第三章
指数函数和对数函数
§1 正整数指数函数
知识点一 正整数指数函数
[填一填]
1．正整数指数函数
一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，正整数指数函数的定义域为正整数集N＋.
[答一答]
1．如何正确理解正整数指数函数的定义？
提示：(1)正整数指数函数解析式的基本特征：ax前的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数的位置上，底数a是大于零且不等于1的常数．要注意正整数指数函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)与幂函数y＝xα的区别．
(2)在正整数指数函数的定义中，为什么要规定底数a是一个大于零且不等于1的常数？这是因为，若a＝0或a＝1，则对于任意的x∈N＋，都有ax＝0或ax＝1，这时，ax是一个常量，没有研究的必要；若a<0，则在后面的学习中，当我们把正整数指数函数扩充到实数指数函数时，对于x的某些取值ax无意义，从而无法扩充．
知识点二 正整数指数函数的增减性及运算性质
[填一填]
2．正整数指数函数的增减性
由本节课本的问题1与问题2可知，对正整数指数函数y＝ax(a>0且a≠1，x∈N＋)，当a>1时，函数图像是上升的，当0
3．正整数指数幂的运算性质(a>0，a≠1，m，n∈N＋)
(1)am·an＝am＋n；(2)am÷an＝am－n；
(3)(am)n＝amn；(4)(ab)m＝ambm；
(5)()m＝(b≠0)．
[答一答]
2．为什么正整数指数函数的图像不是曲线？
提示：这是因为正整数指数函数的定义域是正整数集N＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的曲线连起来．也就是说，正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组成，而不是曲线．
对正整数指数幂的运算法则的说明：
为了保证这些法则可以从定义直接推出，我们限定m，n都是正整数，且法则(2)中限定m>n.
为了取消m>n的限制，我们定义了零指数幂和负整数指数幂：a0＝1(a≠0)；a－n＝(n∈N＋，a≠0)．
在引入了负整数指数幂后，法则(2)可归入法则(1)．同时，指数的范围也从正整数扩大到了整数．
注意：由于零指数幂和负整数指数幂都要求底数不等于零，因而，对于整数指数幂而言，也要求底数不等于零，主要是为了对性质的合理推广．
类型一 正整数指数函数的概念
【例1】 若x∈N＋，判断下列函数是否是正整数指数函数．
(1)y＝(－9)x；
(2)y＝x4；
(3)y＝；
(4)y＝x；
(5)y＝(π－3)x.
【思路探究】 根据正整数指数函数的解析式y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)的特征来判断．
【解】 (1)因为y＝(－9)x的底数－9小于0，所以y＝(－9)x(x∈N＋)不是正整数指数函数．
(2)因为y＝x4中自变量x在底数位置上，所以y＝x4(x∈N＋)不是正整数指数函数．
(3)y＝＝·2x.因为2x的系数不是1，所以y＝(x∈N＋)不是正整数指数函数．
(4)y＝x(x∈N＋)是正整数指数函数．
(5)y＝(π－3)x(x∈N＋)是正整数指数函数．
规律方法
判断一个函数是否为正整数指数函数时，关键是抓住正整数指数函数解析式的基本特征：ax的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数位置上，底数a>0，a≠1.
已知函数y＝(m2－3m＋1)(m＋1)x(x∈N＋)是正整数指数函数，求实数m的值．
解：由题意得m2－3m＋1＝1，
解得m＝0或m＝3.
又底数m＋1>0，且m＋1≠1，
∴m>－1，且m≠0，∴m＝3.
类型二 正整数指数函数的图像和性质
【例2】 (1)画出函数y＝()x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性；
(2)画出函数y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．
【思路探究】 根据函数关系式作函数图像，一定要注意定义域的范围，这是解决此类问题易忽略的地方．
【解】 (1)函数y＝()x(x∈N＋)的图像如图(1)所示，从图像可知，函数y＝()x(x∈N＋)是单调递减的．
(2)函数y＝3x(x∈N＋)的图像如图(2)所示，从图像可知，函数y＝3x(x∈N＋)是单调递增的．
规律方法
正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组成的．当01时，函数y＝ax(x∈N＋)是增函数．
画出函数y＝x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性和值域．
解：列表：
x
1
2
3
4
5
6
…
y
…
描点，如下图．
观察图像，可知函数y＝x(x∈N＋)是减函数，值域为.
类型三 利用正整数指数函数的单调性解不等式
【例3】 解下列不等式：
(1)4x>23－2x(x∈N＋)；
(2)0.3×0.4x<0.2×0.6x(x∈N＋)．
【思路探究】 根据正整数指数函数的性质，将所给不等式化为一元一次不等式的形式，再进行求解，一定要注意题中所给未知数的取值范围．
【解】 (1)由4x>23－2x知，22x>23－2x，
所以2x>3－2x，则x>，x∈N＋.
故不等式的解集为{x|x>，且x∈N＋}．
(2)由0.3×0.4x<0.2×0.6x，得<，
即()x<()1，所以x>1，x∈N＋，
故不等式的解集为{x|x>1，且x∈N＋}．
规律方法
由正整数指数函数的性质：y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)是增函数，得a>1；y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)是减函数，得0比较下列各组幂值的大小(用“>”或“<”填空)．
(1)1.5819<1.5820；(2)0.52
012>0.52
013.
解析：由于每组中两个幂的底数相同，且指数都是正整数，所以，可构造正整数的指数函数，利用正整数指数函数的单调性来比较大小．
(1)考虑正整数指数函数y＝1.58x，x∈N＋.
∵1.58>1，∴y＝1.58x在N＋上是增函数．
又∵19<20，∴1.5819<1.5820.
(2)考虑正整数指数函数y＝0.5x，x∈N＋.
∵0<0.5<1，∴y＝0.5x在N＋上是减函数．
又∵2
012<2
013，∴0.52
012>0.52
013.
——规范解答——
利用正整数指数函数解决实际问题
【例4】 某林区2012年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施，木材蓄积量的年平均增长率达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)作出函数y＝f(x)的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
【尝试解答】 (1)2012年的木材蓄积量为200万立方米；
经过1年后木材蓄积量为
200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后木材蓄积量为
200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2.
∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.
∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.
∵x以年为单位，∴函数的定义域为x∈N＋.
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N＋)的图像，如图．
x
0
1
2
3
4
…
y
200
210
220.5
231.5
243.1
…
作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图像交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．
∵8∴经过9年后林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
规律方法
由于“递增率”问题多抽象为正整数指数函数形式，而由正整数指数函数形式来确定相关量的值多需要使用计算器计算，如果问题要求不严格，就可以通过图像近似求解．
随着天气的变化，某种疾病的感染人数y与月份x(x∈N＋，1≤x≤12)满足关系式y＝a·0.5x＋b.现在已知某城市某年1月份、2月份感染人数分别为1万人、1.5万人，试求该病3月份的感染人数．
解：由题意得解得
∴感染人数y与月份x满足的关系式为
y＝－2·0.5x＋2(x∈N＋，1≤x≤12)．
∴该病3月份的感染人数为
y＝－2×0.53＋2＝1.75(万人)．
答：该病3月份的感染人数为1.75万人．
一、选择题
1．下列函数：①y＝3x2(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；③y＝3x＋1(x∈N＋)；④y＝3·2x(x∈N＋)．
其中是正整数指数函数的个数为( B )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：由正整数指数函数的定义知，①③④不是正整数指数函数，②是，故选B.
