2020-2021学年江苏省镇江市高二上学期期中数学试卷 （Word解析版）

2020-2021学年江苏省镇江市高二（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．已知数列an＝n2﹣6n+5，则该数列中最小项的序号是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．若椭圆与双曲线x2﹣15y2＝15的焦点相同，则m的值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
3．已知等差数列{an}的前11项和S11＝88，则a2+a10＝（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
4．卢浮宫金字塔（（PyramideduLouvre）位于巴黎卢浮宫的主院拿破仑庭院，由美籍华人建筑师设计，已成为巴黎的城市地标．金字塔为正四棱锥造型，四个侧面由几乎大小相同的玻璃块拼装而成，能成为地下设施提供良好的采光，创造性地解决了把古老宫殿改造成现代美术馆的一系列难题，取得极大成功，享誉世界．金字塔塔高21米，底宽34米，如果每块玻璃面积为2.72平方米，不计安装中的损耗，请你估算，建造这座玻璃金字塔需要玻璃块的块数最接近的数为（　　）
A．575 B．625 C．675 D．725
5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AC上的动点，则PB1与平面DA1C1的位置关系是（　　）
A．线在面内 B．平行 C．相交 D．不能确定
6．抛物线y2＝4x的准线与双曲线4x2﹣y2＝1的两条渐近线所围成的三角形面积为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且，则的值为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
8．降雨量是气象部门观测的重要数据，日降雨量是指一天内降落在地面单位面积雨水层的深度（单位：毫米）．我国古代就有关于降雨量测量方法的记载，古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：天池盆（圆台形状）盆口直径二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是几寸（注：一尺等于十寸，一寸等于厘米）？已知某隧道的积水程度与日降水量的关系如表所示：
日降雨量（单位：毫米） [15，40） [40，70） [70，120） [120，250）
隧道积水程度 一级 二级 三级 四级
如果某天该隧道的日降水量按照“天池盆测雨”题中数据计算，则该隧道的积水程度为（　　）
A．一级 B．二级 C．三级 D．四级
二、多选题（共4小题）.
9．下列说法正确的有（　　）
A．正三棱锥的三个侧面重心所确定的平面与底面平行
B．设m为圆锥的一条母线，则在该圆锥底面圆中，有且只有一条直径与m垂直
C．对于任意一个正棱柱，都存在一个球，使得该正棱柱的所有顶点都在此球面上
D．设AB，CD分别为圆柱上、下底面的弦，则直线AB，CD间距离等于该圆柱母线长
10．已知等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn，且2a1，S8，S9成等差数列，则下列四个选项中正确的有（　　）
A．2a5+3a9＝S8 B．S2＝S7 C．S5最小 D．a5＝0
11．已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△PF1F2的说法正确的有（　　）
A．△PF1F2的周长为4+2
B．当∠PF1F2＝90°时，△PF1F2的边PF1＝2
C．当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为
D．椭圆上有且仅有6个点P，使得△PF1F2为直角三角形
12．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象．当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件．计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0，即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数C0＝2，若一台计算机有105个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态．该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（　　）
A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件
