第一章
集合与常用逻辑用语
1．1 集合
1．1.1 集合及其表示方法
第1课时 集合的概念
[课程目标]
1.通过实例理解集合的有关概念；2.初步理解集合中元素的两个特性；3.体会元素与集合的属于关系；4.了解常用数集及其专用符号，初步了解有限集、无限集、空集的意义．
知识点一
集合的含义
[填一填]
1．集合
一般地，把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象组成的集合(或集)．
2．元素
构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．
3．元素与集合的符号表示
4．空集
不含有任何元素的集合叫空集，记作?.
[答一答]
1．观察下列实例，回答下面的问题：
①某集团的所有员工；
②坐标平面内第一象限的点；
③不等式组的整数解；
④一元二次方程x2－3x＋2＝0的实数根．
(1)上述实例中的研究对象各是什么？
(2)这些实例中的研究对象都是确定的吗？
提示：(1)它们的研究对象分别是员工、点、整数解、实数根．
(2)这些实例中的研究对象都是确定的．
知识点二
元素与集合的关系
[填一填]
元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A.
[答一答]
2．如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合，用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(6)班的一位同学，那么a，b与集合A分别有什么关系？
提示：a是集合A中的元素，b不是集合A中的元素．
知识点三
集合元素的特性
[填一填]
集合中元素的特性：确定性；互异性；无序性．
[答一答]
3．你们班个子较高的同学可以构成一个集合吗？为什么？
提示：不能构成一个集合．因为个子较高中对高的程度没有确定的标准，所以无法判断哪些同学符合要求，因此不能构成一个集合．
知识点四
集合的分类与常用的数集
[填一填]
1．集合的分类
2．常用的数集及其记法
常用的数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N
或N＋
Z
Q
R
[答一答]
4．若元素a∈Q，能否得出a∈R?
提示：能．因为实数集包含有理数集和无理数集，故Q中的元素一定是R中的元素．
类型一
集合的概念
[例1] 对于以下说法：
①接近于0的数的全体构成一个集合；
②长方体的全体构成一个集合；
③高科技产品构成一个集合；
④不大于3的所有自然数构成一个集合；
⑤1,0.5，，组成的集合含有四个元素．
其中正确的是( )
A．①②④
B．②③⑤
C．③④⑤
D．②④
[解析] ①③中的元素不能确定，⑤中的集合含有3个元素，②④中的元素是确定的，所以②④能组成集合．
[答案] D
集合中的元素是确定的，即对任何一个对象我们都能判断它是或不是某个集合中的元素，并且两者必居其一，因此它是判断一组对象能否构成集合的一个标准.若这组对象是明确的、具体的，则它们可以构成一个集合，若是模棱两可的，则不能构成一个集合.
[变式训练1] 给出下列说法：
①不等于2的所有偶数可以组成一个集合；
②高一年级的所有高个子同学可以组成一个集合；
③2016年里约奥运会比赛项目构成一个集合．
其中正确的个数是( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①根据集合元素的特性“确定性”进行判断，说法正确；
②“高个子”不明确，故不能构成集合，说法错误；
③显然判定一个对象是否属于该集合的条件明确，构成一个集合，说法正确．
类型二
元素与集合的关系
[例2] 用符号∈或?填空．
(1)设A是正整数构成的集合，则0________A，____
A，(－1)0________A；
(2)设A为中国境内所有的河流构成的集合，则长江________A，尼罗河________A，亚马孙河________A，黄河________A.
[解析] (1)若A是正整数构成的集合，则0和无理数不是A中的元素．(－1)0＝1，是A中的元素．
(2)长江在中国境内，故长江∈A；尼罗河不在中国境内，故尼罗河?A；亚马孙河也不在中国境内，故亚马孙河?A；黄河在中国境内，故黄河∈A.
[答案] (1)? ? ∈ (2)∈ ? ? ∈
判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“∈”与“?”只表示元素与集合的关系.
[变式训练2] 设不等式2x－3>0的解集为M，下列表示正确的是( B )
A．0∈M,2∈M
B．0?M,2∈M
C．0∈M,2?M
D．0?M,2?M
解析：由2x－3>0，得x>.
∴0?M,2∈M，故选B.
类型三
集合中元素的特性及应用
[例3] 集合A中有三个元素1,0，x，且x2∈A，求x的值．
[解] 当x2＝1时，解得x＝±1，x＝1不满足集合元素的互异性，故x＝－1；
当x2＝0时，解得x＝0，此时不满足集合元素的互异性，故舍去．
当x2＝x时，解得x＝0或1，此时不满足集合元素的互异性，故舍去．
综上，x＝－1.
?1?根据集合中元素的确定性可以解出集合中字母的所有可能的值或范围，再对集合中的元素进行检验从而判断是否满足集合中元素的互异性.
?2?在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.
[变式训练3] 若集合中的三个元素分别为2，x，x2－x，则元素x应满足的条件是x≠2，且x≠－1，且x≠0.
解析：由元素的互异性可知x≠2，且x2－x≠2，且x2－x≠x，即解得x≠2，且x≠－1，且x≠0.
类型四
常用的数集及表示
[例4] 下列关系中，正确的有________(填序号)．
①∈R；②?Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q；⑤π?Z.
[解析] 是实数，是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－|＝是无理数，π是无理数．因此，①②③⑤正确，④错误．
[答案] ①②③⑤
集合可以用大写的英文字母表示，但自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集有专用字母表示，一定要牢记，以防混淆.
[变式训练4] 用符号“∈”或“?”填空．
(1)－3?N；(2)3.14∈Q；(3)?Q；(4)1∈N
；
(5)π∈R.
1．下列各组对象不能构成集合的是( B )
A．拥有手机的人
B．某校高一(3)班成绩优秀的学生
C．所有有理数
D．小于π的正整数
解析：B选项中“成绩优秀”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.
2．若集合A中有两个元素x与x2，则x的值可以是( D )
A．0
B．1
C．0或1
D．－1
解析：当x＝0或1时，x＝x2，不满足集合元素的互异性．故选D.
3．有下列四种说法：①平方等于－1的实数不能组成一个集合；②正方形组成的集合只有一个元素；③x2＋2x＋1＝0的解集是空集；④若a∈A，则A有可能为空集．其中说法正确的有( A )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：①能组成一个空集；②有很多元素(大小不同的正方形)；③方程x2＋2x＋1＝0有解x＝－1；④因为a∈A，说明A中含有元素a，所以A不可能为空集．
4．用符号∈或?填空：
(1)0?N
，|－4|∈N
；
(2)设集合B是小于的所有实数构成的集合，则2?B,1＋∈B；
(3)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x构成的集合，则3?C,5∈C；
(4)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)构成的集合，则－1?D，(－1,1)∈D.
解析：(1)∵0不是正整数，∴0?N
.