2．函数y＝()x，x∈N＋的图像是( D )
A．一条上升的曲线
B．一条下降的曲线
C．一系列上升的点
D．一系列下降的点
解析：因为正整数指数函数y＝()x，x∈N＋的底数大于零且小于1，所以它的图像从左向右是一系列下降的点．
3.我国工农业总产值从1990年到2010年的20年间翻了两番，设平均每年的增长率为x，则有( D )
A．(1＋x)19＝4
B．(1＋x)20＝3
C．(1＋x)20＝2
D．(1＋x)20＝4
解析：本题为增长率模型函数，为指数函数形式：
设1990年总产值为1，则(1＋x)20＝4.
二、填空题
4．某市2009年有1万辆燃油型公交车．有关部门于2010年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，该市2016年应该投入1_458辆电力型公交车．
解析：由已知2011年投入128×(1＋50%)；
2012年投入128×(1＋50%)2；
2013年投入128×(1＋50%)3；
……
∴2016年投入128×(1＋50%)6＝1
458(辆)．
5．已知f(x)＝ax(a>0且a≠1，x∈N＋)的图像过点(5,32)，则f(8)＝256.
解析：由题意，得a5＝32，∴a＝2.∴f(x)＝2x.
∴f(8)＝28＝256.
三、解答题
6．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2015年某地区农民人均收入为13
150元(其中工资性收入为7
800元，其他收入为5
350元)．预计该地区自2016年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，求2020年该地区农民人均收入约为多少元？(其中1.064≈1.26，1.065≈1.34，1.066≈1.42)
解：本题主要考查指数函数型的实际问题，也考查学生运用函数知识解决实际问题的能力．
农民人均收入来源于两部分，一是工资性收入即7
800×(1＋6%)5＝7
800×1.065＝10
452(元)，二是其他收入即5
350＋5×160＝6
150(元)，
∴农民人均收入为10
452＋6
150＝16
602(元)．
答：2020年该地区农民人均收入约为16
602元．
PAGE§2 指数扩充及其运算性质
知识点 分数指数幂的概念、性质及其运算法则
[填一填]
1．分数指数幂
(1)给定正实数a，对于任意给定的整数m，n，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的次幂，记作b＝a
eq
\s\up15()
.它就是分数指数幂．
(2)整数指数幂与分数指数幂的联系与区别
一般地，当a>0，α为任意实数值时，实数指数幂aα都有意义．
2．n次方根的性质
3．实数指数幂的运算法则
a>0，b>0，m，n∈R，则
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)n＝anbn.
[答一答]
怎样进行有理数指数幂的运算？
提示：(1)在引入分数指数幂概念后，指数概念就实现了由整数幂向有理数指数幂的扩展，在进行有理数指数幂的运算时要注意运用整体的观点，方程的观点处理问题，或利用已知的公式，换元等简化运算过程．
(2)有关指数幂的常用结论：
1．对有理数指数幂的四点说明
(1)与根式的关系．
分数指数幂只是根式的一种新的写法，且根式与分数指数幂可以相互转化．
(2)底数的取值．
由分数指数幂的定义知a≤0，a可能会没有意义，有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算．
(3)运算性质．
分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样．记忆有理数指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，幂相乘．
(4)指数幂运算的顺序．
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，仍符合以前的四则运算顺序．
2．对无理数指数幂的三点说明
(1)我们只讨论底数大于0的无理数指数幂．
(2)0的正无理数指数幂为0，负无理数指数幂无意义．
(3)对于每一个实数a，我们都定义了一个实数aα(a>0)与它对应，这样就可以把有理数指数幂推广到实数指数幂.
类型一 整数指数幂的运算
【例1】 化简＋.
【思路探究】 化简这类式子，一般有两种方法．一是首先用负指数幂的定义把负指数化为正整数指数；二是运用整数指数幂的性质把负指数化为正整数指数．
【解】 解法1：原式＝＋
＝＋
＝＋
＝＋
＝＝1.
解法2：原式＝＋
＝＋.
(以下同解法1)
规律方法
对于这类问题，如果采用解法2把负指数化为正指数的方法，则式子将变为繁分式，这样化简起来比较复杂．所以一般运用分式的基本性质的方法把负指数化为正指数，即解法1，用这种解法相对简单一些．
计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数幂的形式(a，b均不等于0)．
(1)a3b2(2ab－1)3；
(2)；
(3)[]3(a＋b≠0，a－b≠0)．
解：(1)a3b2(2ab－1)3＝a3b2[23a3b(－1)×3]
＝8a3＋3b2－3＝8a6b－1＝；
(2)＝－·a－3＋2－(－2)b－2＋(－1)－(－3)
＝－ab0＝－；
(3)[]3
＝[(a＋b)－3(a－b)4－(－2)]3
＝[(a＋b)－3(a－b)6]3＝(a＋b)－9(a－b)18
＝.
类型二 分数指数幂的运算
【例2】 计算下列各式：
【思路探究】 ①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a0＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减．
计算：
解：(1)原式＝－4－1＋×()4＋2＝－5＋2＋2
＝－1.
(2)原式＝2－1＋8＋8×9＝81.
类型三 根式的化简与求值
【例3】 求下列各式的值．
规律方法
对于含有根式的式子化简问题，常把根式化成分数指数幂的形式；熟练掌握指数的运算性质并灵活应用．
类型四 指数运算性质的综合应用
——易错误区——
根式化简时忽略隐含条件而致误
【例5】 化简·＝( )
A．－
B.
C．(a－1)4
D.
【错解】 A
【正解】 B 要使原式有意义，则a－1>0①.
·
＝|1－a|·(a－1)－
＝(a－1)·(a－1)－
＝(a－1)＝.
【错因分析】 忽略了偶次方根中被开方数必须是非负数，即漏掉①处而导致错误．
【防范措施】 注意隐含条件的挖掘
要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时，要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中是四次方根，则必须(a－1)3>0，即a－1>0.
使等式＝(2－x)成立的x的取值范围是[－2,2]．
解析：∵＝
＝(2－x)，
∴，∴－2≤x≤2.
一、选择题
1．2
eq
\s\up15(
)
写成根式形式是( A )
A.
B.
C.
D.
解析：若bn＝am(m，n∈N＋，a>0，b>0)，则b＝a
eq
\s\up15()
.
3．下列命题中，正确命题的个数是( A )
二、填空题
5.＝.
解析：＝|m－n|＝.
三、解答题
6．计算：··(xy)－1.
PAGE§3 指数函数
知识点一 指数函数的定义
[填一填]
函数y＝ax叫作指数函数，其中a>0且a≠1，定义域为R，值域为(0，＋∞)．
[答一答]
1．指数函数定义中为什么规定a>0且a≠1?
提示：
知识点二. 指数函数的图像与性质
[填一填]
1．指数函数的图像与性质
2.y＝ax与y＝()x的关系
一般地，当函数y＝ax与函数y＝()x的自变量的取值互为相反数时，其函数值相等，这两个函数的图像是关于y轴对称的．
3．函数y＝ax与y＝bx的特点(a>b>1)
(1)当x<0时，总有ax(2)都过点(0,1)．
(3)当x>0时，总有ax>bx>1.