B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件
C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态
D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．抛物线C：y2＝2px的焦点F是圆x2+y2﹣2x＝0的圆心，P为抛物线C上在第一象限内的点，且PF＝3，则P点的坐标为　 　．
14．已知等差数列{an}的首项和公差都为2．则数列{an}的通项公式an＝　 　，数列的前2020项和为　 　．
15．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点都在球O的表面上，且AB＝BC＝3，异面直线CC1与AD1所成的角为60°，则球O的表面积为　 　．
16．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分，且C的两条渐近线分别平行于AC，BD，则该双曲线C的离心率为　 　．
四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B1A1C1＝90°，P，Q分别是棱A1B1，B1C1的中点．求证：
（1）AC∥平面BPQ；
（2）AC⊥BP．
18．在①S3＝13，②Sn＝3n﹣2，③Sn＝这三个条件中，请选择一个条件将下面的题目补充完整并解答本题．
题目：设等比数列{an}的各项都为正数，a1＝1，前n项和为Sn，且____．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝log3an+1，求数列{anbn}的前n项和Tn．
19．已知椭圆的长轴长为8，一条准线方程为，与椭圆C1共焦点的双曲线C2，其离心率是椭圆C1的离心率的2倍．
（1）分别求椭圆C1和双曲线C2的标准方程；
（2）过点M（4，1）的直线l与双曲线C2，交于P，Q两点，且M为线段PQ的中点，求直线l的方程．
20．已知数列{an}，{bn}的各项均为正数，前n项和分别为Sn，Tn，且对任意正整数，2an＝Sn+1，2＝bn+1恒成立．
（1）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若对于任意的正整数n，Tn≤k（Sn+1）恒成立，求实数k的取值范围．
21．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，四边形PACQ为矩形，PA＝1，且平面PACQ⊥平面ABCD．
（1）求BP与平面ACQP所成角的余弦值；
（2）求二面角B﹣PQ﹣D的大小；
（3）求点C到平面BPQ的距离．
22．在平面直角坐标系xOy中，有三条曲线：
①＝1（0＜m＜4），②＝2px（p＞0）．
请从中选择合适的一条作为曲线C，使得曲线C满足：点F（1，0）为曲线C的焦点，直线y＝x﹣1被曲线C截得的弦长为8．
（1）请求出曲线C的方程；
（2）设A，B为曲线C上两个异于原点的不同动点，且OA与OB的斜率之和为1，过点F作直线AB的垂线，垂足为H，问是否存在定点M，使得线段MH的长度为定值？若存在，请求出点M的坐标和线段MH的长度；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意要求的.
1．已知数列an＝n2﹣6n+5，则该数列中最小项的序号是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：an＝n2﹣6n+5＝（n﹣3）2﹣4，
由二次函数的单调性可得：n＝3时，an取得最小值﹣4．
则该数列中最小项的序号是3．
故选：A．
2．若椭圆与双曲线x2﹣15y2＝15的焦点相同，则m的值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
解：双曲线x2﹣15y2＝15即为：﹣y2＝1，c2＝a2+b2＝15+1＝16，c＝4，
焦点为（±4，0），
椭圆的a′＝5，b′＝，c′＝4，
∴25＝m+16，∴m＝9．
故选：D．
3．已知等差数列{an}的前11项和S11＝88，则a2+a10＝（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
解：由等差数列{an}的性质可得：a1+a11＝a2+a10．
∵前11项和S11＝88＝，
∴a1+a11＝16，
则a2+a10＝16．
故选：A．
4．卢浮宫金字塔（（PyramideduLouvre）位于巴黎卢浮宫的主院拿破仑庭院，由美籍华人建筑师设计，已成为巴黎的城市地标．金字塔为正四棱锥造型，四个侧面由几乎大小相同的玻璃块拼装而成，能成为地下设施提供良好的采光，创造性地解决了把古老宫殿改造成现代美术馆的一系列难题，取得极大成功，享誉世界．金字塔塔高21米，底宽34米，如果每块玻璃面积为2.72平方米，不计安装中的损耗，请你估算，建造这座玻璃金字塔需要玻璃块的块数最接近的数为（　　）
