(共32张PPT)
8.1.1 向量数量积的概念
课标阐释
1.理解向量数量积的含义及其物理意义.
2.知道向量的投影与向量数量积的几何意义.
3.掌握数量积的定义及运算性质,并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
在物理学中,我们知道,一个物体受到力的作用,如果在力的方向上发生一段位移,我们就说这个力对物体做了功.如果力的方向和物体运动的方向相同,功就等于力的大小和位移大小的乘积.而当力的方向与物体运动的方向成θ角时,其与位移方向平行的分力F1满足|F1|=|F|cos
θ,物体在F1的方向上产生了位移s,因此F对物体做的功W=|F||s|cos
θ.在这个公式中,当θ为锐角时,W>0,称力对物体做了正功;当θ为钝角时,W<0,称力对物体做了负功.也就是说W是一个数量,我们称W为F与s的数量积(也称内积).物体运动时,本节我们从物体的受力做功入手,学习两个向量的数量积.
激趣诱思
知识点拨
知识点一:两个向量的夹角
激趣诱思
知识点拨
名师点析
两向量的方向与夹角关系
除了两非零向量夹角的一般情况,特殊地,当
=0时,a与b同向;当=π时,a与b反向;当=
或a与b中至少有一个是零向量时,a⊥b.
激趣诱思
知识点拨
微练习
作出向量a与b的夹角:
激趣诱思
知识点拨
知识点二:向量数量积的定义
1.一般地,当a与b都是非零向量时,称|a||b|cos为向量a与b的数量积(也称为内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos.由定义可知,两个非零向量a与b的数量积是一个实数,这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同.
2.数量积的性质
如果a,b都是非零向量,向量的数量积有如下性质.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)向量a,b的数量积只能表示为a·b,不能表示为a×b或ab.
(2)由定义可知,两个非零向量a与b的数量积是一个实数,a·b的符号由cos决定,即由的大小决定.也就是说,两个非零向量的数量积可以是正数,可以是零,还可以是负数.这与向量的加法、减法以及数乘向量的结果仍是一个向量不同.
(3)在运用数量积公式解题时,一定要注意两向量夹角的范围是[0,π].
激趣诱思
知识点拨
微思考
向量的数量积a·b什么时候为正,什么时候为负,什么时候为零?
提示当0°≤<90°时,a·b为正;当90°<≤180°时,a·b为负;当=90°时,a·b为零.
微练习
若|a|=3,|b|=4,a∥b,则a·b= .?
答案±12
激趣诱思
知识点拨
知识点三:向量的投影与向量数量积的几何意义
1.如图所示,
激趣诱思
知识点拨
2.给定平面上的一个非零向量b,设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影,如图所示.
激趣诱思
知识点拨
3.一般地,如果a,b都是非零向量,则称|a|cos为向量a在向量b上的投影的数量.
(1)两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积,这就是两个向量数量积的几何意义.
(2)当e为单位向量时,因为|e|=1,所以a·e=|a|cos,即任意向量与单位向量的数量积,等于这个向量在单位向量e上的投影的数量.
名师点析
(1)如果a,b都是非零向量,则b在a方向上的投影的数量可以记为|b|cos,也可记为
a在b方向上的投影的数量与b在a方向上的投影的数量是不一样的.
(2)投影是数量而不是长度,它的正负与两向量的夹角有关.
激趣诱思
知识点拨
微思考
一个向量在一个非零向量上的投影,与这个非零向量共线吗?若共线,它们的方向相同还是相反?
提示一个向量在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量共线,但它们既有可能方向相同,也有可能方向相反.
微练习
已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,则向量a在向量b上的投影的数量等于( )
A.-4 B.4
答案A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
与向量数量积有关命题的判断
例1已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中正确命题的个数为( )
①|a·b|=|a||b|?a∥b;②a,b反向?a·b=-|a||b|;③a⊥b?|a+b|=|a-b|;④|a|=|b|?|a·c|=|b·c|.
A.1
B.2
C.3
D.4
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析①中因为a·b=|a||b|cos
θ,所以由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos
θ|=1,所以θ=0或π,所以a∥b,且以上各步均可逆,故命题①是真命题;②中若a,b反向,则a,b的夹角为π,所以a·b=|a||b|cos
π=-|a||b|,且以上各步均可逆,故命题②是真命题;③中当a⊥b时,将向量a,b的起点确定在同一点,以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b,因此命题③是真命题;④中当|a|=|b|,如果a与c的夹角和b与c的夹角不等时,则|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命题④是假命题.
