 3700 4600 4000 4700 3700
（1）求a的值；
（2）求样本y与x的相关系数r，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的（精确到0.001）；
（3）将肺活量不低于4500ml视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率．
（参考公式及数据：，，，．）
附：相关性检验的临界值表
n﹣2 检验水平
0.05 0.01
16 0.468 0.590
17 0.456 0.575
18 0.444 0.561
19 0.433 0.549
20 0.423 0.537
21．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0），点（1，e）和都在椭圆E上，其中e为椭圆E的离心率．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点Q（﹣2，2）的直线l与椭圆E分别交于点M，N，直线OQ与BM交于点T，试问：直线AT与BN是否一定平行？请说明理由．
22．已知函数f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sinx．
（1）当时，求y＝f（x）零点的个数；
（2）当x∈[0，2π]时，求y＝f（x）极值点的个数．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．已知a为正实数，复数1+ai（i为虚数单位）的模为2，则a的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．3
【分析】根据模的定义即可求出．
解：a为正实数，复数1+ai（i为虚数单位）的模为2，
则1+a2＝4，
解得a＝，
故选：A．
2．已知集合M＝{1，2}，集合N满足M∪N＝{0，1，2}，则集合N的个数为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．7
【分析】根据题意可看出N一定含元素0，可能含元素1，2，从而可得出集合N的个数．
解：∵M＝{1，2}，M∪N＝{0，1，2}，
∴N一定含元素0，可能含元素1，2，
∴集合N的个数为：22＝4．
故选：B．
3．已知，b＝log25，c＝log37，则a，b，c的大小顺序是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出，然后即可得出a，b，c的大小顺序．
解：∵，log25＞log24＝2，1＝log33＜log37＜log39＝2，
∴b＞c＞a．
故选：D．
4．5人排成一排照相，甲排在乙左边（可以相邻，也可以不相邻）的排法总数为（　　）
A．30 B．60 C．120 D．240
【分析】根据题意，先计算“5人排成一排”的排法数目，又由其中“甲排在乙左边”与“甲排在乙右边”的数目是一样的，分析可得答案．
解：根据题意，将5人排成一排，有A55＝120种排法，
其中“甲排在乙左边”与“甲排在乙右边”的数目是一样的，
则甲排在乙左边的排法有×120＝60种，
故选：B．
5．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，双曲线的右焦点为F，则以F为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为（　　）
A．x2+y2+4x+1＝0 B．x2+y2+4x+3＝0
C．x2+y2﹣4x﹣1＝0 D．x2+y2﹣4x+1＝0
【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标和渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得圆的半径，即有圆的标准方程，化为一般式方程可得结论．
解：双曲线的a＝1，b＝，c＝＝2，
则F（2，0），双曲线的渐近线方程为x±y＝0，
由题意可得F到渐近线的距离为d＝＝，
即有圆F的半径为，圆心为（2，0），
则所求圆的方程为（x﹣2）2+y2＝3，
化为x2+y2﹣4x+1＝0，
故选：D．
6．正三棱锥S﹣ABC中，SA＝2，，则该棱锥外接球的表面积为（　　）
A． B．4π C．12π D．6π
【分析】首先判断SA，SB，SC两两垂直，再将三棱锥补为正方体，运用正方体的对角线即为其外接球的直径，求得半径，再由球的表面积公式可得所求值．
解：由正三棱锥S﹣ABC中，SA＝2，，
且22+22＝（2）2，可得SA，SB，SC两两垂直，
以SA，SB，SC为正方体的三条相邻的棱，将正四棱锥扩展为正方体，