A．575 B．625 C．675 D．725
解：如图，
四棱锥P﹣ABCD，PO⊥底面ABCD，PO＝21m，AB＝34米，
过O作OE⊥BC，连接PE，则OE＝AB＝17米，
∴四棱锥P﹣ABCD的侧面积为S＝4×＝≈1837.36平方米，
又每块玻璃面积为2.72平方米，
∴建造这座玻璃金字塔需要玻璃块的块数最接近的数为≈675．
故选：C．
5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AC上的动点，则PB1与平面DA1C1的位置关系是（　　）
A．线在面内 B．平行 C．相交 D．不能确定
解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AC上的动点，
∵A1D∥B1C，C1D∥AB1，A1D∩C1D＝D，
∴平面A1C1D∥平面ACB1，
∵PB1?平面ACB1，
∴PB1与平面DA1C1的位置关系是平行．
故选：B．
6．抛物线y2＝4x的准线与双曲线4x2﹣y2＝1的两条渐近线所围成的三角形面积为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
解：抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，
双曲线4x2﹣y2＝1的两条渐近线方程分别为：y＝2x，y＝﹣2x，x＝﹣1时，y＝±2，
因此，所求三角形面积等于＝2．
故选：B．
7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且，则的值为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
解：等比数列{an}的前n项和为Sn，且，所以公比q≠1，
则，可得q3＝8，所以q＝2，
则＝＝q2＝4，
故选：D．
8．降雨量是气象部门观测的重要数据，日降雨量是指一天内降落在地面单位面积雨水层的深度（单位：毫米）．我国古代就有关于降雨量测量方法的记载，古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：天池盆（圆台形状）盆口直径二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是几寸（注：一尺等于十寸，一寸等于厘米）？已知某隧道的积水程度与日降水量的关系如表所示：
日降雨量（单位：毫米） [15，40） [40，70） [70，120） [120，250）
隧道积水程度 一级 二级 三级 四级
如果某天该隧道的日降水量按照“天池盆测雨”题中数据计算，则该隧道的积水程度为（　　）
A．一级 B．二级 C．三级 D．四级
解：由题意可知，圆台型水柱上底面半径为R＝，下底面半径r＝6，高为h＝9．
∴盆中积水体积为：＝588π（寸），
∴平地降雨量是＝3（寸）；
由3（寸）＝3×＝10（cm ）＝100（mm）．
∴该隧道的积水程度为三级．
故选：C．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项合题意要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的3分.
9．下列说法正确的有（　　）
A．正三棱锥的三个侧面重心所确定的平面与底面平行
B．设m为圆锥的一条母线，则在该圆锥底面圆中，有且只有一条直径与m垂直
C．对于任意一个正棱柱，都存在一个球，使得该正棱柱的所有顶点都在此球面上
D．设AB，CD分别为圆柱上、下底面的弦，则直线AB，CD间距离等于该圆柱母线长
解：对于选项A：正三棱锥的三个侧面重心所确定的平面与底面平行，
如图所示：
在正三棱锥体A﹣BCD中，点M、N、T为三个侧面的重心，
所以，
所以EF∥MN，NT∥GF，
所以平面MNT∥平面EFG，故A正确；
对于B：如图所示：
由于OA⊥圆O所在的平面，作OB⊥CD，
所以DC⊥平面AOB，
所以CD⊥AB，
即则在该圆锥底面圆中，有且只有一条直径CD与AB垂直，故B正确；
对于C：由于任意的正棱柱都有对称中心，
所以于任意一个正棱柱，都存在一个球，使得该正棱柱的所有顶点都在此球面上，故C正确；
对于D：当在上、下底面上，AB和CD为异面直线时，直线AB和CD的距离为圆柱的高，
当AB∥CD时，如图所示：
作AB的中点N，CD的中点G，作EF∥AB，且EF＝CD，取EF的中点H，
所以AB和CD的垂线为GN，
故直线AB，CD间距离等于该圆柱母线长错误，故D错误．
故选：ABC．
10．已知等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn，且2a1，S8，S9成等差数列，则下列四个选项中正确的有（　　）
