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第一章
三角形的证明
(总课时02)1.1锐角三角函数（2）
理解等腰三角形中有关角平分线、中线、高线的特征.
学习目标
学习重难点
能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论.
导学过程
底边上的中线
相等
等边对等角
顶角平分线
底边上的高线
三线合一
全等三角形的对应边相等
等边对等角
＝
CB
∠ABC
∠2
C
=
=
90
90
90
12-4=8
CG
=
△CAH
=
CH
AH
120
D
D
D
20
75°
2
答疑解惑
交流纠错
A
等腰三角形性质:①等腰三角形的两个底角
简称
等腰三角形
称
在等腰三角形
些线段(如角平分线、中线
,你能
其中
等的线段吗?能证明你的
已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线
BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB
在△BDC和△CEB中,
ACB
B
BDC≌△CEB(ASA
BD=CE(
E
D
2
B
C
图1
议一议:如果
,∠ACE=∠ACB,由此,你能得到BD=CE
已知:如图2,在△ABC中,AB=AC,CE和BD分别是AB和AC上的
BD=C
图2
知:如图3,在△ABC中,AB=AC,CE和BD分别是AB和AC上的
线,求证:BD=CE
A
EB
C
图3
归纳:在△ABC中,AB=AC,
如果∠AB
ACB,那么有BD=CE成立(
)如果
,那么有BD=CE成立(n
B
图4
例1.已知:如图5,在△ABC中,AB=AC,CE和BD分别是AB和AC
上的中线
证明:∵AB=AC,CE和BD分别是AB和AC上的中线
BE=CD,∠ABC=∠ACB,,
又∵BC=CB,∴△BEC≌△CDB.(SAS)
∴CE=BD.
B
图5
等腰但不等边的三角形的角平
中线的总条数
例2.如图
知△ABC是等边三角形,D,E,F分别
边AB,A
BC上的点,且DE⊥AC,EF⊥BC,DF⊥AB,计算△DEF各个内角的度
E
DB
F
Cc
解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°
∴DE⊥AC,EF⊥BC,DF⊥AB,
∠AED=∠EFC=∠FDB=90°
∠ADE=90°-∠A=90°-60°=30°
∴∠EDF=180°-30°-90°=60°
E
B
图
AB=CB,
t
∠ABE=∠CBD
BE=BD
证明:∵△ABC和△BDE都是等边三角
形∴∠ABE=∠CBD=60°,AB=CBBE=BD
在△ABE与△CBD中中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时02)§1.1等腰三角形（2）
【学习目标】理解等腰三角形中有关角平分线、中线、高线的特征.
【学习重难点】能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论.
【导学过程】
一.知识回顾
等腰三角形性质：①等腰三角形的两个底角____，简称“____________”.
②等腰三角形的________，________和____________互相重合，简称“________”
二.探究新知
探究1.等腰三角形中相等的线段
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高)，你能发现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
（1）证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图1,在△ABC中，AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE.
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB(________）.
∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠1____∠2.
在△BDC和△CEB中，
∠ACB＝____,BC=____,∠1＝____,∴△BDC≌△CEB(ASA).
∴BD＝CE(________________________）.
议一议：如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，由此,你能得到BD=CE的结论吗?
（2）证明：等腰三角形两腰上的中线相等．
已知：如图2，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB和AC上的中线，
求证：BD＝CE.
议一议：如果AD=AC，AE=AB，由此,你能得到BD=CE的结论吗?
（3）证明：等腰三角形两腰上的高线相等．
已知：如图3，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB和AC上的高线，
求证：BD＝CE.
归纳：在△ABC中，AB=AC，
①如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么有BD=CE成立(n≥1).
②如果AD=AC，AE=AB，那么有BD=CE成立(n≥1).
探究2.等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
已知：如图4,在△ABC中，AB=AC=BC.
求证：∠A=∠B=∠C=60°
三.典例与练习
例1.已知：如图5，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB和AC上的中线，
求证：BD＝CE.
练习1.等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（
）
A．3
B．5
C．7
D．9
例2.如图6，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数．
练习2.如图7,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.求证:AE=CD.
例3.如图8，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AH⊥HG，BG⊥HG，HG=12，AH=4，求BG．
解：∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
∴BC____CA，∠BCG+∠ACH=____°，∵AH⊥HG，BG⊥HG，
∴∠G=∠H=____°，
∠BCG+∠CBG=____°，∴∠CBG____∠ACH，
在和△CAH中，，∴△BCG≌____(AAS），
∴CG____AH，BG____CH，
∵HG=12，AH=4，∴BG=____=HG-____=HG-____=________，
练习3.在Rt中，若∠C=90°，D是BC边上一点，且AD=2CD，则∠ADB=____°
四.课堂小结
等边三角形的性质：1.三条边相等；2.等边三角形的内角都相等,且等于60°
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
五.分层过关
1.等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（
）A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
2.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是(
)
A.
BC边上的高和中线互相重合;
B.