可得正方体的对角线即为该棱锥外接球的直径，
设球的半径为R，可得2R＝2，即R＝，
可得球的表面积为S＝4πR2＝12π，
故选：C．
7．将函数的图象向右平移______个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象（　　）
A． B． C． D．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
解：根据 函数的图象可得A＝1.5﹣1＝0.5，＝4﹣0，ω＝，
结合五点法作图，φ＝0，故所给的图为y＝sin（x）+1的图象，
故将函数的图象向右平移 个单位后，
再进行周期变换可以得到如图所示的图象，
故选：B．
8．函数y＝tan2x﹣2tanx的最大值为（　　）
A． B．3 C．0 D．﹣3
【分析】利用二倍角公式化简函数y＝tan2x﹣2tanx，再利用换元法求出分母的最小值，即可求出y的最大值．
解：当 ＜x＜ 时，tanx＞1，
函数y＝tan2x﹣2tanx＝﹣2tanx＝＝，
设t＝，t∈（0，1）；
则f（t）＝t3﹣t，
所以f′（t）＝3t2﹣1；
令f′（t）＝0，解得t＝；
当t∈（0，）时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减；
当t∈（，1）时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；
所以t＝时，f（t）取得最小值为f（）＝﹣＝﹣，
所以y的最大值为＝﹣3．
故选：A．
二、多项选择题（共4小题，每小题有多个选项符合要求，每小题5分）
9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F分别为B1B，B1C1的中点，则（　　）
A．直线A1E∥平面ACD1 B．直线B1D⊥平面ACD1
C．平面A1EF∥平面ACD1 D．平面A1B1CD⊥平面ACD1
【分析】利用反证法思想说明A与C错误；证明直线与平面垂直判断B；再由平面与平面垂直的判定判断D．
解：如图，
取CC1 的中点G，连接D1G，EG，可证A1D1＝EG，A1D1∥EG，
得四边形A1EGD1 为平行四边形，则A1E∥D1G，
若直线A1E∥平面ACD1，则D1G∥平面ACD1或D1G?平面ACD1，与D1G∩平面ACD1＝D1矛盾，
故A错误；
由正方体的结构特征可得A1B1⊥平面AA1D1D，则A1B1⊥AD1，
又AD1⊥A1D，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面DA1B1，得AD1⊥B1D，
同理可证AC⊥B1D，又AD1∩AC＝A，∴直线B1D⊥平面ACD1，故B正确；
而B1D?平面A1B1CD，∴平面A1B1CD⊥平面ACD1，故D正确；
连接A1C1，A1B，BC1，由A1A∥C1C，A1A＝C1C，可得四边形AA1C1C为平行四边形，
则A1C1∥AC，∵A1C1?平面A1BC1，AC?平面A1BC1，∴AC∥平面A1BC1，
同理AD1∥平面A1BC1，又AC∩AD1＝A，∴平面A1BC1∥平面ACD1，
若平面A1EF∥平面ACD1，则平面A1EF与平面A1BC1 重合，则EF?平面A1BC1，
与EF∥平面A1BC1矛盾，故C错误．
故选：BD．
10．下列关于函数的描述正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）是奇函数的一个必要不充分条件是f（0）＝0
B．定义：如果一个函数既是奇函数又是偶函数，这样的函数称为“两面派”函数，那么，“两面派”函数一定有无数个
C．若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数，则其导函数必为偶函数
D．一个函数的导函数是奇函数，则该函数必为偶函数
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数y＝f（x）是奇函数，若其定义域步包含0，f（0）＝0一定不成立，反之若f（0）＝0，即函数图象过原点，函数f（x）不一定为奇函数，
故f（0）＝0是函数y＝f（x）是奇函数的既不充分又不必要不充分条件，A错误；
对于B，“两面派”函数既是奇函数又是偶函数，可以为x轴关于原点对称的一部分，其定义域有无数种情况，即两面派”函数一定有无数个，B正确；
对于C，若f（x）为奇函数且在其定义域内可导，函数f（x）的图象关于原点对称，则其图象任意一点的切线斜率必定关于y轴对称，即其导函数必为偶函数，C正确；
对于D，f（x）＝，其导数f'（x）＝，是奇函数，但f（x）不是偶函数，D错误；
故选：BC．