A．2a5+3a9＝S8 B．S2＝S7 C．S5最小 D．a5＝0
解：设等差数列的公差为d，
则：，
由题意可知：2S8＝2a1+S9，即 16a1+56d＝2a1+9a1+36d，解得a1＝﹣4d，
∴，
对于A选项，，A项错误，
对于B选项，，B选项正确，
对于C选项，，
若d＞0，则S4或S5最小；若d＜0，则S4或S5最大．C选项错误，
对于D选项，a5＝0，D选项正确．
故选：BD．
11．已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△PF1F2的说法正确的有（　　）
A．△PF1F2的周长为4+2
B．当∠PF1F2＝90°时，△PF1F2的边PF1＝2
C．当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为
D．椭圆上有且仅有6个点P，使得△PF1F2为直角三角形
解：根据椭圆方程可得a＝2，b＝，c＝．
对于A，△PF1F2的周长为PF1+PF2+F1F1＝2a+2c＝4+2，故正确；
对于B，当∠PF1F2＝90°时，△PF1F2的边PF1＝，故错；
对于C，当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为S＝b2tan＝≠，故错；
对于D，设PF1＝m，PF2＝n，当时，则有，解得m＝n＝2，此时点P为上下顶点，
当∠PF1F2＝900时，有两个点，当∠PF2F1＝900时，有两个点，故正确；
故选：AD．
12．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象．当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件．计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0，即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数C0＝2，若一台计算机有105个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态．该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（　　）
A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件
B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件
C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态
D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列
解：设第n+1分钟之内新感知的文件数为an+1，前n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn，则an+1＝2（Sn+1），且a1＝2，
由an+1＝2（Sn+1）可得an＝2（Sn﹣1+1），
两式相减得：an+1﹣an＝2an，
所以an+1＝3an，
所以前分钟内新感染的病毒构成以a1＝2为首项，3为公比的等比数列，
所以，
在第3分钟内，该计算机新感染了a3＝2×32＝18个文件，故选项A正确，
经过5分钟，该计算机共有1+a1+a2+a3+a4+a5＝1+＝35＝243个病毒文件，故选项B正确，
10分钟后，计算机感知病毒的总数为1+a2+a3+…+a10＝1+＝310，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确，
该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D错误，
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．抛物线C：y2＝2px的焦点F是圆x2+y2﹣2x＝0的圆心，P为抛物线C上在第一象限内的点，且PF＝3，则P点的坐标为　（2，2）　．
解：圆x2+y2﹣2x＝0的圆心（1，0），所以抛物线的焦点坐标（1，0），所以p＝2，
抛物线方程为：y2＝4x，准线方程为x＝﹣1，P为抛物线C上在第一象限内的点，且PF＝3，
所以P的横坐标为：2，当x＝2，可得y＝2．
所以P点的坐标为（2，2）．
故答案为：（2，2）．
14．已知等差数列{an}的首项和公差都为2．则数列{an}的通项公式an＝　2n　，数列的前2020项和为　　．
解：由题意，可知
an＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*，
＝＝（﹣），
∴数列上的前2020项和为
++…+
＝×（1﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）