(4)指数函数的底数越大，当x>0时，其函数值增长得就越快．
[答一答]
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)中底数a对函数图像的变化有什么影响？
提示：设a>b>1>c>d>0，则y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图所示，从图中可以看出：在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．或者说在第一象限内，指数函数的图像，底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴．
1．指数函数的形式特征
(1)整体性：ax为一个整体，且前面系数为1.
(2)独立性：自变量x在幂指数的位置且为单个x.
(3)限制性：底数a是满足a>0且a≠1的常数．
2．指数函数的图像特点
(1)a>1时，图像像“一撇”，且在y轴右侧a越大，图像越靠近y轴(如图1)．
(2)03．指数函数中函数值的“有界性”
当a>0，且a≠1时，对于任意x∈R，总有ax>0.
类型一 指数函数的概念
【例1】 函数y＝(a2－4a＋3)ax是指数函数，求a的值．
【思路探究】 由题意知：①函数解析式中ax的系数为a2－4a＋3，②此函数为指数函数，解答本题只需紧扣指数函数的定义即可．
【解】 因为y＝(a2－4a＋3)ax是指数函数，所以
解得∴a＝2±.
(1)函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( C )
A．a＝1或a＝2
B．a＝1
C．a＝2
D．a>1，且a≠2
解析：由指数函数的概念，得a2－3a＋3＝1，解得a＝1或a＝2.当a＝1时，底数是1，不符合题意，舍去；当a＝2时，符合题意，故选C.
(2)下列函数中是指数函数的是③.(填序号)
解析：①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；③是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.
类型二 指数函数的定义域、值域
【思路探究】 先求定义域→分解原函数→考虑单调性→求出值域
类型三 指数函数的单调性
规律方法
对于复合函数y＝f[g(x)]，若f(t)为增函数，则y＝f
[g(x)]单调性与g(x)相同；若f(t)为减函数，则y＝f[g(x)]单调性与g(x)相反，对于y＝f[g(x)]的值域求解实际上是以g(x)值域为y＝f(t)的定义域来求解．
解：(
类型四 利用指数函数性质比较大小
【例4】 比较下列各题中两个数的大小：
(1)1.72.5,1.73；
(2)0.8－0.1,1.250.2；
(3)1.70.3,0.93.1.
【思路探究】 首先应确定使用哪类函数，然后由相关函数的单调性判断大小．若不能看作同一函数的两个值，常用中间量“搭桥”．
【解】 (1)∵底数1.7>1，
∴指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.
(2)1.250.2＝0.8－0.2，∵0<0.8<1，
∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上是减函数．
又∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2，
即0.8－0.1<1.250.2.
(3)由指数函数的性质，得1.70.3>1.70＝1，
0．93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1.
规律方法
比较两个数的大小常转化为比较同一函数的两个函数值的大小．对于1.70.3与0.93.1，不能直接看成某一个指数函数的两个函数值，所以(3)题无法用(1)(2)两题的方法来进行比较．可在这两个数值之间找到中间量1，使这两个数值分别与1进行比较，进而得出1.70.3与0.93.1的大小．常用的中间量有－1,0,1.
利用指数函数的性质，解答下列各题．
(1)比较2.7a与2.7a＋1的大小；
(2)比较1.60.6与0.61.6的大小；
(3)已知m>n，比较m，n的大小．
解：(1)考虑指数函数y＝2.7x，它在实数集R上是增函数．∵a(2)由指数函数的性质知1.60.6>1.60＝1,0.61.6<0.60＝1，∴1.60.6>0.61.6.
(3)考察指数函数y＝x，它在实数集R上是减函数．∵m>n，∴m类型五 指数函数图像的变换
【例5】 画出下列函数的图像，并说明它们是由函数y＝2x的图像经过怎样的变换得到的．
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2|x|；
(4)y＝|2x－1|；(5)y＝－2x；(6)y＝－2－x.
【思路探究】 可用描点法或图像的变换规律作出函数的图像，然后再指出两个函数图像的关系．由图像的变换规律，可掌握函数图像的大致形状和快速作图．
【解】 如图所示：
(1)y＝2x－1的图像是由y＝2x的图像向右平移1个单位长度得到的；
(2)y＝2x＋1的图像是由y＝2x的图像向上平移1个单位长度得到的；
(3)y＝2|x|的图像是保留y＝2x的图像中位于y轴及其右侧的部分，去掉位于y轴左侧的部分，再将右侧部分以y轴为对称轴翻折到左侧而得到的；
(4)y＝|2x－1|的图像是由y＝2x的图像向下平移1个单位长度，然后将其x轴下方的图像对称到x轴上方得到的；
(5)y＝－2x的图像与y＝2x的图像关于x轴对称；
(6)y＝－2－x的图像与y＝2x的图像关于原点对称．
规律方法
(1)函数图像的平移变换
y＝f(x＋a)＋b与y＝f(x)是函数的平移变换；
(2)函数图像的对称变换
一般地，函数y＝f(x)的图像与y＝f(－x)的图像关于y轴对称；与y＝－f(x)的图像关于x轴对称；与y＝－f(－x)的图像关于原点对称．
(3)函数图像的翻折变换
①y＝|f(x)|的图像是保留y＝f(x)的图像中位于x轴及其上方的部分，将y＝f(x)的图像中位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到的；
②y＝f(|x|)是一个偶函数，其图像关于y轴对称，y＝f(|x|)的图像是保留y＝f(x)的图像中位于y轴及其右侧的部分，去掉位于y轴左侧的部分，再将右侧部分以y轴为对称轴翻折到左侧而得到的．
函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图像可能是( D )
解析：若a>1，则0<<1，所以y＝ax－(a>0，a≠1)在R上是增函数，且图像可以由y＝ax的图像向下平移个单位长度得到，其中0<<1，因此选项A，B排除；若01，所以y＝ax－(a>0，a≠1)在R上是减函数，且图像可以由y＝ax的图像向下平移个单位长度得到，其中>1，故排除C，选项D正确.
——规范解答——
指数函数的综合应用
【例6】 已知函数f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．
【审题】 抓信息，找思路
①审条件：一个解析式：函数f(x)的解析式已知，且含有参数a；一个范围：第(3)问中已知x∈[－1,1]．一种关系：第(3)问中f(x)≥b恒成立．
②建联系：解决奇偶性以及单调性都需要从函数的解析式入手分析，将研究奇偶性和单调性的问题与函数解析式联系起来；求b的取值范围就和求f(x)的最小值联系起来．
③找思路：研究函数问题定义域不可忽略，根据函数解析式可得到函数的定义域，结合定义域寻求f(x)与f(－x)的关系，可判断奇偶性；利用函数单调性的定义可判断函数的单调性；根据(2)中的单调性求出f(x)的最小值即可确定b的取值范围．
【点评】 1
.注重等式的变形方法和技巧
等式的变形是数学运算过程中经常运用的手段，常用到的变形方法有分式的通分、因式分解、配方、分子分母有理化等，如本例利用提取公因式、通分等方法，使f(x2)－f(x1)变形为最终的结果．
2．解决含参数的问题时要有分类讨论的意识
解决与指数函数有关问题时，特别要重视对底数取值范围的分类讨论，如本例中由于a的范围不确定而无法确定ax2与ax1的大小，故需要对a分01两种情况讨论，从而确定函数f(x)的单调性．
已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
解：(1)因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，得b＝1.