∵|－4|＝4是正整数，∴|－4|∈N
.∴依次应填?，∈.
(2)2＝>.因为(1＋)2＝3＋2<11，
所以1＋<.所以依次应填?，∈.
(3)由于n是正整数，所以n2＋1≠3.
而当n＝2时，n2＋1＝5，所以依次应填?，∈.
(4)由于集合D中的元素是有序实数对(x，y)，而－1是数，所以－1?D.又(－1)2＝1，所以依次应填?，∈.
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6
-第2课时 集合的表示方法
[课程目标]
1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)；2.掌握用区间表示数集；3.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合，正确运用区间表示一些数集．
知识点一
列举法表示集合
[填一填]
列举法
把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法叫做列举法．
[答一答]
1．什么类型的集合适合用列举法表示？
提示：当集合中的元素较少时，用列举法表示方便．
2．用列举法表示集合的优点与缺点是什么？
提示：用列举法表示集合的优点是元素清晰明确、一目了然；缺点是不易看出元素所具有的属性．
知识点二
描述法表示集合
[填一填]
描述法
(1)集合的特征性质：
一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．
(2)特征性质描述法：
集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x|p(x)}，这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法．
[答一答]
3．什么类型的集合适合用描述法表示？
提示：描述法多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集．
4．集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗？
提示：虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．
知识点三
区间及其表示
[填一填]
研究函数常常用到区间的概念，设a、b是两个实数，且a
a，x≤a，x[答一答]
5．在数轴上如何表示区间[a，b]、(a，b)、[a，b)、(a，b]、[a，＋∞)、(a，＋∞)?
提示：如图所示：
a，b叫做区间的端点，在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示．
类型一
用列举法表示集合
[例1] 用列举法表示下列集合：
(1)36与60的公约数构成的集合；
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根构成的集合；
(3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图像的交点构成的集合．
[解] (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合可表示为{1,2,3,4,6,12}；
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合可表示为{2,4}；
(3)方程y＝x－1与y＝－x＋可分别化为x－y＝1与2x＋3y＝4，则方程组的解是所求集合可表示为.
用列举法表示集合时，应明确集合中的元素所满足的特征，然后把集合中的元素一一列举出来，写在“{ }”内，即表示了这个集合，其中“{ }”具有“所有”“整体”的含义.
[变式训练1] 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合．
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．
(3)单词look中的字母组成的集合．
(4)不等式组的整数解组成的集合．
解：(1)小于10的所有自然数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，故用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)方程x2＝x的实数根为1,0，用列举法表示为{1,0}．
(3)因为集合中的元素具有互异性，所以look中的字母组成的集合为{l，o，k}．
(4)由得3类型二
用描述法表示集合
[例2] 用描述法表示下列集合：
(1)正奇数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
[解] (1){x|x＝2n－1，n∈N＋}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
用描述法表示集合时应注意：①“竖线”前面的x∈R可简记为x；②“竖线”不可省略；③p?x?可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一.
[变式训练2] 用描述法表示下列集合：
(1)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合；
(2)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合；
(3)方程组的解构成的集合．
解：(1)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合，用描述法可表示为{x||x|>3}；
(2)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合，用描述法可表示为{(x，y)|xy<0}；
(3)方程组的解构成的集合，用描述法表示为或.
类型三
集合表示法的综合应用
[例3] 用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)100以内被3除余1的正整数；
(3)到两坐标轴距离相等的点的集合；
(4)所有的正方形．
[解] (1)方程组的解为故可写成{(1,1)}或{(x，y)|x＋y＝2且3x＋2y＝5}；
(2)可以写成{x|x＝3n＋1，n∈N且1≤x≤100}或{100以内被3除余1的正整数}；
(3)可以写成{(x，y)|x±y＝0}；
(4)可以写成{正方形}．
寻找适当的方法来表示集合时，应该“先定元，再定性”.一般情况下，元素个数无限的集合不宜采用列举法，因为不能将元素一一列举出来，而描述法既适合元素个数无限的集合，也适合元素个数有限的集合.
[变式训练3] 用适当的方法表示下列集合：
(1)比－5大3的数．
(2)方程＋|y＋2|＝0的解的集合．
(3)不等式2x＋3>－x＋6的解集．
(4)二次函数y＝x2－1的图像上所有点的集合．
解：(1)比－5大3的数是－5＋3＝－2，
所以集合是{－2}．
(2)由算术平方根和绝对值的意义可知
解得所以该方程的解集是.
(3)解不等式2x＋3>－x＋6得：x>1，
所以不等式的解集是{x|x>1}．
(4)由于二次函数图像上的点有无数个，所以应选用描述法表示集合，所以所求集合是{(x，y)|y＝x2－1}．
类型四
用区间表示数集
[例4] 将下列集合转化成区间表示．
(1){x|x>0}；(2){x|1≤x<2}；(3){x|x≤－2}；
(4){x|－3[解] (1){x|x>0}＝(0，＋∞)；
(2){x|1≤x<2}＝[1,2)；
(3){x|x≤－2}＝(－∞，－2]；
(4){x|－3(5){x|－4≤x≤0}＝[－4,0]．
对区间的几点认识
?1?区间是集合，是数集，区间的左端点必须小于右端点.
?2?用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
?3?在用区间表示集合时，开和闭不能混淆.
?4?符号“∞”与数的区别
①无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则.
②以“－∞”和“＋∞”为区间一端时，这一端必须是小括号，即区间这一端是开的，不能把[1，＋∞?写成[1，＋∞].
[变式训练4] 将下列集合用区间或描述法表示．
(1){x|－2≤x<7};
(2){x|x≥－5}；
(3){x|3(4)[－3，＋∞)；
(5)[－5,3);
(6)(－4,6]．
解：(1)[－2,7)；(2)[－5，＋∞)；(3)(3,6)；
(4){x|x≥－3}；(5){x|－5≤x<3}；
(6){x|－41．下列集合表示法正确的是( C )
A．{a，a，c}
B．{高一·一班全体同学}
C．{无理数}
D．不等式x2－4>0的解集为{x>2或x<－2}
解析：集合{无理数}表示无理数集，故选项C正确．
2．用列举法表示集合{x|x－2<3，x∈N
}为( B )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
解析：∵x－2<3，∴x<5，又x∈N
，∴x＝1,2,3,4，故选B.
3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( D )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．一次函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合
解析：本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合．故选D.
4．用区间表示下列数集：
(1){x|5(2){x|x<3}＝(－∞，3)．
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4
-1．1.2 集合的基本关系
[课程目标]
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2.能使用Venn图表示集合间的关系；3.理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能简单应用．
知识点一
子集、真子集的概念
[填一填]
1．子集、真子集、等集
一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B(或B?A)．
一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A?B(或B?A)．
一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.