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
两向量夹角的关注点
两向量方向相同时,夹角为0(或0°);而反向时,夹角为π(或180°);两向量垂直时,夹角为
(或90°),因此当两向量共线时,夹角为0或π,反过来,若两向量的夹角为0或π,则两向量共线.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1设a,b,c是三个向量,有下列命题:
①若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;
②若a·b=0,则a=0或b=0;
③a·0=0.
其中正确的有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析①中,a·b-a·c=a·(b-c)=0,又a≠0,则b=c或a⊥(b-c),即①不正确;②中,a·b=0?a⊥b或a=0或b=0,即②不正确;③中,a·0=0,即③不正确.
答案A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求向量的投影的数量或数量积
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.求向量数量积的步骤
(1)求向量a与b的夹角θ,θ∈[0,π].
(2)分别求|a|和|b|.
(3)求数量积,即a·b=|a||b|cos
θ.
2.求投影的数量的两种方法
(1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos,向量a在b方向上的投影的数量为|a|cos.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量数量积的性质及应用
分析(1)根据向量加法的三角形法则变形,利用向量垂直的几何意义判断垂直关系.
(2)利用向量数量积的公式求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)解析如图,连接AC,BD,
则由题意可知,EF∥AC,GH∥AC,
所以EF∥GH,同样,GF∥BD,EH∥BD,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
用数形结合法求向量的夹角
求两向量的夹角时,有时也会将两向量移到同一起点,将其放在三角形或四边形中,这时要准确确定两向量的方向,正确地找出夹角,并结合图形利用平面几何性质求出夹角.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例
已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求.
方法点睛
熟练应用数形结合思想,恰当运用向量的几何意义是解决此类问题的有效方法.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则是( )
解析如图所示,在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中,
∵|a+b|=|a-b|,
∴四边形ABCD为矩形.在Rt△ABD中,|a-b|=2|a|,
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.设e1,e2是两个平行的单位向量,则下面的结果正确的是( )
A.e1·e2=1
B.e1·e2=-1
C.|e1·e2|=1
D.|e1·e2|<1
解析设e1与e2的夹角为θ,由题意知θ=0或π,则e1·e2=|e1||e2|cos
θ=±1.所以|e1·e2|=1.
答案C
A.3
B.6
C.9
D.12
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知|a|=3,|b|=4,且=60°,则a在b方向上投影的数量为 .?
4.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角为 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案-2 2(共27张PPT)
8.1.2 向量数量积的运算律
课标阐释
1.掌握向量数量积的运算律,并要注意运算律的适用范围以及与实数乘法运算律的区别.
2.会应用运算律进行相关的计算或证明等问题.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
没有规矩不成方圆,国家法律保障每个公民的权利不受侵害,校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见,世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存.初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律,那么向量的数量积又满足哪些运算律呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点:向量数量积的运算律
已知向量a,b,c与实数λ,则
交换律
a·b=b·a
?
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
分配律
(a+b)·c=a·c+b·c
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0.但是在向量数量积的运算中,不能由a·b=0推出a=0或b=0.事实上,当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量,这是因为对任意一个与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.实际上,由a·b=0可推出以下四种结论:①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但a⊥b.
(2)已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc?a=c.但对于
向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c
a=c,
因为a·b=b·c(b≠0)表示向量c,a在向量b方向上的
投影的数量相等,并不能说明a=c.如图所示,
虽然a·b=b·c,但a≠c.
(3)对于实数a,b,c,有(a·b)c=a(b·c).但对于向量a,b,c,(a·b)c=a(b·c)未必成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)未必成立.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知|a|=2,|b|=5,=120°,求(2a-b)·a.
答案13
微判断
(1)(a·b)·c=a·(b·c).( )
(2)若a⊥b,则a·b=0.( )
(3)若a∥b,则a·b>0.( )
(4)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).( )
答案(1)× (2)× (3)× (4)√
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量数量积的计算
例1已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°,求:
(1)e1·e2;(2)(2e1-e2)·(-3e1+2e2);(3)(e1+e2)2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
求向量的数量积时,常用到的结论
(1)a2=|a|2;
(2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R,类似于多项式的乘法法则;
(3)(a+b)2=a2+2a·b+b2;
(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.