又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
此时f(x)＝，而f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以a＝b＝1.
一、选择题
1．函数f(x)＝的定义域为( C )
A．(－∞，0)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0]
D．(－∞，＋∞)
解析：要使函数f(x)＝有意义，需满足1－2x≥0，即2x≤20.∵指数函数y＝2x在R上是增函数，∴x≤0.故函数f(x)＝的定义域为(－∞，0]．
2．函数y＝ax＋2(a>0，且a≠1)的图像经过的定点坐标是( D )
A．(0,1)
B．(2,1)
C．(－2,0)
D．(－2,1)
解析：当x＋2＝0，即x＝－2时，无论a取何值，必有ax＋2＝1，即y＝1.所以函数y＝ax＋2(a>0，且a≠1)的图像经过的定点坐标是(－2,1)．
二、填空题
3．已知f(x)＝a－x(a>0且a≠1)且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是(0,1)．
解析：∵f(x)＝a－x且f(－2)>f(－3)，
即a2>a3，∴a<1.又∵a>0，故04．把函数y＝f(x)的图像向左、向下分别平移2个单位，得到函数y＝2x的图像，则f(x)＝2x－2＋2.
解析：因为将函数y＝2x的图像向上平移2个单位得到函数y＝2x＋2的图像，再向右平移2个单位得到函数y＝2x－2＋2的图像，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x－2＋2.
三、解答题
PAGE§4 对 数
知识点一 对数的有关概念
[填一填]
(1)一般地，如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
(2)以10为底的对数叫作常用对数，N的常用对数记作lgN.
(3)以e为底的对数叫作自然对数，N的自然对数记作lnN.
[答一答]
1．对数概念的理解？
提示：(1)对数是一种数，对数式logaN可看作一记号，表示关于x的方程ax＝N(a>0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a>0，且a≠1)幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN又可看作幂运算的逆运算．
(2)对数符号logaN只有在a>0，a≠1，且N>0时才有意义，而对数值b＝logaN，可以为任意的实数．
知识点二 对数的运算性质
[填一填]
如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝n·logaM(n∈R)．
[答一答]
2．如何正确运用对数的运算法则？
提示：(1)运算中常见的错误有：
loga(MN)＝logaM·logaN.
loga＝.
logaNn＝(logaN)n.
logaM±logaN＝loga(M±N)．
(2)注意前提条件：a>0，a≠1，M>0，N>0，尤其是M，N都是正数这一条件，否则M，N中有一个小于或等于0，就导致logaM或logaN无意义，另外还要注意，M>0，N>0与M·N>0并不等价．
(3)要注意运算法则的逆用．
知识点三 换底公式
[填一填]
logbN＝(a、b>0，a、b≠1，N>0)．
[答一答]
3．如何准确的应用换底公式？
提示：(1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择．
(2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题．
如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．
(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用．
①logab＝，②logambn＝logab.
1．对数logaN中规定a>0，a≠1的原因
2.对对数的三点说明
(1)对数式是指数式的另一种表现形式，是求指数式中幂指数的一种运算方式，因此指数式和对数式之间可以互相转化，即ab＝N?b＝logaN.
(2)对数通过符号logaN表达，logaN是一个整体，不是表示loga和N的乘积，字母a和N都有相应的意义和范围要求．
(3)对数表示的是一个可正、可负也可为零的实数.
类型一 对数式与指数式的互化
【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝； (2)－2＝16；
【解】 (1)log3＝－2.
规律方法
指数运算与对数运算是一对互逆运算，在对数式logaN＝x与指数式ax＝N(a>0，且a≠1)的互化过程中，要特别注意a，x，N的对应位置．
将下列对数式化成指数式或将指数式化成对数式．
(1)54＝625;
(2)
；
(3)3a＝27;
(4)log101
000＝3.
解：(1)∵54＝625，∴log5625＝4.
(2)∵，∴－3＝8.
(3)∵3a＝27，∴log327＝a.
(4)∵log101
000＝3，∴103＝1
000.
类型二
利用对数的运算法则进行计算
【例2】 计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)2(lg)2＋lg·lg5＋；
(3)(lg5)2＋lg2·lg50.
【思路探究】 (1)对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算；(2)对于含有对数式的多项式运算问题：①可以将式中真数的积、商、幂、方根运用运算性质化为对数的和、差、积，然后化简求值；②可以将式中的对数的和、差、积化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
【解】 (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
(2)原式＝lg(2lg＋lg5)＋
＝lg(lg2＋lg5)＋1－lg
＝lg＋1－lg＝1.
(3)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)
＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝1.
规律方法
(1)在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2的运用．
(2)对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
(3)对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
解：
类型三 换底公式的应用
【例3】 已知log189＝a,18b＝5，求log3645的值．(用含a，b的式子表示)
【思路探究】 (1)利用换底公式可以把题目中不同底数的对数化成同底数的对数，应用对数性质进行计算；(2)题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化．
【解】 解法1：因为18b＝5，所以log185＝b，
所以log3645＝＝
＝＝＝.
解法2：因为log189＝a，所以18a＝9.又因为18b＝5，
所以45＝5×9＝18b·18a＝18a＋b.令log3645＝x，
则36x＝45＝18a＋b，即36x＝(×)x＝18a＋b，
所以()x＝18a＋b，所以xlog18＝a＋b，
所以x＝＝.
规律方法
用已知对数表示未知对数，就是把表示的对数的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，然后用对数的运算性质，但应注意运用性质只有在同底的情况下才能运算．
(1)log916·log881的值为( C )
A．18
B.
C.
D.
解析：原式＝log3224·log2334＝2log32·log23＝.
解析：
＝＋＝＝log310.
(3)计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)．
解：(log32＋log92)·(log43＋log83)
＝·
＝·
＝log32×log23＝.
类型四
对数方程的解法
【例4】 解下列方程：
(1)log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1；
(2)－3lgx＋4＝0；
【思路探究】 根据对数方程的特点，将对数方程化为一般代数方程并求解．
【解】 (1)由原方程得log2(x＋1)＝log4(x＋4)＋1，
∴log2(x＋1)2＝log2[4(x＋4)]，
∴(x＋1)2＝4(x＋4)，解得x＝5或x＝－3，
经检验x＝－3为增根，应舍去．
故原方程的解为x＝5.
(2)设＝y，则原方程可化为y－y2＋2＝0，
解得y＝－1或y＝2.
∵≥0，因此，y＝－1为增根，应舍去．
由＝2，得lgx＝2，∴x＝100.
经检验，x＝100为原方程的解．
(3)等式两边取常用对数得[(lgx)3－2lgx]lgx＝lg0.1，
(lgx)4－2(lgx)2＋1＝0，
∴[(lgx)2－1]2＝0，(lgx)2＝1，lgx＝±1，
∴x＝10或x＝.
