3.5 确定圆的条件同步练习（含解析）
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3.5确定圆的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知⊙O的半径是5 cm，P是⊙O外一点，则OP的长可能是（ ）
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
2．如图，是的外接圆，则点是的（ ）．
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
3．在ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以A为圆心，以3为半径画圆，则点C与⊙A的位置关系是（ ）
A．在⊙A外 B．在⊙A上 C．在⊙A内 D．不能确定
4．从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）
A．AB、AC边上的高所在直线的交点
B．AB、AC边的垂直平分线的交点
C．AB、AC边上的中线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
5．已知直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，那么这个直角三角形外接圆的半径等于( )
A．1 B． C． D．5
6．如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
7．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．如图，中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点在直线上，若上，则点和外心之间的距离是（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
9．?ABC的三边长分别为6,8,10，则?ABC的外接圆的半径为 _______ .
10．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，5)、B(4，5)、C(6，3)，则此三角形外心（外接圆的圆心）的坐标是_______．
11．已知：，求作的外接圆，作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画弧，如图⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据是___________________．
12．如图，，等边三角形的两个顶点、分别在、上移动，，则的最大值是______
三、解答题
13．如图，已知．
（1）用直尺和圆规作出，使经过A，C两点，且圆心O在边上（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中，若，且的半径为1，试求出的长．
14．如图，CD是的直径，点A在DC的延长线上，AE交于点B，AB等于的半径，，求的度数．
15．如图，点在直线上，过点作，．为直线上一点，连结，在直线右侧取点，，且，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）连结，若点为的外心，则______．
16．如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.
参考答案
1．D
解析：
解：因为点在圆外，
所以：
故选D．
2．A
解析：
解：∵是的外接圆，∴点O是的三条边的垂直平分线的交点．
3．B
解析：
解：由勾股定理得：
∵AC=半径=3，
∴点C与⊙A的位置关系是：点C在⊙A上，
故选：B．
4．B
解析：
根据题意可知，所求的玻璃镜的圆心是外接圆的圆心，而外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，
故选：B．
5．C
解析：
解：解可得方程x2-7x+12=0得，
x1=3，x2=4，
∴斜边边长为5，
即直角三角形外接圆的直径是5，
∴半径等于2.5．
故选C.
6．D
解析：
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°?70°×2＝40°，
∵点O是△ABC的外心，
∴∠BOC＝40°×2＝80°，
故选：D．
7．D
解析：
解：如图，
以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．
故选D．
8．B
解析：
Rt的外心为斜边的中点，
如图，取的中点点O，
由题意可得：，
，，
AO=1，
OC=－1．
故选：B．
9．5
解析：
解：∵62＋82=102
∴?ABC是直角三角形，
∴?ABC的外接圆的半径=斜边=5
故答案为5.
10．(2，1)
解析：
解：设△ABC的外心为M，
∵A（0，5），B（4，5），C（6，3），
∴M必在直线x=2上，
由图知：AC的垂直平分线过（2，1），
故M（2，1）.
故答案为：（2，1）.
11．线段的垂直平分线的性质
解析：
解：如图，连接，
∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC=OB，
∴⊙O为的外接圆．
故答案为：线段的垂直平分线的性质．
12．
解析：
解：∵AB＝2为定线，∠XOY＝45°为定角，
∴当两个顶点A、B分别在OX、OY上移动时，即为点O在以AB为弦所含的圆周角为45°的弧上运动，
设A，B，O三点所在圆的圆心为M，
当O，M，C三点共线时，OC的值最大，
如图，连接AM，BM，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴OC垂直平分AB，
∵∠AOB＝45°，
∴∠AMB＝90°，
∵AB＝2，
∴AM＝，DM＝AD＝BD＝1，
∴OM＝，CD＝，
∴OC＝DM＋OM＋CD＝，
故答案为：．
13．（1）见解析；（2）2
解析：
解：（1）∵A、C在圆上且圆心O在边上
∴圆心O是AC的中垂线与AB的交点
故作出AC的中垂线，与AB的交点即为圆心O，再以OA为半径作圆即可.
如图所示：即为所求.
（2）连接CO
∵，
∴∠ACB=180°－∠CAB－∠B=90°
∵的半径为1
∴OA=OC=1
∴∠OCA=∠OAC=30°
∴∠OCB=∠ACB－∠OCA =60°
∴OB=OC=1
∴AB=OA＋OB=2
14．26°
解析：
解：∵AB等于的半径，
∴，
∴
∵
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．（1）见解析；（2）5；（3）3
解析：
解：（1）证明：，
，，
，
，
，
在和中，
；
（2）
，，
；
的长为．
（3）若点为的外心，则点位于斜边中点，又已知，故点与点重合，如图所示：
为等腰直角三角形
为等腰直角三角形
．
16．的最大值为.
解析：
连结，，
∵ ∴
∴为等边三角形，
∵点，分别是，的中点
∴，∵ 为的一条弦
∴最大值为直径14 ∴的最大值为.