2．维恩(Venn)图
如果用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合间的关系，这种示意图通常叫做维恩图．
[答一答]
1．若A?B，则A中的元素是B中的元素的一部分，对吗？
提示：不对，A中的元素是B的一部分或是B的全部．
2．如何用维恩(Venn)图表示集合A是集合B的真子集？
提示：如图所示：
知识点二
集合间关系的判断
[填一填]
1．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A?B，则x∈A?x∈B.于是，x具有性质p(x)?x具有性质q(x)，即p(x)?q(x)．
反之，如果p(x)?q(x)，则A一定是B的子集，其中符号“?”是“推出”的意思．
2．?与其他集合之间的关系
(1)?是任意一个集合的子集；
(2)?是任意一个非空集合的真子集．
[答一答]
3．对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么集合A与C有什么关系？
提示：A与C的关系为：A?C.
4．0，{0}，?三者之间存在什么关系？
提示：它们的关系为：0∈{0},0??，??{0}．
知识点三
集合相等关系的应用
[填一填]
如果命题“p(x)?q(x)”和命题“q(x)?p(x)”，都是正确的命题，这时我们常说，一个命题的条件和结论可以互相推出，互相推出可用符号“?”表示．显然，如果p(x)?q(x)，则A＝B；反之，如果A＝B，则p(x)?q(x)．
[答一答]
5．给定两个集合：A＝{0,1}，B＝{x|x2＝x}．
(1)集合B能否用列举法表示出来？
(2)集合A中的元素和集合B中的元素有什么关系？
提示：(1)能，B＝{0,1}．
(2)由(1)知A＝B.
6．与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，在集合中，你能得出什么结论？
提示：若A?B且B?A，则A＝B.
类型一
子集、真子集的概念
[例1] 设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
[解] 由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，则方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4.
故集合A＝{－4，－1,4}，
由0个元素构成的子集为：?；
由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}；
由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1，4}；
由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}．
因此集合A的子集为：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}，真子集为：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．
1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：
?1?确定所求集合；
?2?合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
?3?注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
[变式训练1] 写出满足{3,4}?P?{0,1,2,3,4}的所有集合P.
解：由题意知，集合P中一定含有元素3,4并且是至少含有三个元素的集合．因此所有满足题意的集合P为{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．
类型二
集合间关系的判断
[例2] 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈Z|x2＝1}；
(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(3)A＝{－1,1}，B＝{?，{－1}，{1}，{－1,1}}；
(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(5)A＝{x|－1[解] (1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.
(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．
(3)观察发现集合A是集合B的一个元素，故A∈B.
(4)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示．由图可发现A?B.
判断集合之间的关系的基本方法是转化为判定元素和集合间的关系，首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B.若是，则A?B，否则A
B.其次判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A.若是，则B?A，否则B
A.最后下结论：若A?B，B?A，则A＝B；若A?B，B
A，则A?B；若A
B，B?A，则B?A；若上述三种情况均不成立，则A
B，B
A.
[变式训练2] 判断下列两个集合之间的关系：
(1)A＝{x|－3≤x<5}，B＝{x|－1(2)A＝{x|x＝k＋，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋，k∈Z}．
解：(1)将两个集合在数轴上表示出来，如下图所示，显然有B?A.
(2)在集合A中，x＝k＋＝，k∈Z.
∵当k∈Z时，2k＋1是奇数，
∴集合A中的元素是所有的奇数除以2所得的数．
在集合B中，x＝2k＋＝，k∈Z.
∵当k∈Z时，4k＋1只表示了部分奇数，∴B?A.
类型三
集合相等关系的应用
[例3] 已知M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．
[解] 因为M＝N，所以(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0.
解得a＝1或a＝3.
当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；
当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．
故所求实数a的值为1.
(1)若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关．要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
(2)若两个集合中元素均为无限多个，要看两个集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两个集合相等．
(3)证明两个集合相等的常用思路是证A?B且B?A.
[变式训练3] 设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求a2
019＋b2
019.
解：由A＝B，得或
若则或
由集合中元素的互异性可知a≠1，故
故a2
019＋b2
019＝－1.
若则
由集合中元素的互异性可知a≠1，故此解舍去．
综上所述，a2
019＋b2
019＝－1.
类型四
由集合关系求参数取值范围
[例4] 设集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|m＋1≤x≤2m＋3}，若B?A，求实数m的取值范围．
[解] (1)当m＋1>2m＋3，即m<－2时，B＝?符合题意；
(2)当m＋1≤2m＋3，即m≥－2时，B≠?.
如图，由B?A，得解得0≤m≤.
综合(1)(2)可知，m<－2或0≤m≤.
1.?1?分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合.?2?利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.
2.涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.)
[变式训练4] 已知集合A＝[1,2]，B＝[1，a]，其中a>1.
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围．
解：(1)若A?B，由下图可知a>2.
(2)若B?A，由下图可知11．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数为( B )
A．4
B．7
C．8
D．16
解析：可知A＝{0,1,2}，其真子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．共有23－1＝7(个)．
2．已知M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则能表示M，N之间关系的Venn图是( C )
解析：M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，∴N?M.
3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( C )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
解析：∵中，a≠0，∴a＋b＝0.当b＝1时，a＝－1，这时＝－1，符合题意；当＝1时，不合题意．
故b－a＝1－(－1)＝2.
4．用适当的符号填空：
(1)a∈{a，b，c}；
(2)0∈{x|x2＝0}；
(3)?＝{x∈R|x2＋1＝0}；
(4){0,1}?N；
(5){0}?{x|x2＝x}；
(6){2,1}＝{x|x2－3x＋2＝0}．
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-1．1.3 集合的基本运算
第1课时 交集与并集
[课程目标]
1.理解两个集合的交集与并集的概念，明确数学中的“且”“或”的含义；2.会求两个集合的交集与并集，并能利用交集与并集的性质解决相关问题；3.能使用Venn图或数轴表示集合之间的运算，体会数形结合思想对理解抽象概念的作用．
知识点一
交集
[填一填]
1．交集的定义
一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”．
2．交集的性质
(1)A∩B＝B∩A；
(2)A∩A＝A；
(3)A∩?＝?∩A＝?；
(4)如果A?B，则A∩B＝A.
3．两个集合A，B的交集可用Venn图表示为如图阴影部分：.
[答一答]
1．若A∩B＝A，则A与B有什么关系？
提示：若A∩B＝A，则A?B.
2．当集合A与B没有公共元素时，A与B就没有交集吗？
提示：不能这样认为，当两个集合无公共元素时，两个集合的交集仍存在，即此时A∩B＝?.
知识点二
并集
[填一填]
1．并集的定义
一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”．
2．并集的性质
(1)A∪B＝B∪A；
(2)A∪A＝A；
(3)A∪?＝?∪A＝A；
(4)如果A?B，则A∪B＝B.