规律方法
解对数方程就是将其转化成同底的对数式，或利用换元法将其转化成一元二次方程求解，在转化或化归的过程中，不是同解变形的，必须把所求的解代入原方程进行检验．
对数方程的题型与解法：
名称
题型
解法
基本型
loga
f(x)＝b
将对数式转化为指数式f(x)＝ab
同底数型
loga
f(x)＝logaφ(x)
转化为f(x)＝φ(x)(必须验根)
需代换型
F(logax)＝0
换元，令t＝logax转化为关于t的代数方程
解下列关于x的方程：
(1)log2(2x＋1)＝log2(3x)；
(2)(lgx－lg3)＝lg5－lg(x－10)；
解：(1)由log2(2x＋1)＝log2(3x)得2x＋1＝3x，
解得x＝1.
检验：当x＝1时，2x＋1>0,3x>0.故x＝1.
(2)原方程可化为lg
＝lg，
∴＝，即x2－10x－75＝0，
解得x＝15或x＝－5，
检验：当x＝－5时，<0，x－10<0，此时根式无意义，舍去；当x＝15时，满足题意，故x＝15.
——易错误区——
因忽略真数的范围致误
【错解】 0或4或2
【正解】 4 由已知得lg(xy)＝lg(x－2y)2，
从而有xy＝(x－2y)2整理得x2－5xy＋4y2＝0，
即(x－y)(x－4y)＝0，所以x＝y或x＝4y.
但由x>0，y>0，x－2y>0①
得x>2y>0.
所以x＝y应舍去，故＝4.
【错因分析】 1.在①处忽略对数式本身的限制条件导致得到增解0.
2．在②处，计算时因对数的运算法则不熟导致运算错误．
【防范措施】 1.注意对数运算法则的适用条件
对数运算法则的适用条件是同底且真数均大于零，如本例中真数“x－2y>0”，隐含着x>2y.
2．熟练掌握对数的运算法则
已知2log3＝log3(xy)(x>y>0)，则＝3＋2.
解析：由题意有x>y，xy>0且()2＝xy.
所以x2－6xy＋y2＝0，
所以()2－6()＋1＝0.所以＝3±2.
因为x>y>0，所以>1，所以＝3＋2.
一、选择题
1．当a>0，a≠1时，下列结论正确的是( C )
①若M＝N，则logaM＝logaN；
②若logaM＝logaN，则M＝N；
③若logaM2＝logaN2，则M＝N；
④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
A．①②
B．②④
C．②
D．①②③④
解析：①M≤0时不对；②正确；③应为M＝±N；④M＝0时不对．
2．已知x，y为正实数，则( D )
解析：10lnx－lny＝故A错，B、C公式不对，D项10ln＝10lnx－lny＝.选D.
3．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是( A )
A．a－2
B．5a－2
C．3a－(1＋a)2
D．3a－a2－1
解析：log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.故选A.
二、填空题
4．2log525＋3log264－8ln1＝22.
解析：原式＝2×2＋3log226－8·ln1＝4＋3×6－0＝22.
5．log6[log4(log381)]＝0.
解析：log6[log4(log381)]＝log6[log4(log334)]
＝log6(log44)＝log61＝0.
三、解答题
6．求下列各式的值．
(1)log1627·log8132；
(2)＋log2(－)．
解：(1)原式＝·＝·＝·＝.
PAGE§5 对数函数
5．1 对数函数的概念
5．2 对数函数y＝log2x的图像和性质
知识点一 对数函数的有关概念
[填一填]
(1)对数函数：我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数．
(2)常用对数函数与自然对数函数：称以10为底的对数函数y＝lgx为常用对数函数，以无理数e为底的对数函数y＝lnx为自然对数函数．
[答一答]
1．如何准确理解对数函数的定义？
提示：(1)同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是对数函数，只有y＝logax(a>0，a≠1，x>0)才是．
(2)由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)，它们的定义域和值域互换．
知识点二 反函数
[填一填]
(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，通常情况下，x表示自变量，y表示函数，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)是对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数．互为反函数的图像关于直线y＝x对称．
(2)y＝log2x的图像和性质
对数函数y＝log2x的图像过点(1,0)，函数图像都在y轴右边，表示了0和负数没有对数；当x>1时，y＝log2x的图像位于x轴上方，当0[答一答]
2．如何正确理解反函数？
提示：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．
深刻理解定义．
(1)函数y＝f(x)的反函数常用y＝f－1(x)来表示．
(2)函数y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数．
(3)对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．(a>0且a≠1)
(4)反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义域．
(5)对于任意一个函数y＝f(x)，不一定总有反函数，只有当确定一个函数的映射是一一映射时，这个函数才有反函数．
1．对数函数的形式特征
(1)整体性：logax为一个整体，且前面系数为1.
(2)独立性：自变量x在真数的位置且为单个x.
(3)限制性：底数a是满足a>0且a≠1的常数．
2．对反函数的三点说明
(1)只有一一映射确定的函数才有反函数，如一次函数y＝kx＋b(k≠0)，反比例函数y＝(k≠0)，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)，对数函数y＝logax(a>0且a≠1)，它们都是一一映射的函数，都有相应的反函数，而二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，在整个定义域上没有反函数，因为它在定义域上不是一一映射的函数．
(2)反函数也是函数，它具有函数的一切特征；反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数．
(3)互为反函数的两个函数的定义域和值域互换，即原函数的定义域和值域分别是反函数的值域和定义域.
类型一 对数函数的判断
【例1】 下列函数是对数函数的是________．
(1)y＝4x；(2)y＝logx2；(3)y＝－log3x；(4)y＝log0.4；(5)y＝log(2a－1)x(a>且a≠1，x是自变量)；(6)y＝log2(x＋1)．
【思路探究】 在对数函数y＝logax中，logax的系数必须是1，对数的底数a是一个大于0而不等于1的常数，对数的真数仅有自变量x.
【解析】 根据对数函数的定义，只有严格符合y＝logax(a>0，a≠1，x>0)形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数．易知，(1)式是指数函数；(2)式中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；(3)式中y＝－log3x，系数不为1，所以不是对数函数；(4)式中y＝log0.4，自变量x的次数不为1，所以不是对数函数；(5)式中对数的底数2a－1是一个大于0且不等于1的常数，符合对数函数的定义；(6)式中函数在对数的真数处不只有自变量x，而是关于x的表达式x＋1，故不是对数函数．由此可知只有(5)是对数函数．
【答案】 (5)
规律方法
判断一个函数是否为对数函数时，要紧扣对数函数解析式的三个特征，三者缺一不可．
指出下列函数哪些是对数函数．
(1)y＝loga(x＋7)；
(2)y＝4log3x；
(3)y＝2logax＋1；
(4)y＝log0.2x.
解：根据对数函数的定义进行判断．
(1)(2)(3)均不是对数函数，它们都是由对数函数经过某种变换而得到的．只有(4)是对数函数．
类型二
求对数函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域：
(1)y＝loga(9－x2)(a>0，a≠1)；
【思路探究】 函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，使函数有意义的条件可能有多个，对每一个条件都不能漏掉．
【解】 (1)由9－x2>0，得－3∴函数y＝loga(9－x2)(a>0，a≠1)的定义域是{x|－3(3)由得
∴－1∴函数y＝log(x＋1)(16－4x)的定义域是{x|－1规律方法
(1)与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于0，底数大于0且不等于1；其次若有偶次根号，则根号下的式子要大于或等于0；若有分母，则分母不能为0.