11．已知A＝B＝{1，2，3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P（a，b），事件“点P（a，b）恰好落在直线x+y＝n上”对应的随机变量为X，P（X＝n）＝Pn，X的数学期望和方差分别为E（X），V（X），则（　　）
A．P4＝2P2 B．
C．E（X）＝4 D．
【分析】求出对应的点P，从而求出对应的X的可能取值为2，3，4，5，6，推导出P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，P（X＝5）＝，P（X＝6）＝，由此能求出结果．
解：由题意得对应的点P有：
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），
∴对应的X的可能取值为2，3，4，5，6，
P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，P（X＝5）＝，P（X＝6）＝，
对于A，p4＝P（X＝4）＝≠2P2＝，故A错误；
对于B，P（3≤X≤5）＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）＝＝，故B正确；
对于C，E（X）＝＝4，故C正确；
对于D，V（X）＝（2﹣4）2×+（3﹣4）2×+（4﹣4）2×+（5﹣4）2×+（6﹣4）2×＝，故D正确．
故选：BCD．
12．已知抛物线C：y2＝4x，其焦点为F，P为直线x＝﹣2上任意一点，过P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，斜率分别为k1，k2，则（　　）
A． B．|k1﹣k2|＝2
C．AB过定点（2，0） D．AF?BF的最小值为8
【分析】设P（﹣2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，对抛物线的方程两边对x求导，可得切线的斜率，切线的方程，联立两切线方程求得P的横坐标，可判断A；
由切线的斜率相减，化简可判断B；求得AB的直线方程，结合恒过定点，可判断C；由抛物线的定义和基本不等式可判断D．
解：由题意可得F（1，0），抛物线的准线方程为x＝﹣1，
设P（﹣2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），
则y12＝4x1，y22＝4x2，
对y2＝4x两边对x同时求导，可得2yy′＝4，即y′＝，
所以过A的切线的方程为x﹣x1＝＝（y﹣y1），化为x＝y﹣①，
同理可得过B的切线方程为x＝y﹣②，
由①②解得x＝，由P的横坐标为﹣2，即＝﹣2，则y1y2＝﹣8，k1k2＝＝﹣，故A正确；
因为|k1﹣k2|＝||＝||不为定值，故B错误；
因为AB的直线方程为y﹣y1＝（x﹣），即y＝y1+x﹣，
即y＝（x﹣2），所以AB恒过定点（2，0），故C正确；
将|AF|，|BF|转化为到准线的距离，即|AF|?|BF|＝（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝+1+（+）
＝5+（+）≥5+2＝9，当且仅当|y1|＝|y2|时取得等号，
所以|AF|?|BF|的最小值为9，故D错误．
故选：AC．
三、填空题（共4小题，每小题5分）
13．已知正三角形ABC的边长为3，，，则＝　﹣　．
【分析】利用已知条件求出数量积中的两个向量，然后利用向量的数量积的运算法则求解即可．
解：正三角形ABC的边长为3，，，
可得＝，＝，
则＝（）?（）
＝﹣+?
＝﹣+﹣
＝﹣．
故答案为：﹣．
14．设（1﹣2x）5（1+x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a0+a3＝　﹣39　．
【分析】把（1﹣2x）5按照二项式定理展开，可得a0和a3的值，从而得到a0+a3的值．
解：∵（1﹣2x）5（1+x）＝（1﹣10x+40x2﹣80x3+80x4﹣32x5）?（1+x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，
则a0+a3＝1+（﹣80+40）＝﹣39，
故答案为：﹣39．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为正数）过点（1，1），值域为[0，+∞），则ac的最大值为　　；实数λ满足，则λ取值范围为　[2，+∞）　．
【分析】题意可知a+b+c＝1（a＞0，b＞0，c＞0），△＝b2﹣4ac＝0，所以，进而得到，再利用基本不等式即可求出ac的最大值，由已知条件可得λ＝2+﹣2，
利用基本不等式结合0＜a＜1，即可求出λ取值范围．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为正数）过点（1，1），