3．两个集合A，B的并集可用Venn图表示为如图(1)或图(2)中的阴影表示：.
[答一答]
3．若A∪B＝A，则A与B有什么关系？
提示：若A∪B＝A，则B?A.
4．A∪B的元素等于A的元素的个数与B的元素的个数的和吗？
提示：不一定，用Venn图表示A∪B如下：
当A与B有相同的元素时，根据集合元素的互异性，重复的元素在并集中只能出现一次，如上图②③④中，A∪B的元素个数都小于A与B的元素个数的和.
类型一
两个集合的交集的运算
[例1] (1)已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B等于( )
A．{2}
B．{4}
C．{0,2,4,6,8,16}
D．{2,4}
(2)设集合A＝[－1,2]，B＝[0,4]，则A∩B等于( )
A．[0,2]
B．[1,2]
C．[0,4]
D．[1,4]
[解析] (1)观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以A∩B＝{2,4}．
(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．
则由交集的定义可得A∩B＝[0,2]．
[答案] (1)D (2)A
求集合交集的思路
?1?识别集合：点集或数集.
?2?化简集合：明确集合中的元素.
?3?求交集：元素个数有限，利用定义或Venn图求解；元素个数无限，借助数轴求解.
[变式训练1] (1)若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝( A )
A．{x|－2B．{x|－2C．{x|－1D．{x|1解析：将集合A，B表示在数轴上，如下图所示．
A∩B＝{x|－23}＝{x|－2(2)已知集合M＝{x∈N|x<3}，N＝{0,2,4}，则集合M∩N中元素的个数为2.
解析：依题意知M＝{0,1,2}，又N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}，即M∩N中元素的个数为2.
类型二
两个集合的并集的运算
[例2] (1)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B＝( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{1,2}
D．{0}
(2)已知A＝{x|x≤－2，或x>5}，B＝{x|1[解析] (1)由并集的含义得：A∪B＝{0,1,2,3,4}．答案为A.
(2)解：将x≤－2或x>5及1∴A∪B＝{x|x≤－2，或x>1}．
[答案] (1)A (2)见解析
解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点值不在集合中时，应用“空心点”表示.
[变式训练2] 设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝( D )
A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}
解析：M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.
类型三
交集、并集的运算性质及应用
[例3] 已知集合A＝{x|a－45}．
(1)当a＝1时，求A∩B与A∪B；
(2)若A∪B＝R，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，A＝{x|－3所以A∩B＝{x|－35}＝{x|－3A∪B＝{x|－35}
＝{x|x<5或x>5}．
(2)如图．
因为A∪B＝R，所以，所以1即a的取值范围是1?1?若集合是有限集，常用定义法和Venn图法求解.求解时，一般先把集合中的元素一一列举出来，然后结合集合交集、并集的定义分别求出.
?2?若集合是无限集，常借助数轴求解，求解时，一般先把集合分别表示在数轴上，然后利用交集、并集的定义求解，这样处理比较形象直观.,在数轴上分析问题时应特别注意端点处是“实心”还是“空心”，即等号取还是不取.
[变式训练3] 集合A＝{x|－1(1)若A∩B＝?，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围．
解：(1)如图所示，A＝{x|－1(2)如图所示，A＝{x|－11．设集合M＝{m∈Z|－3A．{0,1}
B．{－1,0,1}
C．{0,1,2}
D．{－1,0,1,2}
解析：M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，
∴M∩N＝{－1,0,1}，故选B.
2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( A )
A．{2}
B．{3}
C．{－3,2}
D．{－2,3}
解析：注意到集合A中的元素均为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．
3．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝( A )
A．{x|x<－5或x>－3}
B．{x|－5C．{x|－3D．{x|x<－3或x>5}
解析：在数轴上表示集合M，N(图略)，可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．故选A.
4．(2019·江苏卷)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝(0，＋∞)，则A∩B＝{1,6}．
解析：由题知，A∩B＝{1,6}．
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-第2课时 全集与补集
[课程目标]
1.在具体情境中，了解补集和全集的含义；2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；3.理解补集思想在解题中的应用；4.掌握集合交集、并集、补集的综合运算．
知识点
补集
[填一填]
1．全集的定义
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示．
2．补集的定义
如果给定集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，叫做A在U中的补集，记作：?UA，读作“A在U中的补集”，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．
3．补集与全集的性质
(1)?U(?UA)＝A；
(2)A∪(?UA)＝U；
(3)A∩(?UA)＝?.
[答一答]
1．用Venn图如何表示A在U中的补集？
提示：如图阴影部分．
2．研究某个集合的补集时，该集合和全集之间是什么关系？
提示：该集合必须是全集的一个子集．
3．全集包含任何一个元素吗？?AC与?BC相等吗？
提示：全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素．
不一定．若A＝B，则?AC＝?BC，否则不相等．
类型一
集合的补集运算
[例1] (1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{x|3≤x≤7，x∈N}，则?UA＝( )
A．{1,2}
B．{3,4,5,6,7}
C．{1,3,4,7}
D．{1,4,7}
(2)已知U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则?UA＝( )
A．{x|－2B．{x|x<－2或x>2}
C．{x|－2≤x≤2}
D．{x|x≤－2或x≥2}
[解析] (1)∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{x|3≤x≤7，x∈N}＝{3,4,5,6,7}，∴?UA＝{1,2}．
(2)将集合A表示在数轴上，如下图所示．
?UA＝{x|－2≤x≤2}．
[答案] (1)A (2)C
?1?基本方法：定义法.
?2?两种处理技巧
①当集合用列举法表示时，直接利用定义或借助Venn图求解.
②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助于数轴，利用数轴分析法求解.
[变式训练1] (1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，则集合B＝( D )
A．{2,3,5}
B．{3,5,7}
C．{2,3,7}
D．{2,3,5,7}
解析：解法1：∵A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，
又?UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
解法2：借助Venn图，如图所示，
由图可知B＝{2,3,5,7}．
(2)已知全集U＝(－∞，5)，集合A＝[－3,5)，则?UA＝{x|x<－3}．
解析：将集合U和集合A分别表示在数轴上，如下图所示．由补集定义可得?UA＝(－∞，－3)．
类型二
集合的交、并、补集综合运算
[例2] (1)设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，则?U(A∪B)＝________，?U(A∩B)＝________.