(2)与对数函数有关的值域问题，要先考虑定义域对值域的影响，再由单调性求解．
(1)函数f(x)＝＋lg(10－x)的定义域为( D )
A．R
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．[1,10]
D．(1,10)
解析：由题意可得解得1(2)已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，若函数的定义域为R，求实数a的取值范围．
解：因为f(x)的定义域为R，所以关于x的不等式ax2＋2x＋1>0的解集为R，结合二次函数的图像可得解得a>1.
类型三 对数函数的值域与最值
【例3】 (1)求函数y＝log2(x2－2x－3)的值域；
(2)设x≥0，y≥0且x＋2y＝，求式子log2(8xy＋4y2＋1)的最大值和最小值．
【思路探究】 (1)本题是复合函数，先求函数的定义域以及真数的范围，再求函数的值域；(2)欲求函数的最值，先求真数的最值，将真数的x，y统一，并注意自变量的取值范围．
【解】 (1)定义域：x2－2x－3>0，即x>3或x<－1，
∴y＝log2(x2－2x－3)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
令u＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴u>0，
∴y＝log2u的值域为R.
(2)∵x＋2y＝，∴2y＝－x.
设P＝8xy＋4y2＋1＝4x(－x)＋(－x)2＋1
＝－3x2＋x＋＝－3(x－)2＋.
又∵x≥0，y≥0，x＋2y＝，∴－x＝2y≥0，
即x≤，∴0≤x≤，在此范围内，P的最大值为，此时x＝.P的最小值为1，此时x＝.
又∵y＝log2x是增函数，因此式子log2(8xy＋4y2＋1)的最小值是0，最大值是log2.
规律方法
(1)考查复合函数值域的求法，先求定义域，再确定真数的范围，最后根据对数运算求出值域．(2)关键是真数的范围，特别注意的是隐含的自变量的取值范围．
求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x＋3)；
(2)y＝log2(3－x2)；
(3)y＝loga(x2－4x＋7)(a>0且a≠1)．
解：(1)令t＝x＋3，则y＝log2t.
∵t>0，∴y∈R，∴此函数的值域为R.
(2)令t＝3－x2，则0∴y≤log23，∴此函数的值域为(－∞，log23]．
(3)令t＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3≥3.
当a>1时，y≥loga3，∴此函数的值域为[loga3，＋∞)；
当0∴此函数的值域为(－∞，loga3]．
类型四 求反函数
【例4】 求下列函数的反函数．
【思路探究】 根据指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数进行求解．
【解】 (1)对数函数y＝log4x，它的底数是4，
它的反函数是指数函数y＝4x.
规律方法
要寻求函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来写成y＝g(x)的形式，如果这种表达式是唯一确定的，就得到了f(x)的反函数g(x)．
求下列函数的反函数：
(1)y＝log2x；
(2)y＝()x；
(3)y＝5x＋1.
解：(1)由y＝log2x，得y∈R，x＝2y，
所以f－1(x)＝2x，x∈R.
类型五 互为反函数图像间的关系
【例5】 若点A(1,2)既在函数f(x)＝的图像上，又在f(x)的反函数的图像上，求a，b的值．
【思路探究】 可由A关于y＝x的对称点A′(2,1)也在f(x)上，建立a，b的方程组求解．
【解析】 依题意可得f(1)＝2，f－1(1)＝2，
即f(2)＝1，∴解得
即a＝－3，b＝7.
规律方法
1.互为反函数的图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图像上任一成对的相应点也关于y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f－1(x)图像上，则点(b，a)必在其反函数y＝f(x)图像上．
2．根据指数函数与对数函数图像的关系，利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程解的个数问题．
(1)已知函数y＝ax＋b的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，则a＝3，b＝1；
解析：由函数y＝ax＋b的图像过点(1,4)，得a＋b＝4；由反函数的图像过点(2,0)知原函数的图像必过点(0,2)，得a0＋b＝2.因此a＝3，b＝1.
(2)已知f(x)＝，则f－1＝－2.
解析：本题的一般解法是先求f－1(x)，再把代入求值．事实上，根据函数y＝f(x)与y＝f－1(x)之间的关系，求y＝f－1的值，就是求f(x)＝时x的值．解＝，得3x＝，即x＝－2，因此f－1＝－2.
——易错误区——
忽略指数函数与对数函数的关系而致错
【例6】 设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，则a＋b＝________.
【错解】 0或6
【正解】 3 将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.
如图可知，a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称，由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．
则A、B都在直线y＝－x＋3上，
∴b＝－a＋3(A点坐标代入)，或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3.
【错因分析】 利用数形结合思想得出A与B关于直线y＝x对称，而误认为a＋b＝0或a＋b＝6.
【防范措施】 1.数形结合思想的应用意识
解题时，数形结合思想是常用的数学思想方法，用数形结合分析问题，往往能起到事半功倍的效果，如本例，借助于数形结合分析，很容易得到A，B两点的对称关系．
2．定义的理解与灵活应用
解题时，对一些定义、关系的理解与灵活应用至关重要．如本例，正确理解指数函数与对数函数，两者互为反函数的关系是灵活解题的关键所在．
方程2x＋x＝2，log2x＋x＝2,2x＝log2(－x)的根分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为b>a>c.
解析：在同一坐标系内画出y＝2x，y＝log2x，y＝2－x，y＝log2(－x)的图像．所以b>a>c.
一、选择题
1．设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝( D )
A．(1,2)
B．[1,2]
C．[1,2)
D．(1,2]
解析：本题考查了不等式解法，函数定义域求法，集合中的交集运算．由－3≤2x－1≤3知，－1≤x≤2，要使函数y＝lg(x－1)有意义，须x－1>0，即x>1，∴集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x>1}，∴A∩B＝{x|12．下列函数中是对数函数的是( A )
解析：形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数，故选A.
3．函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则( C )
A．f(x)＝lgx
B．f(x)＝log2x
C．f(x)＝lnx
D．f(x)＝xe
解析：易知y＝f(x)是y＝ex的反函数．∴f(x)＝lnx.故选C.
二、填空题
4．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝log32.
解析：当x∈(－∞，1]时，f(x)∈(0,3]；当x∈(1，＋∞)时，f(x)∈(－∞，－1)．∵f(x)＝2，∴3x＝2?x＝log32.
5．对数函数的图像过点P(9,2)，则此对数函数的解析式为y＝log3x.
解析：设对数函数为y＝logax，∴2＝loga9，∴a＝3，
∴解析式为y＝log3x.