∴a+b+c＝1（a＞0，b＞0，c＞0），
∵开口向上且值域为[0，+∞），
∴△＝b2﹣4ac＝0，
∴b＝2，
∴，
∴，
∴，
∴1＝，即，当且仅当a＝c＝时，等号成立，
∴，即ac，当且仅当a＝c＝时，等号成立，
∴ac的最大值为（当且仅当a＝c＝时最大），
∵＝1﹣b＝a+c＝a+（1﹣）2＝2a﹣2+1，
∴λ＝2﹣2+＝2+﹣2，
∵a+c＝2a﹣2+1＝1﹣b＜1，即2a﹣2＜0，
∴a﹣＜0，
∴a﹣＝＜0，∴0，
∴0＜a＜1，
∴＝2，当且仅当即a＝时，等号成立，
又∵a→0时，→+∞，
∴λ∈[2，+∞），
故答案为：，[2，+∞）．
16．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，一千五百二十岁，…，生数皆终，万物复始，天以更元作纪历”，如皋是著名的长寿之乡，该地区的如城街道一老年公寓共有20位老人，他们的年龄（均为正整数）之和为一遂又三蔀，其中有两位百岁老人（均不到110岁），他们的年龄相差一岁；其余18位老人的年龄也恰好依次相差一岁，则20位老人中年龄最小的岁数为　77　．
【分析】设最小者年龄为n，年龄最大的两位老人年龄为m，m﹣1，由题意可知n+（n+1）+……+（n+17）+m﹣1+m＝1748，得到m＝798﹣9n，再根据100＜m＜110求出n的取值范围，进而得到n的值．
解：由题意可知，20位老人的年龄之和为1748，
设最小者年龄为n，年龄最大的两位老人年龄为m，m﹣1，
则有n+（n+1）+……+（n+17）+m﹣1+m＝1748，
整理得：m＝798﹣9n，
∴100＜798﹣9n＜110，
∴76.4＜n＜77.5，
∴n＝77，
即20位老人中年龄最小的岁数为77岁．
故答案为：77．
四、解答题（共6小题，总分70分）
17．已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，c＝3，三角形ABC的面积为．
（1）求BC边上的高；
（2）求sin（A﹣C）．
【分析】（1）由已知利用三角形的面积公式可求sinA的值，结合A为锐角，可得A＝，由余弦定理可得a的值，根据三角形的面积公式即可求解BC边上的高．
（2）由余弦定理可求cosC的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinC的值，根据两角差的正弦公式即可求解sin（A﹣C）的值．
解：（1）因为b＝2，c＝3，三角形ABC的面积为＝bcsinA＝sinA，
解得sinA＝，
因为A为锐角，可得A＝，
由余弦定理可得a＝＝＝，
设BC边上的高为h，则ah＝×h＝，
解得h＝．
即BC边上的高为．
（2）因为cosC＝＝＝，
可得sinC＝＝，
sin（A﹣C）＝sinAcosC﹣cosAsinC＝×﹣＝﹣．
18．数列{an}的前n项的和为Sn，a1＝1，．
（1）证明数列{an}是等比数列，并求通项an；
（2）若等差数列{bn}的各项均为正数，且，a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求数列{anbn}的前n项和Tn．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
（2）利用已知条件求出数列，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．
解：（1）数列{an}的前n项的和为Sn，a1＝1，①，
当n≥2时，②，
①﹣②得：，
整理得an+1＝3an，即（常数），
所以数列{an}是以a2＝3为首项，3为公比的等比数列．
所以（首项符合通项），
所以．
（2）设公差为d的等差数列{bn}的各项均为正数，且，
即b1+b2+b3+b4＝24，
已知a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，
所以，
故，解得或（舍去），
故bn＝2n+1，
所以，
故①，
②，
①﹣②得：﹣2Tn＝3+2（3+9+…+3n﹣1）﹣（2n+1）?3n
＝，
整理得：．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2正三角形，侧面ACC1A1是菱形，且平面ACC1A1⊥平面ABC，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，．
（1）证明：EF∥平面ABB1A1；
（2）若①三棱锥C1﹣ABC的体积为1；②C1C与底面所成的角为60°；③异面直线BB1与AE所成的角为30°．
请选择一个条件求平面EFG与平面ACC1A1所成的二面角（锐角）的余弦值．