(2)设全集U＝R，集合A＝(－1,2)，集合B＝(1,3)，求A∩B，A∪B，?U(A∩B)，?U(A∪B)．
[解析] (1)∵A∪B＝{1,2,3,4,5,6}，
∴?U(A∪B)＝{7,8}．
∵A∩B＝{3}，∴?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7,8}．
(2)解：集合A，B在数轴上表示如图所示．
A∩B＝(－1,2)∩(1,3)＝(1,2)；
A∪B＝(－1,2)∪(1,3)＝(－1,3)；
?U(A∩B)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)；
?U(A∪B)＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
[答案] (1){7,8} {1,2,4,5,6,7,8} (2)见解析
?1?如果所给集合是有限集，则可先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解.在解答过程中常常借助Venn图来求解.这样处理，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错.
?2?如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.
[变式训练2] (1)设集合U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则?U(A∩B)＝( B )
A．{0,2,3}
B．{0,1,4,5}
C．{0,4,5}
D．{0,1,5}
解析：因为A∩B＝{2,3}，
所以?U(A∩B)＝{0,1,4,5}．
(2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝(－2,3)，B＝[－3,2]，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)，?U(A∪B)．
解：如图所示．
∵A＝(－2,3)，B＝[－3,2]，U＝(－∞，4]，
∴?UA＝(－∞，－2]∪[3,4]，?UB＝(－∞，－3)∪(2,4]，A∪B＝[－3,3)．
∴A∩B＝(－2,2]，(?UA)∪B＝(－∞，2]∪[3,4]，
A∩(?UB)＝(2,3)，?U(A∪B)＝(－∞，－3)∪[3,4]．
类型三
补集中的含参问题
[例3] 已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，且A?(?UB)，求实数a的取值范围．
[解] 若B＝?，则a＋1>2a－1，a<2，
此时?UB＝R，∴A?(?UB)；
若B≠?，则a＋1≤2a－1，即a≥2.
此时?UB＝{x|x2a－1}．
由于A?(?UB)，
则a＋1>5或2a－1<－2，∴a>4或a<－(舍去)．
综上，实数a的取值范围为a<2或a>4.
1.由集合补集求有关参数问题的思路流程：
2．含参数问题一般要用到分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想来解决．
[变式训练3] 已知全集U＝{1,2,3,4,5}．A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，且(?UA)∪B＝{1,3,4,5}，求m＋n的值．
解：∵U＝{1,2,3,4,5}，(?UA)∪B＝{1,3,4,5}，
∴2∈A，又A＝{x|x2－5x＋m＝0}，
∴2是关于x的方程x2－5x＋m＝0的一个根，
得m＝6且A＝{2,3}，∴?UA＝{1,4,5}，
而(?UA)∪B＝{1,3,4,5}，
∴3∈B，又B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，
∴3一定是关于x的方程x2＋nx＋12＝0的一个根，
∴n＝－7且B＝{3,4}，∴m＋n＝－1.
类型四
补集思想的应用
[例4] 已知关于x的方程x2－2x－(m－2)＝0与x2＋mx＋m2＋m＋2＝0，若这两个方程至少有一个方程有实数解，求实数m的取值范围．
[解] 如果两个方程都没有实数解，
则解得
即当－2在实数范围内，全集为实数集R，取补集有m≤－2或m≥1，即当m≤－2或m≥1时，两个方程至少有一个方程有实数解．
?1?补集的思想就是“正难则反”的思想，是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决.,其思路为：已知全集U，求子集A，可先求?UA，再由?U??UA?＝A求A.
?2?常见问题：当题目条件中含有“至少”“至多”等词语且包含的情况较多时，为了避免分类讨论，我们就可利用补集思想来求解，即从问题的对立面出发进行求解，最后取相应集合的补集即可.
[变式训练4] 已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x＋2＝0，a∈R}，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
解：解法1：由题意可知，当a＝0或a≥时，A中至多有一个元素．
解法2(补集思想)：“至多有一个元素”的反面是“有两个元素”．集合A中有两个元素，即方程ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实根，则有解得a<且a≠0，在实数范围内，全集为实数集R，取补集有a≥或a＝0.所以a的取值范围是.
1．(2019·浙江卷)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(?UA)∩B＝( A )
A．{－1}
B．{0,1}
C．{－1,2,3}
D．{－1,0,1,3}
解析：?UA＝{－1,3}，则(?UA)∩B＝{－1}．
2．设全集为R，集合A＝(0,2)，B＝[1，＋∞)，则A∩(?RB)＝( B )
A．(0,1]
B．(0,1)
C．[1,2)
D．(0,2)
解析：全集为R，B＝[1，＋∞)，则?RB＝(－∞，1)．
∵集合A＝(0,2)，∴A∩(?RB)＝(0,1)．
3．有下列命题：
①若A∩B＝U，则A＝B＝U；
②若A∪B＝?，则A＝B＝?；
③若A∪B＝U，则(?UA)∩(?UB)＝?；
④若A∩B＝?，则A＝B＝?；
⑤若A∩B＝?，则(?UA)∪(?UB)＝U；
⑥若A∪B＝U，则A＝B＝U.
其中不正确的有( B )
A．0个
B．2个
C．4个
D．6个
解析：①若集合A，B中有一个为U的真子集，那么A∩B≠U，所以A＝B＝U；②若集合A，B中有一个不为空集，那么A∪B≠?，所以A＝B＝?；③因为(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，而A∪B＝U，所以(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝?；④当集合A，B中只要有一个为空集或两个集合中没有共同的元素，就有A∩B＝?，所以不一定有A＝B＝?；⑤因为(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)，而A∩B＝?，所以(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)＝U；⑥当A∪B＝U时，有可能A＝?，B＝U，所以不一定有A＝B＝U.所以不正确的为④⑥，共2个．
4．设全集U＝{3,1，a2－2a＋1}，集合A＝{1,3}，?UA＝{0}，则a的值为1.
解析：由题意知0∈U，∴a2－2a＋1＝0，∴a＝1.
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-1．2 常用逻辑用语
1．2.1 命题与量词
第1课时 命题
[课程目标]
1.了解命题的概念，判断一个语句是否是命题；2.会判断命题的真假；3.正确理解命题的结构，分清条件和结论．
知识点一 命题
[填一填]
(1)命题的定义
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
(2)命题的分类
命题分为真命题和假命题．
(3)命题的表示
一个命题，一般可以用一个小写英文字母表示．例如：p，q，r，….
(4)命题的结构
命题的一般形式为：“若p，则q”．
[答一答]
1．对命题定义的理解应注意什么问题？
提示：(1)并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的陈述语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
(2)有些命题尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
知识点二 命题的真假
[填一填]
真、假命题定义
判断为真的命题是真命题；判断为假的命题是假命题．
[答一答]
2．如何判断一个命题的真假？
提示：(1)数学中的定义、公理、定理、性质、公式等都是真命题．
(2)判断一个命题为真，需要经过证明；判断一个命题为假，只需举出一个反例即可．
类型一 命题的判断
[例1] 给出下列语句
，其中不是命题的有________．
①是无限循环小数；
②x2－3x＋3＝0；
③当x＝4时，2x>0；
④未来是多么美好啊！
⑤一个数不是合数就是素数.