三、解答题
6．说出下列各组函数之间是否互为反函数，并说明理由．
解：(1)，(3)组是，因为它们的定义域、值域互换，对应法则互逆，符合y＝ax与y＝logax的关系．
(2)，(4)组不是，因为它们底数不同，不符合y＝ax与y＝logax的关系．
PAGE5．3 对数函数的图像和性质
知识点 对数函数的图像和性质
[填一填]
[答一答]
函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置有何影响？
提示：图像如图：
观察图像，总结变化规律：
1．上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图像越靠近x轴，02．左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
对数函数图像和性质的关系
类型一 对数函数的图像
【例1】 函数y＝log2x，y＝log5x，y＝lgx的图像如图所示．
(1)说明哪个函数对应于哪个图像，并解释为什么；
(3)从(2)的图中你发现了什么？
【思路探究】 解答本题要根据底数不同的对数函数图像的变化规律，确定三个图像与三个函数的对应性，再利用描点法画出(2)中的三个函数图像，最后观察图像得出结论．
【解】 (1)当底数全大于1时，在x＝1的右侧，底数越大的函数图像越在下方．所以，①对应函数y＝lgx，②对应函数y＝log5x，③对应函数y＝log2x.
(2)列表：
描点连成图为：
规律方法
1.画对数函数y＝logax的图像时，应抓住三个关键点(a,1)，(1,0)，(，－1)．
2．对数函数的图像与指数函数的图像一样，除了用描点法作图外，还可以用图像的变换法作图，其变化规律完全相同．
如图是对数函数y＝logax的图像，已知a值取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次是( A )
A.，，，
B.，，，
C.，，，
D.，，，
解析：对于y＝logax，当a>1时，图像上升；当01时，a越大，在x轴上方图像向右越靠近x轴；当0类型二 利用对数函数单调性比较大小
【例2】 比较下列各组数的大小：
(1)log23.4，log28.5；
(2)log0.33，log0.3π；
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)；
【思路探究】 先观察对数的底数，再选择合适的方法比较．
【解】 (1)∵函数y＝log2x在(0，＋∞)上是单调增函数，且3.4<8.5，∴log23.4(2)∵函数y＝log0.3x在(0，＋∞)上是单调减函数，且3<π，∴log0.33>log0.3π.
(3)底数都是a，需要讨论a的取值范围，再由函数的单调性判断大小．
当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，且5.1<5.9，∴loga5.1当0loga5.9.
规律方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断，即当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，当0(2)若底数为同一参数，则先对底数进行讨论，再按对数函数的单调性进行判断．
(3)若底数不同，真数相同，则构造两个不同的对数函数，利用函数图像与底数的关系反映的规律进行比较．
(4)若底数、真数都不相同，则常借助1,0，－1等中间量进行比较．
比较下列各组中两个值的大小
(1)ln0.3，ln2；
(2)log23，log0.32；
(3)logaπ，loga3.141；
解：(1)(单调性法)因为y＝lnx在(0，＋∞)上是增函数，所以ln0.3(2)(中间量法)因为log23>log21＝0，log0.32<0，
所以log23>log0.32.
(3)(分类讨论)当a>1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ>loga3.141；
当0综上所得，
当a>1时，logaπ>loga3.141；
当0类型三 对数函数单调性
【解】
规律方法
1.求复合函数单调区间应按下列步骤完成：
(1)求出函数的定义域；
(2)将复合函数分解为基本初等函数；
(3)分别确定各个基本初等函数的单调性；
(4)根据复合函数原理求出复合函数的单调区间．
2．求单调区间要注意定义域．
函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调递增区间为(－∞，－1)．
解析：函数的定义域为{x|x>3或x<－1}，
令t＝x2－2x－3，
因为y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，t＝x2－2x－3在(－∞，－1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
所以由复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．
类型四 函数奇偶性判定
【例4】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝lg(4＋x)＋lg(4－x)；
(2)f(x)＝lg(x＋)；
(3)f(x)＝loga(a>0且a≠1，b>0)；
(4)f(x)＝.
【思路探究】 从奇偶函数的定义出发给予判别．
【解】 (1)由f(x)＝lg(4＋x)＋lg(4－x)，知
∴－4又f(－x)＝lg(4－x)＋lg(4＋x)＝f(x)，
∴f(x)为(－4,4)上的偶函数．
(2)由f(x)＝lg(x＋)，知
x＋>x＋|x|≥0，∴定义域为R.
又∵f(－x)＝lg(－x＋)＝lg(x＋)－1
＝－lg(x＋)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)由f(x)＝loga，知>0，
∴－b0)．
又∵f(－x)＝loga＝loga()－1＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(4)由f(x)＝，知x满足
∴－2故f(x)的定义域为{x|－2故f(x)＝＝(－2又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
规律方法
判断函数的奇偶性关键是：
①求定义域，定义域必须关于原点对称；
②变形过程中，要注意分子、分母有理化，或计算f(－x)±f(x)＝0.
若f(x)＝lg(a∈R)是奇函数，则常数a的值为－1.
解析：∵f(x)＝lg(a∈R)，
∴f(－x)＝lg，
∵f(x)＋f(－x)＝0，∴＝1.
化简得－(a2＋4a＋3)x2＝1－a2，
∴解得a＝－1.
——规范解答——
对数函数的综合应用
【例5】 已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并给予证明；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
【审题】 抓信息，找思路
(1)审条件：一个解析式：函数f(x)的解析式已知；一个范围：a的范围已知．
(2)建联系：无论是求定义域、判断奇偶性，还是解不等式f(x)>0，都要与函数f(x)的解析式建立联系．
(3)找思路：先通过寻求使对数式有意义的自变量可确定函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义可判断奇偶性；最后根据a的不同取值范围分情况讨论建立不等关系，寻找满足条件的自变量．
【解析】 (1)函数定义域满足>0，
即或
解得－1(2)因为函数f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称．
又因为f(－x)＝loga＝loga()－1
＝－loga＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(3)当a>1时，由loga>0可得>1，
由(1)可知，x∈(－1,1)，所以1－x>0，解得01，x∈(0,1)时，有f(x)>0.
当00可得0<<1，
由(1)可知，x∈(－1,1)，所以1－x>0，所以解得－10.
综上所述，当0当a>1时，所求x的取值范围是(0,1)．
【点评】 1.注重挖掘隐含条件，有效简化运算过程
在处理一些问题时，要仔细读题，挖掘其中的隐含条件，如本例中根据(1)中的定义域对自变量x的限制条件，在求解(3)中不等式的时候可以有效减少运算量，直接转化为整式不等式求解．
2．分类讨论的意识不可丢
在解决含有参变量的数学问题时，要适时根据参变量的不同范围进行分情况研究，像本例中由于对数式的底数a的范围不确定，因此要分两种不同的情况求解．
已知f(x)＝－x＋log2.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性．
解：(1)函数定义域满足>0，解得－1所以f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)由(1)可知函数定义域关于原点对称，又因为f(x)＋f(－x)＝－x＋log2＋x＋log2＝log2(·)＝log21＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
一、选择题
1．函数y＝logax的图像如图所示，则实数a可能取的值是( D )
A.
B.
C.
D．10
解析：由图像得函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则a>1.
2．函数f(x)＝lg(4－x2)的定义域为( B )
A．[－2,2]
B．(－2,2)
C．[0,2]
D．(0,2)
解析：由4－x2>0，得x2<4，即|x|<2，所以－23．函数y＝log(a2－1)x在(0，＋∞)内是减函数，则a的取值范围是( D )
A．|a|>1
B．|a|<
C．a>
D．1<|a|<
解析：∵函数为减函数，∴a2－1∈(0,1)，
∴1二、填空题
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f(x)＝log3(1＋x)，则f(－2)＝－1.