＝×（1﹣+﹣+…+﹣）
＝×（1﹣）
＝．
故答案为：2n；．
15．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点都在球O的表面上，且AB＝BC＝3，异面直线CC1与AD1所成的角为60°，则球O的表面积为　21π　．
解：连接B1C，则AD1∥BC1，
由异面直线CC1与AD1所成的角为60°，
故∠BC1C＝60°，
∵AB＝BC＝3，∴tan∠B1CC1＝＝，
∴CC1＝，
如图示：
故长方体的对角线A1C＝＝，
故外接球的半径为r＝，
故外接球O的表面积为S＝4πr2＝4π×＝21π，
故答案为：21π．
16．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分，且C的两条渐近线分别平行于AC，BD，则该双曲线C的离心率为　　．
解：以AC，BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为y轴，在平面β内与x轴垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
根据题意可设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）．
∵两个圆锥的底面直径均为4，则底面半径为2，又侧面积均为，
∴一个圆锥的母线长为．
则双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，即．
∴双曲线的离心率为e＝．
故答案为：．
四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B1A1C1＝90°，P，Q分别是棱A1B1，B1C1的中点．求证：
（1）AC∥平面BPQ；
（2）AC⊥BP．
【解答】证明：（1）P，Q分别是棱A1B1，B1C1的中点．
所以PQ∥A1C1∥AC，
又AC?平面BPQ，
所以AC∥平面BPQ；
（2）因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B1A1C1＝90°，
所以B1A1⊥A1C1，
又因为AA1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
所以，A1C1⊥平面AA1BB1，
又BP?平面AA1BB1，
所以A1C1⊥BP，
又AC∥A1C1，
所以AC⊥BP．
18．在①S3＝13，②Sn＝3n﹣2，③Sn＝这三个条件中，请选择一个条件将下面的题目补充完整并解答本题．
题目：设等比数列{an}的各项都为正数，a1＝1，前n项和为Sn，且____．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝log3an+1，求数列{anbn}的前n项和Tn．
解：（1）若选条件①：
设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由题设可得：S3＝13＝a1（1+q+q2）＝1+q+q2，解得：q＝3，
∴an＝3n﹣1；
若选条件②：
由Sn＝3n﹣2可得：Sn﹣1＝3n﹣1﹣2（n≥2），两式相减得：an＝2×3n﹣1（n≥2），
又当n＝1时，a1＝1不适合上式，这与已知数列{an}为等比数列相矛盾，故不能选条件②；
若选条件③：
由Sn＝可得：Sn﹣1＝（n≥2），两式相减得：an＝3n﹣1（n≥2），
又当n＝1时，a1＝1适合上式，
∴an＝3n﹣1；
综合以上，当选条件①③时，an＝3n﹣1；
（2）由（1）可得：bn＝log3an+1＝n，anbn＝n?3n﹣1，
∴Tn＝1×30+2×31+3×32+…+n×3n﹣1，
又3Tn＝1×31+2×32+…+（n﹣1）×3n﹣1+n×3n，
两式相减得：﹣2Tn＝1+31+32+…+3n﹣1﹣n?3n＝﹣n?3n，
整理得：Tn＝．
19．已知椭圆的长轴长为8，一条准线方程为，与椭圆C1共焦点的双曲线C2，其离心率是椭圆C1的离心率的2倍．
（1）分别求椭圆C1和双曲线C2的标准方程；
（2）过点M（4，1）的直线l与双曲线C2，交于P，Q两点，且M为线段PQ的中点，求直线l的方程．
解：（1）由已知椭圆C1的长轴长为8，则a＝4，
一条准线方程为x＝，则＝，解得c＝，
所以b＝＝3，
所以椭圆C1的标准方程为：，
又离心率为e1＝＝，设双曲线方程C2为：（a1＞0，b1＞0），
则c2＝7＝a，又离心率为，
则a1＝2，所以b1＝，
所以双曲线的标准方程为；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则代入双曲线方程可得：，
两式作差可得：，
又M为PQ的中点，所以x1+x2＝8，y1+y2＝2，
则＝3，所以直线l的斜率为3，
所以直线l的方程为y﹣1＝3（x﹣4），即3x﹣y﹣11＝0．