[解析] ②不是命题，因为语句中含有变量x，在没有给x赋值前，无法判断x2－3x＋2＝0的真假.
④是感叹句，不能判断真假，不是命题．故填②④.
[答案] ②④
判断一个语句是不是命题，首先看它是不是陈述句，其次看能否判断真假，只有既是陈述句，又能判断真假的语句才是命题，否则就不是命题.
[变式训练1] 下列语句中命题的个数为( A )
①空集是任何集合的真子集；
②x2－3x－4＝0；
③3x－2>0；
④把门关上！
⑤等边三角形是等腰三角形吗？
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：①是能判断出真假的陈述句，是命题．
②③是开语句，不是命题．
④是祈使句，不是命题．
⑤是疑问句，不是命题．
故只有①是命题，应选A.
类型二 命题真假的判断
[例2] 判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假性，并说明理由．
(1)地球是一个很大的行星；
(2)求证：x∈R，不等式x2＋x＋1>0的解集为R；
(3)空集是任何集合的子集；
(4)甲型H7N9流感是怎样传染的？
(5)人类在2020年登上火星．
[解] (1)不是命题，地球是不是一个很大的行星，没有一定的标准．
(2)祈使句，不是命题．
(3)是命题，且是真命题．
(4)疑问句无法判断真假，不是命题．
(5)这是一种特殊的陈述句，但是目前为止无法判断真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它的真假，所以也是命题．
如何判断命题的真假？?经过推理论证成立的为真命题，只要能举出一个反例的就是假命题.
[变式训练2] 试判断下列语句哪些是命题，并判断其真假．
(1)平行于同一条直线的两条直线平行吗？
(2)一个数的平方根有两个，它们互为相反数；
(3)若x，y是无理数，则x＋y是无理数；
(4)读完试卷后，请完成前面3道题．
解：(1)不是命题，因为它是一般疑问句；
(2)是命题，且是假命题，因为0的平方根只有一个0，负数没有平方根；
(3)是命题，且是假命题，反例：x＝1＋，y＝3－时，x＋y＝1＋＋3－＝4是有理数；
(4)不是命题，因为它是一个祈使句．
类型三 命题的结构
[例3] 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；
(2)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；
(3)当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1.
[解] (1)若m>，则mx2－x＋1＝0无实根，真命题．
(2)若abc＝0,
则a＝0或b＝0或c＝0，真命题．
(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1，真命题．
数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式.
[变式训练3] 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)实数的平方是非负数．
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．
(3)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
解：(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数．真命题．
(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．假命题．
(3)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等．真命题．
1．下列语句中不是命题的是( D )
A．台湾是中国的领土
B．两军相逢勇者胜
C．上海是中国最大的城市
D．连接A、B两点
解析：D是描述性语句，不能判断真假．
2．下列命题中真命题的个数为( A )
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则a＋c>b＋c；
④矩形的对角线互相垂直．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：“面积相等”不一定“两个三角形全等”，故①错误；
当x＝0，y≠0时，xy＝0，而|x|＋|y|≠0，故②错误；
矩形的对角线相等，但不一定垂直，故④错误；
由不等式的性质得，若a>b，则a＋c>b＋c，故③对，故选A.
3．命题“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”，条件：一个方程是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，结论：它有两个不相等的实数根．是假命题．
解析：题意即“对任意一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，它都有两个不相等的实数根”．
4．把下列命题改为“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
(1)相切两圆的连心线过切点；
(2)在平面中，没有公共点的两条直线平行；
(3)函数y＝2x－b是增函数；
(4)已知二次函数y＝x2＋bx＋c，如果当x＝t时，y<0，那么方程x2＋bx＋c＝0有一个根小于t，另一个根大于t.
解：(1)若一条直线经过相切两圆的圆心，则它也经过这两圆的切点；真命题．
(2)在平面中，若两条直线没有公共点，则这两条直线平行；真命题．
(3)若一个函数是y＝2x－b，则这个函数是增函数；真命题．
(4)“如果，那么”的形式就是“若，则”的形式，即已知二次函数y＝x2＋bx＋c，若当x＝t时，y<0，则方程x2＋bx＋c＝0有一个根小于t，另一个根大于t；真命题．
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-第2课时 量词
[课程目标]
1.通过生活和教学中的实例，理解全称量词和存在量词；2.理解全称量词命题和存在量词命题；3.能判定全称量词命题和存在量词命题的真假.
知识点一 全称量词与全称量词命题
[填一填]
(1)全称量词的定义
一般地，短语“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词．
(2)常见的全称量词
“所有”“一切”“每一个”“任意一个”等，均表示所述事物的全体．
(3)全称量词的记法
全称量词用符号“?”表示．
(4)全称量词命题的定义
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．也可以理解为陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题．
(5)全称量词命题的形式
一般地，设r(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x，r(x)”的命题．用符号简记为?x∈M，r(x)．
[答一答]
1．怎样判断一个全称量词命题的真假？
提示：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素x验证p(x)成立，一般用代数推理给出证明．要判断一个全称量词命题是假命题，只需举出一个反例(满足命题的条件，但不满足命题结论的例子)．例如：命题p：?x∈R，x2－4x≥0；当x＝1时，x2－4x＝－3，－3<0，故命题p为假命题．
知识点二 存在量词与存在量词命题
[填一填]
(1)存在量词的定义
短语“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词．
(2)常见的存在量词
常见的存在量词有“有一个”“有些”“至少有一个”“存在一个”“对某个”“有的”等．
(3)存在量词的记法
存在量词通常用符号“?”表示．
(4)存在量词命题的定义
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．也可理解为陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某性质的命题．
(5)存在量词命题的形式
一般地，设s(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x，s(x)”的命题，用符号简记为?x∈M，s(x)．
[答一答]
2．怎样判断一个存在量词命题的真假？
提示：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0使q(x0)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
类型一 全称量词命题和存在量词命题的判断
[例1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出全称量词或存在量词．
(1)所有同学都顺利通过了考试；
(2)圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径；
(3)有的整数是奇数；
(4)至少有一个三角形没有外接圆．
[解] (1)全称量词命题，“所有”；(2)全称量词命题，“任意”；(3)存在量词命题，“有的”；(4)存在量词命题，“至少有一个”．
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词是全称量词还是存在量词.
[变式训练1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．
(1)至少有一个素数不是奇数；
(2)实数的绝对值是正数．
解：命题(1)中含存在量词“至少有一个”，因而是存在量词命题；命题(2)中省略了全称量词“所有”，实际上是“所有实数的绝对值都是正数”，故是全称量词命题．
类型二 全称量词命题的真假判断
[例2] 判断下列全称量词命题的真假．
(1)?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(2)?x∈Z，都有x∈Q；
(3)?x∈R，x2＋2>0；
(4)?x∈N，x4≥1.