解析：设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝log3(1－x)，
又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－log3(1－x)(x<0)．
所以f(－2)＝－log33＝－1.
5．已知函数f(x)＝，则f
[f(2)]的值为.
解析：f(2)＝log2＝log2＝log22－2＝－2，
∴f[f(2)]＝f(－2)＝3－2＝.
三、解答题
6．求函数f(x)＝log2(－x2＋2x－1)的最大值．
解：∵－x2＋2x－1＝－(x－3)2＋2≤2，
又∵y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在x＝3时取最大值，且最大值为1.
PAGE§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
知识点 三种函数类型的增长比较
[填一填]
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)，y＝xn(n>0)都是增(填“增”或“减”)函数，但它们的增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax[答一答]
怎样理解指数函数、幂函数、对数函数增长情况具有一定规律性？
提示：一般地，对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
同样地，对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax综上所述，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0
)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax函数模型的选取：
(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
(3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．
类型一 函数增长快慢的比较
【例1】 试利用图像比较y＝x2和y＝2x的增长情况．
【思路探究】 应首先利用列表描点法画出函数图像，再通过图像比较其增长情况．
【解】 为观察到y＝x2和y＝2x的图像和全貌，便于比较其增长情况，列如下两表：
对应表1的图像如图(1)．
对应表2的图像如图(2)．
由图(1)可以看到，y＝2x和y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)．结合图像可得：当x∈(0,2)时，2x>x2；当x∈(2,4)时，2x4时，2x>x2.再结合图(2)可以发现，当自变量x越来越大时，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道．
规律方法
(1)我们常把指数的这种快速剧增形象地称为“指数爆炸”．
(2)在计算器或计算机中，1.10×1012常表示成1.10E＋12.
(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x增长，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)则增长会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是( B )
A．y＝3x
B．y＝3x
C．y＝x3
D．y＝log3x
解析：随着x的增大，函数y＝ax(a>1)的增速会远远超过y＝xn(n>0)的增速，而函数y＝logax(a>1)的增长速度最慢．故选B.
类型二 比较大小
【思路探究】 方法1：数形结合法．方法2：化为同底数的对数函数，利用对数函数的单调性来比较大小，不可化为同底数的，与0比较，或与1比较．
【解】
规律方法
对于对数函数，当真数x>1时，在x轴上方或下方均有“底数越大，图像越偏下”；当真数0四个数2.40.8,3.60.8，log0.34.2，log0.40.5的大小关系为( D )
A．3.60.8>log0.40.5>2.40.8>log0.34.2
B．3.60.8>2.40.8>log0.34.2>log0.40.5
C．log0.40.5>3.60.8>2.40.8>log0.34.2
D．3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2
解析：∵y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函数，又3.6>2.4>1，∴3.60.8>2.40.8>1.∵log0.34.22.40.8>log0.40.5>log0.34.2.
类型三 不同增长的函数模型的实际应用
【例3】 某公司为了实现1
000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
【思路探究】 某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10，1
000]时，能够满足y≤5，且≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．
【解】 借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图所示)．观察图像发现，在区间[10,1
000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1
000]上单调递增，当x∈(20,1
000]时，y>5，因此该模型不符合要求．
对于模型y＝1.002x，由函数的图像，并利用计算器计算可知，在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1
000]上单调递增，因此当x>x0时，y>5，因此该模型不符合要求．
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1
000]上单调递增，而且当x＝1
000时，y＝log71
000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算当x∈[10,1
000]时，是否有＝≤0.25成立．
令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1
000]．利用计算器或计算机作出函数f(x)的图像如图所示，由图像可知它是单调递减的，因此f(x)7<0，即log7x＋1<0.25x.所以当x∈[10,1
000]时，<0.25，说明按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金不会超过利润的25%.
综上所述，模型y＝log7x＋1符合公司要求．
规律方法
从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．
某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位为：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间/t
50
110
250
种植成本/Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q和上市时间的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bx，Q＝a·logat；
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿的种植成本Q与上市时间t之间的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bx，Q＝a·logat中任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述四个函数中有三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．
以表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c得到：
解上述方程组得a＝，b＝－，c＝.
所以，描述西红柿种植成本Q和上市时间t变化关系的函数为Q＝t2－t＋.
(2)由(1)可知当上市t＝150天时，种植成本为100元/102kg.
——如何选择函数模型——
指数函数型模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
对数函数型模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1，x>0)；
幂函数型模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．
在解决实际问题时，我们要根据实际情况灵活选取函数的模型．(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数型模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数型模型．(3)幂函数型模型y＝xα(α>0)可以描述增长幅度不同的变化，α值较小(α≤1)时，增长速度较慢；α值较大(α>1)时，增长速度较快．
【例4】 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量？(注：幂函数型模型：y＝a＋b，指数函数型模型：y＝abx＋c)
【解析】 (幂函数型模型)
设y1＝a＋b，将(1,1)，(2,1.2)两点的坐标代入，得解得所以y1＝0.48＋0.52.
(指数函数型模型)
设y2＝abx＋c，将(1,1)，(2,1.2)，(3,1.3)三点的坐标代入，得解得所以y2＝－0.8×0.5x＋1.4.
将x＝4分别代入上述函数关系式，求得第4个月产量：y1＝1.48，y2＝1.35.
因此选用y＝－0.8×0.5x＋1.4估算以后几个月的产量．
规律方法
利用函数图像或函数表是求解函数模型的常用方法，尤其在实际问题中，应用得更加广泛．
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问：你会选择哪种投资方案？
解：设第x天所得回报是y元，则方案一可用函数f1(x)＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可用函数f2(x)＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可用函数f3(x)＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．
作出以上三个函数在[0，＋∞)上的图像，如图所示．
由图像可知，每天所得回报，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一、二同样多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三最多．
我们再看累计回报数，列表如下：
从上表可知，投资7天以内(不含7天)，应选择第一种投资方案；投资7天，选择第一、二种方案均可；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天以上(含11天)，应选择第三种投资方案．
一、选择题
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( A )
A．y＝2x
B．y＝x10
C．y＝lgx
D．y＝10x2
解析：在指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)中，随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的函数值增长速度最快，呈“爆炸式”增长，故选A.
2．当2A．2x>x2>log2x
B．x2>2x>log2x
C．2x>log2x>x2
D．x2>log2x>2x
解析：解法1：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图像，因为在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2>2x>log2x.(这种方法要求图像要比较精确，最好利用数学软件或图形计算器作图．)
解法2：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．易知，当x＝3时，2x＝23＝8，x2＝32＝9，log2x＝log232x>log2x.
二、填空题
3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
上述四个变量中仅有一个变量关于x呈指数型函数增长，则该变量是y2.
解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．
4．函数y＝3x与y＝x3的交点个数为2.
解析：作出两函数图像知在第一象限有两个交点，但随着x增大，3x的值总大于x3的值，再无交点，∴共有2个．
三、解答题
5．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的单调性并证明．
解：(1)由ax－1>0得ax>1，
∴当a>1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)；
当0(2)当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当0证明如下：
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