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3.5确定圆的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知⊙O的半径是5 cm，P是⊙O外一点，则OP的长可能是（ ）
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
2．如图，是的外接圆，则点是的（ ）．
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
3．在ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以A为圆心，以3为半径画圆，则点C与⊙A的位置关系是（ ）
A．在⊙A外 B．在⊙A上 C．在⊙A内 D．不能确定
4．从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）
A．AB、AC边上的高所在直线的交点
B．AB、AC边的垂直平分线的交点
C．AB、AC边上的中线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
5．已知直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，那么这个直角三角形外接圆的半径等于( )
A．1 B． C． D．5
6．如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
7．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．如图，中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点在直线上，若上，则点和外心之间的距离是（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
9．?ABC的三边长分别为6,8,10，则?ABC的外接圆的半径为 _______ .
10．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，5)、B(4，5)、C(6，3)，则此三角形外心（外接圆的圆心）的坐标是_______．
11．已知：，求作的外接圆，作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画弧，如图⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据是___________________．
12．如图，，等边三角形的两个顶点、分别在、上移动，，则的最大值是______
三、解答题
13．如图，已知．
（1）用直尺和圆规作出，使经过A，C两点，且圆心O在边上（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中，若，且的半径为1，试求出的长．
14．如图，CD是的直径，点A在DC的延长线上，AE交于点B，AB等于的半径，，求的度数．
15．如图，点在直线上，过点作，．为直线上一点，连结，在直线右侧取点，，且，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）连结，若点为的外心，则______．
16．如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.
参考答案
1．D
解析：
解：因为点在圆外，
所以：
故选D．
2．A
解析：
解：∵是的外接圆，∴点O是的三条边的垂直平分线的交点．
3．B
解析：
解：由勾股定理得：
∵AC=半径=3，
∴点C与⊙A的位置关系是：点C在⊙A上，
故选：B．
4．B
解析：
根据题意可知，所求的玻璃镜的圆心是外接圆的圆心，而外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，
故选：B．
5．C
解析：
解：解可得方程x2-7x+12=0得，
x1=3，x2=4，
∴斜边边长为5，
即直角三角形外接圆的直径是5，
∴半径等于2.5．
故选C.
6．D
解析：
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°?70°×2＝40°，
∵点O是△ABC的外心，
∴∠BOC＝40°×2＝80°，
故选：D．
7．D
解析：
解：如图，
以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．
故选D．
8．B
解析：
Rt的外心为斜边的中点，
如图，取的中点点O，
由题意可得：，
，，
AO=1，
OC=－1．
故选：B．
9．5
解析：
解：∵62＋82=102
∴?ABC是直角三角形，
∴?ABC的外接圆的半径=斜边=5
故答案为5.
10．(2，1)
解析：
解：设△ABC的外心为M，
∵A（0，5），B（4，5），C（6，3），
∴M必在直线x=2上，
由图知：AC的垂直平分线过（2，1），
故M（2，1）.
故答案为：（2，1）.
11．线段的垂直平分线的性质
解析：
解：如图，连接，
∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC=OB，
∴⊙O为的外接圆．
故答案为：线段的垂直平分线的性质．
12．
解析：
解：∵AB＝2为定线，∠XOY＝45°为定角，
∴当两个顶点A、B分别在OX、OY上移动时，即为点O在以AB为弦所含的圆周角为45°的弧上运动，
设A，B，O三点所在圆的圆心为M，
当O，M，C三点共线时，OC的值最大，
如图，连接AM，BM，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴OC垂直平分AB，
∵∠AOB＝45°，
∴∠AMB＝90°，
∵AB＝2，
∴AM＝，DM＝AD＝BD＝1，
∴OM＝，CD＝，
∴OC＝DM＋OM＋CD＝，
故答案为：．
13．（1）见解析；（2）2
解析：
解：（1）∵A、C在圆上且圆心O在边上
∴圆心O是AC的中垂线与AB的交点
故作出AC的中垂线，与AB的交点即为圆心O，再以OA为半径作圆即可.
如图所示：即为所求.
（2）连接CO
∵，
∴∠ACB=180°－∠CAB－∠B=90°
∵的半径为1
∴OA=OC=1
∴∠OCA=∠OAC=30°
∴∠OCB=∠ACB－∠OCA =60°
∴OB=OC=1
∴AB=OA＋OB=2
14．26°
解析：
解：∵AB等于的半径，
∴，
∴
∵
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．（1）见解析；（2）5；（3）3
解析：
解：（1）证明：，
，，
，
，
，
在和中，
；
（2）
，，
；
的长为．
（3）若点为的外心，则点位于斜边中点，又已知，故点与点重合，如图所示：
为等腰直角三角形
为等腰直角三角形
．
16．的最大值为.
解析：
连结，，
∵ ∴
∴为等边三角形，
∵点，分别是，的中点
∴，∵ 为的一条弦
∴最大值为直径14 ∴的最大值为.
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