[解] (1)假命题．因为x＝是无理数，但x2＝2不是无理数，所以其为假命题．
(2)真命题．由有理数包括整数和分数，知命题为真命题．
(3)真命题．对?x∈R，有x2≥0，所以x2＋2≥2>0.
(4)假命题．由于x＝0∈N时，x4≥1不成立，所以“?x∈N，x4≥1”为假命题．
要判断一个全称量词命题“?x∈M，p?x?”是真命题，需要对限定集合中的每一个元素x证明p?x?成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p?x0?不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.所以，全称量词命题以反例否定.
[变式训练2] 用全称量词把下列语句写成全称量词命题，并判断真假．
(1)偶数是合数；
(2)三角形有外接圆；
(3)非负实数有两个偶次方根．
解：(1)所有的偶数都是合数．偶数都能被2整除，2是偶数，但不是合数，是假命题．
(2)任意三角形都有外接圆．真命题．
(3)所有的非负实数都有两个偶次方根，假命题．
类型三 存在量词命题的真假判断
[例3] 判断下列存在量词命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2x＋3＝0；
(2)存在两个相似三角形面积相等；
(3)有些整数只有两个正因数．
[解] (1)由于?x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此，使x2＋2x＋3＝0的实根x不存在，所以该命题为假命题．
(2)全等三角形一定相似，面积肯定相等，所以是真命题．
(3)由于存在整数3，只有两个正因数1和3，所以该命题为真命题．
对于存在量词命题的真假判定，要证明其为真命题只要找到一个限定集合中的x0，使q?x0?成立即可.欲证其假，可结合全称量词命题，利用它们之间互为正反面的关系来说明.
[变式训练3] 用存在量词将下列语句写成存在量词命题，并判断真假：
(1)素数也可以是偶数；
(2)不是每一个四边形都有外接圆．
解：(1)存在一个素数是偶数.2既是素数又是偶数，真命题．
(2)有的四边形没有外接圆．真命题．
1．“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”是( A )
A．全称量词命题
B．存在量词命题
C．不是命题
D．假命题
解析：题目条件中含有“任意”的意思，所以是全称量词命题．
2．在下列存在量词命题中假命题的个数是( A )
①有的实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有的菱形是正方形．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：因为三个命题都是真命题，所以假命题的个数为0.
3．给出下列四个命题：
①有理数是实数；
②有些平行四边形不是菱形；
③对任意x∈R，x2－2>0；
④有一个素数含有三个正因数．
以上命题为真命题的序号是①②.
解析：∵当x＝0时，x2－2＝－2<0，∴③是假命题．
∵任何素数只有1和它本身是它的正因数，∴④是假命题．
4．判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题，并用“?”或“?”符号表示．
(1)对任意实数x，x2＋2x＋5>0；
(2)存在整数x，x2＋1＝0；
(3)至少有一个整数，既是3的倍数，又是5的倍数；
(4)负数的平方是正数．
解：(1)全称量词命题，表示为?x∈R，x2＋2x＋5>0.
(2)存在量词命题，表示为?x∈Z，x2＋1＝0.
(3)存在量词命题，表示为?x∈Z，x既是3的倍数，又是5的倍数．
(4)全称量词命题，表示为?x<0，x2>0.
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2
-1．2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
[课程目标]
1.通过数学实例了解逻辑联结词“非”的含义；2.能正确地对含一个量词的命题进行否定；3.通过学习常用逻辑用语的基础知识，体会逻辑用语在表述和论证中的作用．
知识点一 命题“p”的否定
[填一填]
(1)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“綈p”，读作“非p”或“p的否定”．
(2)一般地如何由p的真假判断綈p的真假总结为下表：
[答一答]
1．如何从集合的角度理解“非”的概念？
提示：对“非”的理解，可联想集合中“补集”的概念．“非”有否定的意思，一个命题p经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非p”．p与“非p”的真假性相反，若将命题p对应集合P，则命题“非p”就对应集合P在全集U中的补集?UP.
综上可知：
设U为全集，集合A＝{x|x∈p(x)}，B＝{x|x∈q(x)}，则可有如下结论：
A∩B＝{x|p(x)且q(x)}＝{x|x∈A且x∈B}；
A∪B＝{x|p(x)或q(x)}＝{x|x∈A或x∈B}；
?UA＝{x|綈p(x)}＝{x∈U|綈(x∈A)}＝{x∈U|x?A}．
知识点二 全称量词命题和存在量词命题的否定
[填一填]
(1)全称量词命题q：?x∈M，q(x)，它的否定是綈q：?x∈M，綈q(x)．
(2)存在量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定是綈p：?x∈M，綈p(x)．
[答一答]
2．怎样对全称量词命题和存在量词命题进行否定？
提示：(1)否定存在量词命题时，将存在量词变为全称量词，再否定它的性质．
(2)否定全称量词命题时，先将全称量词变为存在量词，再否定它的性质．
(3)一般而言，存在量词命题的否定是一个全称量词命题，全称量词命题的否定是一个存在量词命题，因此在书写它们的否定时，应注意量词间的转换，同时还要注意原命题中是否有省略的量词，要理解原命题的本质．例如“矩形有一个外接圆”的本质应为“所有矩形都有一个外接圆．”这是为了语言的简练，把“所有”省略了．
类型一 命题的否定
[例1] 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点；
(2)q：50是7的倍数；
(3)r：一元二次方程至多有两个解；
(4)s：7<8.
[解] (1)綈p：直角三角形外接圆圆心不是斜边中点．(假)
(2)綈q：50不是7的倍数．(真)
(3)綈r：一元二次方程至少有三个解．(假)
(4)綈s：7≥8.(假)
解决此类问题要依据命题的否定形式进行否定.注意：常用词语的否定词语不能写错.
[变式训练1] 写出下列各命题的“非”(否定)：
(1)p?100既能被4整除，又能被5整除．
(2)q?三条直线两两相交．
(3)t?2解：(1)綈p?100不能被4整除，或不能被5整除．
(2)綈q?三条直线不都两两相交．
(3)綈t?x≤2或x>3.
类型二 全称量词命题和存在量词命题的否定
[例2] 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)每条直线在y轴上都有一个截距；
(2)每个二次函数的图像都与x轴相交；
(3)存在一个三角形，它的内角和小于180°.
[解] (1)因为与y轴平行的直线在y轴上没有截距，所以此命题是假命题．命题的否定是：存在直线在y轴上没有截距．
(2)因为对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ<0时，函数图像与x轴无交点，所以，此命题是假命题．命题的否定是：存在二次函数的图像与x轴不相交．
(3)因为任何三角形内角和都等于180°，所以此命题为假命题．命题的否定是：任何三角形的内角和不小于180°.