AB和AC边上的中线相等
C.
三角形中顶点为B和顶点为C的角平分线相等;
D.
AB，BC边上的高相等
3.如图9，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（
）
A．30°
B．20°
C．25°
D．15°
4.如图10,已知直线l1∥l2,将一等边三角形如图放置,若α=40°,则β= .?
5.如图11，已知△ABC是等边三角形，过点B作BD⊥BC，过A作AD⊥BD，垂足为D，若△ABC的周长为12，AD＝____．
6.如图12，四边形ABCD正方形，△EBC为等边三角形，则∠BEA为____
7.如图13，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数.
8.如图14，△ABC和△BDE均为等边三角形，点E在线段AD上，求证：BD＋CD＝AD.
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(总课时02)§1.1等腰三角形（2）
【学习目标】理解等腰三角形中有关角平分线、中线、高线的特征.
【学习重难点】能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论.
【导学过程】
一.知识回顾
等腰三角形性质：①等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”.
②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三线合一”
二.探究新知
探究1.等腰三角形中相等的线段
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高)，你能发现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
（1）证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图1,在△ABC中，AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE.
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角）.
∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠1＝∠2.
在△BDC和△CEB中，
∠ACB＝∠ABC,BC=CB,∠1＝∠2,∴△BDC≌△CEB(ASA).
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.
议一议：如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，由此,你能得到BD=CE的结论吗?
（2）证明：等腰三角形两腰上的中线相等．
已知：如图2，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB和AC上的中线，
求证：BD＝CE.
议一议：如果AD=AC，AE=AB，由此,你能得到BD=CE的结论吗?
（3）证明：等腰三角形两腰上的高线相等．
已知：如图3，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB和AC上的高线，
求证：BD＝CE.
归纳：在△ABC中，AB=AC，①如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么有BD=CE成立(n≥1).
②如果AD=AC，AE=AB，那么有BD=CE成立(n≥1).
探究2.等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
已知：如图4,在△ABC中，AB=AC=BC.
求证：∠A=∠B=∠C=60°
三.典例与练习
例1.已知：如图5，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB和AC上的中线，
求证：BD＝CE.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB和AC上的中线，
∴BE＝CD，∠ABC＝∠ACB，.
又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB.（SAS）
∴CE＝BD.
练习1.等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（
C
）
A．3
B．5
C．7
D．9
例2.如图6，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°.
∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.∴∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.
同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.即△DEF各个内角的度数都是60°.
练习2.如图7,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.求证:AE=CD.
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形.∴∠ABE=∠CBD=60°,AB=CB,BE=BD.
在△ABE与△CBD中,
AB=CB,
∠ABE=∠CBD,∴△ABE≌△CBD(SAS).∴AE=CD.
BE=BD
例3.如图8，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AH⊥HG，BG⊥HG，HG=12，AH=4，求BG．
解：∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
∴BC=CA，∠BCG+∠ACH=90°，∵AH⊥HG，BG⊥HG，∴∠G=∠H=90°，
∠BCG+∠CBG=90°，∴∠CBG=∠ACH，
在△BCG和△CAH中，，∴△BCG≌△CAH(AAS），∴CG=AH，BG=CH，
∵HG=12，AH=4，∴BG=CH=HG-CG=HG-AH=12-4=8，
练习3.在Rt中，若∠C=90°，D是BC边上一点，且AD=2CD，则∠ADB=120°
四.课堂小结
等边三角形的性质：1.三条边相等；2.等边三角形的内角都相等,且等于60°
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
五.分层过关
1.等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（D）A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
2.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是(
D
)
A.
BC边上的高和中线互相重合;
B.
AB和AC边上的中线相等
C.
三角形中顶点为B和顶点为C的角平分线相等;
D.
AB，BC边上的高相等
3.如图9，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（D）
A．30°
B．20°
C．25°
D．15°
4.如图10,已知直线l1∥l2,将一等边三角形如图放置,若α=40°,则β=20.?
5.如图11，已知△ABC是等边三角形，过点B作BD⊥BC，过A作AD⊥BD，垂足为D，若△ABC的周长为12，AD＝2．
6.如图12，四边形ABCD正方形，△EBC为等边三角形，则∠BEA为75°
7.如图13，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数.
解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．
在△ABE和△CAD中，AB=CA，
∠BAC=∠C，AE
=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），
（2）∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAD+∠EBA=60°，∵∠BFD=∠ABE+∠BAD=60°．
8.如图14，△ABC和△BDE均为等边三角形，点E在线段AD上，求证：BD＋CD＝AD.
证明：因为△ABC,△BDE均为等边三角形,所以BE=BD=DE,AB=BC,∠ABC=∠EBD=60°.
所以∠ABE+∠EBC=∠DBC+∠EBC.所以∠ABE=∠DBC.
在△ABE和△CBD中,所以△ABE≌△CBD(SAS).所以AE=CD.
又因为AD=AE+ED,ED=BD,所以BD+CD=AD.
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