【分析】（1）取A1B1的中点M，连接ME，MB，易证四边形MEFB为平行四边形，从而有EF∥MB，故而得证；
（2）过点C1作C1O⊥AC于O，连接OB，由平面ACC1A1⊥平面ABC，推出C1O⊥平面ABC．选择条件①：先求得OC＝1，可证OB⊥AC，故以O为原点，OB、OC、OC1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，依次得平面ACC1A1和平面EFG的法向量与，再由cos＜，＞＝，得解；选择条件②：易知∠C1CO＝60°，从而得OC＝1，接下来同①；选择条件③：易知∠A1AE＝30°，从而有∠C1CO＝60°，接下来同②中．
【解答】（1）证明：取A1B1的中点M，连接ME，MB，
则ME∥B1C1∥BF，ME＝B1C1＝BC＝BF，
∴四边形MEFB为平行四边形，
∴EF∥MB，
∵EF?平面ABB1A1，MB?平面ABB1A1，
∴EF∥平面ABB1A1．
（2）解：过点C1作C1O⊥AC于O，连接OB，
∵平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，
∴C1O⊥平面ABC，
选择条件①：
三棱锥C1﹣ABC的体积V＝?C1O?S△ABC＝?C1O?×2×＝1，∴C1O＝，
在Rt△C1OC中，OC＝＝1，
∴点O为AC的中点，∴OB⊥AC，
故以O为原点，OB、OC、OC1分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B （，0，0），E（0，﹣1，），F（，，0），G（0，，），
∴＝（，，﹣），＝（0，，），
∵OB⊥AC，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，OB?平面ABC，
∴OB⊥平面ACC1A1，
∴平面ACC1A1的一个法向量为＝（，0，0），
设平面EFG的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令y＝1，则x＝，z＝，∴＝（，1，），
∴cos＜，＞＝＝＝，
故平面EFG与平面ACC1A1所成的二面角（锐角）的余弦值为．
选择条件②：
∵C1C与底面所成的角为60°，∴∠C1CO＝60°，∴OC＝1，
∴点O为AC的中点，∴OB⊥AC，
下面的过程同条件①中的步骤．
选择条件③：
∵BB1∥AA1，
∴∠A1AE即为异面直线BB1与AE所成的角，即∠A1AE＝30°，
∵AA1＝2，A1E＝1，
∴∠AA1E＝60°，即∠C1CO＝60°，
下面的过程同条件②中的步骤．
20．利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围x（cm）与肺活量y（mL）的样本，计算平均值，，并求出线性回归方程为．
高一男生胸围与肺活量样本统计表
胸围 70 75 80 85 82 73 77 73 85 72
肺活量 3700 4600 4000 4300 4400 3400 3200 3800 4400 3500
胸围 70 83 78 91 81 74 91 76 104 90
肺活量 3600 4500 3700 4100 4700 3700 4600 4000 4700 3700
（1）求a的值；
（2）求样本y与x的相关系数r，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的（精确到0.001）；
（3）将肺活量不低于4500ml视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率．
（参考公式及数据：，，，．）
附：相关性检验的临界值表
n﹣2 检验水平
0.05 0.01
16 0.468 0.590
17 0.456 0.575
18 0.444 0.561
19 0.433 0.549
20 0.423 0.537
【分析】（1）把样本点的中心坐标代入线性回归方程，即可求得值；
（2）由已知数据及相关系数公式求得r值，结合临界值表得结论；
（3）求出全校高一男生大肺活量的概率，再由二项分布的概率计算公式求解．
解：（1）由已知可得，＝4030，
则样本点的中心的坐标为（80，4030），代入，
得4030＝32.26×80.5+a，即a＝1433.07；
（2）假设H0：变量x，y不具有线性相关关系，
由参考公式，，
得r＝＝，
由相关性检验临界值表知，r0.01＝0.561，而0.601＞0.561，
∴有99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的；
（3）从统计表中可知，20个样本中不低于4500ml的有5个，
∴全校高一男生大肺活量的概率为，