同时还要注意几何性质的应用,将向量适当转化,转化的目的是用上已知条件.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量的夹角和垂直问题
例2已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )
分析利用夹角公式计算.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,
所以(a-b)·b=a·b-b2=0,
所以a·b=b2,
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究若将本例条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”,试求a与b夹角的余弦值.
解设a与b夹角为θ,因为|a|=3|b|,
所以|a|2=9|b|2.
又|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b
=|a|2+4|b|2+4|a||b|cos
θ
=13|b|2+12|b|2cos
θ,
即9|b|2=13|b|2+12|b|2cos
θ,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析利用向量垂直的充要条件求参数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析由4|m|=3|n|,
可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),
又n⊥(tm+n),
所以n·(tm+n)=n·tm+n·n
=t|m||n|cos
θ+|n|2
所以t=-4.
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.两个向量的夹角与其数量积的关系
(1)向量a,b夹角为锐角的等价条件是a·b>0,且a与b不同向共线.
(2)a,b夹角为钝角的等价条件是a·b<0,且a与b不反向共线.
(3)a与b垂直的等价条件是a·b=0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量在几何中的应用
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
向量数量积在平面几何应用中的解题策略
(1)利用运算律结合图形先化简再运算.
(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2如图,半圆的直径AB=4,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则
的最小值等于( )
A.2
B.0
C.-1
D.-2
答案D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
平方转化法求向量的模
典例
已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为
,求|a+b|,|a-b|.
提示一先利用|a+b|2=(a+b)2,|a-b|2=(a-b)2求出后再开方.
提示二利用向量加法的平行四边形法则,a+b,a-b分别是平行四边形的对角线对应的向量,利用向量的几何意义在三角形中求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
求向量的模的常见解法有两种,一种是利用a2=|a|2求解,特别注意不要忘记开方.另一种是把向量求模问题转化到平面几何中的长度计算上来.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.已知|a|=2,b是单位向量,且a与b夹角为60°,则a·(a-b)等于( )
解析a·(a-b)=a2-a·b=4-2×1×cos
60°=3.
答案C
2.已知a,b是非零向量,且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则=( )
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= .?
答案-16
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.已知两单位向量a与b的夹角为120°.若c=2a-b,d=3b-a,求c与d的夹角的余弦值.(共25张PPT)
8.1.3 向量数量积的坐标运算
课标阐释
1.掌握向量数量积的坐标表示,会进行向量数量积的坐标运算.
2.能利用向量数量积的坐标运算解决有关长度、角度、垂直等相关问题.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
“我知道,我一直有双隐形的翅膀,带我飞,飞过绝望.不去想他们拥有美丽的太阳,我看见每天的夕阳也会有变化,我知道,我一直有双隐形的翅膀,带我飞,给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢?本节课我们来学习平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示,它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”,从而可以使几何问题数量化,把定性研究推向定量研究.
激趣诱思
知识点拨
知识点:向量数量积的坐标表示
1.由向量坐标的定义可知,存在单位正交基底{e1,e2},使得a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,因此a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2e1·e1+x1y2e1·e2+y1x2e2·e1+y1y2e2·e2=x1x2+y1y2,从而a·b=x1x2+y1y2.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)公式a·b=|a||b|cos与a·b=x1x2+y1y2都是求两向量的数量积,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角,则可直接利用公式a·b=|a||b|cos求解;若已知两向量的坐标,则可选用公式a·b=x1x2+y1y2求解.
激趣诱思
知识点拨
微思考
向量数量积的坐标表示公式有什么特点?应用时应注意什么?
提示公式的特点是对应坐标相乘后再求和,在解题时要注意坐标的顺序.
微练习
已知a=(3,-1),b=(1,-2),求a·b,|a|,|b|,.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量数量积的坐标运算
例1已知向量a=(3,-1),b=(1,-2).
(1)求(a+b)2;
(2)求(a+b)·(a-b).
分析利用a·b=x1x2+y1y2(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2))等基本公式计算.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解(1)∵a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),
∴(a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25.
(2)(方法一)∵a=(3,-1),b=(1,-2),
∴a2=32+(-1)2=10,b2=12+(-2)2=5,
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=10-5=5.