一般地，全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.
[变式训练2] 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：存在一个实数，使得|x|≤0；
(3)r：等圆的面积相等，周长也相等；
(4)s：能被4整除的整数一定是偶数．
解：(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是綈p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．
注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程没有实数根，∴綈p是真命题．
(2)这一命题的否定形式是綈q：“对所有实数x，都有|x|>0”．当x＝0时可以证得綈q是一个假命题．
(3)这一命题的否定形式是綈r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”．由平面几何知识知綈r是一个假命题．
(4)这一命题的否定形式是綈s：“存在一个整数能被4整除但不是偶数”．∵命题s是真命题，∴綈s是假命题．
1．a2＋b2≠0的含义是( B )
A．a，b全不为0
B．a，b不全为0
C．a，b至少有一个为0
D．a不为0且b为0或b不为0且a为0
解析：a2＋b2≠0，则a，b不同时为0即可．
2．已知p：x∈A∩B，则綈p是( B )
A．x∈A且x?B
B．x?A或x?B
C．x?A且x?B
D．x∈A∪B
解析：p等价于x∈A且x∈B，所以綈p为x?A或x?B.
3．“?m，n∈Z，m2＝n2＋1
998”的否定是( C )
A．?m，n∈Z，m2＝n2＋1
998
B．?m，n∈Z，m2≠n2＋1
998
C．?m，n∈Z，m2≠n2＋1
998
D．以上都不对
解析：这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，形式是：?m，n∈Z，m2≠n2＋1
998.
4．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是?x∈R，x2＋2x＋5≠0.
解析：该题考查命题的否定．注意存在量词命题的否定是全称量词命题．
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-1．2.3 充分条件、必要条件
[课程目标]
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念；2.会判断所给条件是充分条件、必要条件还是充要条件．
知识点一 推出符号“?”
[填一填]
(1)命题的条件和结论
“如果p，则(那么)q”形式的命题，其中称为命题的条件，称为命题的结论．
(2)推出符号“?”的含义
当命题“如果p，则q”是真命题时，就说由可以推出.记作p?q，读作“p推出q”．
[答一答]
1．如何理解“?”的含义？
提示：(1)只有当一个命题是真命题时，才能使用“?”表示．
(2)符号“”的含义：当命题“如果p，则q”是假命题时，就说由p不能推出q.记作pq，读作“p不能推出q”．
(3)推出的传递性：若p?q且q?r，则p?r.
知识点二 充分条件、必要条件
[填一填]
如果由p可推出q，则称
是的充分条件或是
的必要条件．
[答一答]
2．怎样深入理解充分条件、必要条件的定义？
提示：(1)p是q的充分条件是指p成立就足够保证q成立；q是p的必要条件是指q是p成立必不可少的条件，q成立，p不一定成立，但q不成立，p一定不成立．
(2)若p则q是真命题，p?q，p是q的充分条件，q是p的必要条件三种说法是等价的．
(3)判定充分条件、必要条件只是对“p能推出q”进行了单向探讨，至于“q能否推出p”这需结合定义理解，判断“若q则p”的真假．
知识点三 充要条件
[填一填]
一般地，如果p?q，且?，则称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p?q，显然，也是
的充要条件．又常说成
当且仅当或p与q等价．
[答一答]
3．判断充要条件的步骤是怎样的？
提示：(1)确定条件是什么，结论是什么；(2)尝试从条件推结论，结论推条件；(3)确定条件是结论的什么条件．
类型一 充分条件、必要条件的判定
[例1] 给出下列四组命题：
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．
(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
试分别指出p是q的什么条件．
[解] (1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0；
而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0.
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵两个三角形相似?两个三角形全等；但两个三角形全等?两个三角形相似．∴p是q的必要不充分条件．
(3)∵m<－2?方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根m<－2.∴p是q的充分不必要条件．
(4)∵四边形是矩形?四边形的对角线相等；而四边形的对角线相等四边形是矩形，∴p是q的充分不必要条件．
?1?判断p是q的什么条件，主要判断p?q及q?p两命题的正确性，若p?q为真，则p是q成立的充分条件，若q?p为真，则p是q成立的必要条件.
?2?注意利用“成立的证明，不成立的举反例”的数学方法技巧来作出判断.
?3?关于充分条件的判断问题，当不易判断p?q真假时，也可从集合角度入手进行判断.
[变式训练1] 判断下列条件中，p与q中的哪个条件是另一个条件成立的充分条件．
(1)p：△ABC中，∠A＝∠B，q：△ABC是等腰三角形；
(2)p：集合M是集合N的真子集，q：集合M是集合N的子集；
(3)p：x>1，q：2x－1>5.
解：(1)在△ABC中，若∠A＝∠B，则必有△ABC是等腰三角形，反之，若△ABC是等腰三角形，则未必有∠A＝∠B
(因为可以是任意的两个角相等)，所以p?q，但q?p.因此p是q的充分条件，但q不是p的充分条件．
(2)若集合M是集合N的真子集，则集合M必是集合N的子集，即p?q，但是若集合M是集合N的子集，未必有集合M是集合N的真子集(可能还有M＝N)，即qp.因此p是q的充分条件，但q不是p的充分条件．
(3)q：x>3，pq，q?p，因此q是p的充分条件，但p不是q的充分条件．
类型二 充要条件的求解与证明
[例2] 求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．
[解] (1)当a＝0时，原方程化为2x＋1＝0，此时根为x＝－，满足条件．
(2)当a≠0时，因为方程的常数项为1不为0，f(0)＝1≠0，方程没有零根．
①若方程有两异号的实根x1，x2，则x1x2＝<0且Δ＝4－4a≥0，即a<0；
②若方程有两个负的实根x1、x2，则需满足
即
解得0综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤1.
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.
证明充要条件问题要注意以下几点：
?1?充分性、必要性分开，指明哪一部分是充分性，哪一部分是必要性，否则将会扣分.
?2?充分性与必要性错证，将充分性证成必要性，必要性证成充分性，这也会造成失分.
为了避免将充分性与必要性证反，证充分性时，从条件开始，证必要性时从结论开始.
[变式训练2] 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明：必要性：
∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)
＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
充分性：
∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，
又ab≠0，∴a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2＝(a－)2＋b2>0，
∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
1．p：x＝1或x＝2，q：x－1＝，则p是q的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为x＝1或x＝2?x－1＝，x－1＝
?x＝1或x＝2，所以，p是q的充要条件．故选C.
2．设p：－1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由－13．设集合M＝{x|0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为N?M，所以“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．故选B.
4．若“x>a”是“x>6”的必要条件，则实数a的取值范围是a≤6.
解析：依题意，“若x>6，则x>a”为真命题，故实数a的取值范围是a≤6.
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