设从本校高一年级任意抽取4名男同学恰有2名男生是大肺活量的概率为p，
则p＝．
故从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率是．
21．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0），点（1，e）和都在椭圆E上，其中e为椭圆E的离心率．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点Q（﹣2，2）的直线l与椭圆E分别交于点M，N，直线OQ与BM交于点T，试问：直线AT与BN是否一定平行？请说明理由．
【分析】（1）根据题意可得，解得a2，b2，即可得椭圆E的方程．
（2）根据题意设直线l的方程为x+2＝t（y﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l的方程与椭圆的方程，消去x，可得（t2+4）y2﹣4t（t+1）y+4t（t+2）＝0，结合韦达定理得y1+y2，y1y2，写出直线BM方程与OQ的方程，联立解得T（，﹣），记直线AT，BN的斜率分别为k1，k2，再作差k2﹣k1＝0，即可得证．
解：（1）将（1，e）和代入椭圆E方程得：
，解得a2＝4，b2＝1，
所以椭圆E的方程为＝1．
（2）AT∥BN．
理由如下：依题意，A（﹣2，0），B（2，0），直线l不与x轴平行，
设直线l的方程为x+2＝t（y﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程组，消去x可得（t2+4）y2﹣4t（t+1）y+4t（t+2）＝0，
所以△＞0，且y1+y2＝，y1y2＝，
直线BM的方程为y＝（x﹣2），
直线OQ的方程为y＝﹣x，
联立方程组，解得，
即T（，﹣），
记直线AT，BN的斜率分别为k1，k2，
则k1＝＝﹣，k2＝，
所以k2﹣k1＝+＝，
由于x1y2+x2y1+2y1y2﹣2（y1+y2）
＝[ty1﹣2（t+1）]y2+[ty2﹣2（t+1）]y1+2y1y2﹣2（y1+y2）
＝2（t+1）y1y2﹣2（t+2）（y1+y2）
＝2（t+1）×﹣2（t+2）×＝0，
所以k1＝k2，
所以AT∥BN．
22．已知函数f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sinx．
（1）当时，求y＝f（x）零点的个数；
（2）当x∈[0，2π]时，求y＝f（x）极值点的个数．
【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的零点个数即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论x的范围，求出函数的单调区间，从而确定函数的极值点的个数．
解：（1）由题意f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sinx，，
f′（x）＝1﹣sinx﹣（x+2）cosx，
由于≤x≤π，cosx≤0，又sinx≤1，
∴f′（x）≥0，f（x）在[，π]上单调递增，
∵f（）＝﹣3＜0，f（π）＝π﹣1＞0，
∴函数f（x）在[，π]上有唯一零点；
（2）由题意f（x）＝（x﹣1）﹣（x+2）sinx，x∈[0，2π]，
则f′（x）＝1﹣sinx﹣（x+2）cosx，
令h（x）＝1﹣sinx﹣（x+2）cosx，h′（x）＝﹣2cosx+（x+2）sinx，
①当0≤x≤时，∵cosx≥，1﹣2cosx＜1﹣2×＝1﹣＜0，
∴f′（x）＝1﹣sinx﹣（x+2）cosx＝（1﹣2cosx）﹣sinx﹣xcosx＜0，
∴函数f（x）在[0，]上无极值点，
②当＜x＜π时，h（）＝0，
当＜x＜π时，∵cosx＜0，∴h′（x）＝﹣2cosx+（x+2）sinx＞0，
∴h（x）在[，π]上递增，h（x）＞h（）＝0，即f′（x）＞0，
当＜x＜时，sinx＞cosx，
∴h′（x）＝﹣2cosx+（x+2）sinx＝2（sinx﹣cosx）+xsinx＞0，
∴h（x）在（，）递增，h（x）＜h（）＝0即f′（x）＜0，
∴是f（x）在（，π）上的极小值点，
③当π＜x≤时，sinx＜0，cosx≤0，则f′（x）＞0，f（x）无极值点，
④当＜x≤2π时，cosx＞0，sinx＜0，
∴h′（x）＝﹣2cosx+（x+2）sinx＜0，
∴h（x）在（，2π）上递减，且h（）＝2＞0，h（2π）＝﹣2π﹣1＜0，
∴h（x）在（，2π）上有唯一零点x2，
当＜x＜x2时，f′（x）＞0，当x2＜x＜2π时，f′（x）＜0，
故x＝x2是函数f（x）的一个极大值点，
综上，函数f（x）存在2个极值点．