20．已知数列{an}，{bn}的各项均为正数，前n项和分别为Sn，Tn，且对任意正整数，2an＝Sn+1，2＝bn+1恒成立．
（1）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若对于任意的正整数n，Tn≤k（Sn+1）恒成立，求实数k的取值范围．
解：（1）由2an＝Sn+1可得：2an﹣1＝Sn﹣1+1（n≥2），两式相减整理得：an＝2an﹣1，n≥2，
又当n＝1时，有2a1＝S1+1，解得：a1＝1，∴an＝2n﹣1，
∵2＝bn+1，∴4Tn＝（bn+1）2，又4Tn﹣1＝（bn﹣1+1）2（n≥2），两式相减得：4bn＝（bn+1）2﹣（bn﹣1+1）2，n≥2，
整理得：2（bn+bn﹣1）＝bn2﹣bn﹣12，∵bn＞0，∴bn﹣bn﹣1＝2，n≥2，
又当n＝1时，有2＝b1+1，解得：b1＝1，∴bn＝2n﹣1，
综上，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；
（2）由（1）可得：Sn＝2an﹣1＝2n﹣1，Tn＝（）2＝n2，
∴Tn≤k（Sn+1）恒成立?n2≤k×2n恒成立?k≥恒成立，
令f（n）＝，n∈N*，则f（n+1）﹣f（n）＝，
易知：当n≤2时，f（n+1）＞f（n）；当n≥3时，f（n+1）＜f（n），
∴f（n）max＝f（3）＝，∴k≥，
故实数k的取值范围为[，+∞）．
21．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，四边形PACQ为矩形，PA＝1，且平面PACQ⊥平面ABCD．
（1）求BP与平面ACQP所成角的余弦值；
（2）求二面角B﹣PQ﹣D的大小；
（3）求点C到平面BPQ的距离．
解：（1）连接BD，交AC于O，连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵平面PACQ⊥平面ABCD，平面PACQ∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PACQ，
∴∠BPO即为BP与平面ACQP所成角．
∵四边形PACQ为矩形，∴PA⊥AC，
又平面PACQ⊥平面ABCD，平面PACQ∩平面ABCD＝AC，PA?平面PACQ，
∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∴BP＝＝＝，
在Rt△POB中，OB＝，∴sin∠BPO＝＝＝，
∴cos∠BPO＝，
故BP与平面ACQP所成角的余弦值为．
（2）取PQ的中点M，连接BM、DM，
由（1）知，PA⊥平面ABCD，
∵四边形ABCD是菱形，四边形PACQ为矩形，
∴BP＝BQ，DP＝DQ，
∴BM⊥PQ，DM⊥PQ，
∴∠BMD即为二面角B﹣PQ﹣D的平面角，
在△BDM中，BD＝2，BM＝DM＝＝＝＝2，
由余弦定理知，cos∠BMD＝＝＝，
∴∠BMD＝120°，
故二面角B﹣PQ﹣D的大小为120°．
（3）设点C到平面BPQ的距离为d，
∵VC﹣BPQ＝VB﹣CPQ，
∴d?BM?PQ＝OB?CQ?PQ，
∴d×2×2＝×1×2，
∴d＝，
故点C到平面BPQ的距离为．
22．在平面直角坐标系xOy中，有三条曲线：
①＝1（0＜m＜4），②＝2px（p＞0）．
请从中选择合适的一条作为曲线C，使得曲线C满足：点F（1，0）为曲线C的焦点，直线y＝x﹣1被曲线C截得的弦长为8．
（1）请求出曲线C的方程；
（2）设A，B为曲线C上两个异于原点的不同动点，且OA与OB的斜率之和为1，过点F作直线AB的垂线，垂足为H，问是否存在定点M，使得线段MH的长度为定值？若存在，请求出点M的坐标和线段MH的长度；若不存在，请说明理由．
解：（1）对于②，c＝＞2＞1，故排除②，
假设①为曲线C，则由4＝m+1，解得m＝3，
将直线y＝x﹣1代入+＝1，整理可得7x2﹣8x﹣8＝0，
解得x＝，此时弦长为＝≠8，故排除①，
所以曲线C为③，
则＝1，解得p＝2，
所以曲线C的方程为y2＝4x．
（2）易知OA，OB的斜率存在且不为0，AB不可能是斜率为0的直线，
设AB方程：x＝my+t，代入y2＝4x，
可得y2﹣4my﹣4t＝0，△＞0，
设A（，y1），B（，y2），
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，
且+＝+＝＝＝1，解得t＝﹣4m，
联立AB，FH方程，即，解得，
所以H（，），
已知AB过点（0，4），不妨猜测M可能为（0，4），
则|MH|＝＝，
此时不满足MH为定值，
观察两个定点F（1，0），M′（0，4），
由于M′H⊥FH，故H在以M′F为直径的圆上，
所以M′F的中点为圆心，圆心到H的距离恒为|M′F|＝，
M′F中点M为（，2），|MH|＝，
所以定点M（，2），线段MH的长度为定值，且|MH|＝．