(方法二)∵a=(3,-1),b=(1,-2),
∴a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),
a-b=(3,-1)-(1,-2)=(2,1),
∴(a+b)·(a-b)=(4,-3)·(2,1)=4×2+(-3)×1=5.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
向量数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量数量积的运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征建立平面直角坐标系,并写出相应点的坐标即可求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究本例中,若存在向量c满足a·c=-1,b·c=3,试求c.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用向量数量积解决长度和夹角问题
例2已知向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c,求b,c及b与c的夹角.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
利用向量数量积的坐标表示求向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积.
(3)求夹角的余弦值cos
θ.
(4)求角.由向量夹角的范围及cos
θ求θ的值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用向量数量积的坐标运算求解几何问题
例4已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:BE⊥CF.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量中的数形结合思想
数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,使抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.向量中的数形结合思想应关注以下几点:
(1)向量的几何表示关注方向.
(2)向量运算中的三角形、平行四边形法则使向量具备形的特征.
(3)向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案C
方法点睛
建立平面直角坐标系,将所求问题转化为向量的数量积的坐标运算求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案C
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案-6
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.设向量a=(1,-1),b=(3,-4),x=a+λb,λ为实数,试证明:使|x|最小的向量x垂直于向量b.(共25张PPT)
8.2.1 两角和与差的余弦
课标阐释
1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,掌握用向量证明问题的方法,进一步体会向量法的作用.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式,并能用两角和与差的余弦公式解决相关的求值、化简和证明等问题.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,在地平面上有一点A,测得A,C两点间的距离约为60米,从点A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,
∠CAB=15°,求这座电视发射塔的高度.
设电视发射塔的高度CD=x,则AB=AC·cos
15°
=60cos
15°,BC=ACsin
15°=60sin
15°,
BD=AB·tan
60°=60·cos
15°·tan
60°=60
cos
15°,
∴x=BD-BC=60
cos
15°-60sin
15°.如果能求出cos
15°,
sin
15°的值,就可求出电视发射塔的高度.
问题:1.30°=60°-30°,那么cos
30°=cos
60°-cos
30°成立吗?类似的15°=45°-30°,那么cos
15°=cos
45°-cos
30°成立吗??α,β∈R,cos(α-β)=cos
α-cos
β成立吗?
2.如何用α,β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点:两角和与差的余弦公式
名 称
公 式
简记
两角和的余弦公式
cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β
Cα+β
两角差的余弦公式
cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β
Cα-β
激趣诱思
知识点拨
名师点析
两角和与差的余弦公式的常见变形应用
激趣诱思
知识点拨
微练习
cos
15°= .?
微判断
(1)cos(α-β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β.( )
(2)cos(α+β)=cos
α+cos
β.( )
(3)cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β对任意α,β都成立.( )
答案(1)× (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
两角和与差的余弦公式的简单应用
分析(1)先把615°转化为两个特殊角的差,再进一步转化利用两角和的余弦公式求解.
(2)先利用诱导公式对角进行转化,再逆用两角差的余弦公式求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案(1)D (2)B
反思感悟
利用两角和与差的余弦公式解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路
(1)先把非特殊角转化为特殊角的和或差,再用公式直接求值;
(2)充分利用诱导公式,构造两角和与差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
给值求值问题
分析将β转化为(α+β)-α,再利用公式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
给值求值问题的两个主要技巧
一个是已知角的某一三角函数值,求该角的另一三角函数值时,应注意角的终边所在的象限,从而确定三角函数值的正负.
二是注意变角,“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到,因为合理“变角”后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
给值求角问题
分析利用两角和的余弦公式求α+β的余弦值,并结合角α+β的范围进行求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
解决给值求角问题的策略
求角时,先根据已知条件求出角的余弦值,然后根据已知条件求出角的范围,从而确定角的大小.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
角的变换技巧的应用
角的变换是三角恒等变换的首选方法.在进行三角恒等变换时,对角与角之间的关系必须进行认真的分析.
(1)分析角之间的和、差、倍、分关系,
例如β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β),
(2)在非特殊值角的三角函数式化简中,要特别注意能否产生特殊角.
(3)熟悉两角互余、互补的各种形式,如α+β=
,α+β=π,正确掌握诱导公式的正用、逆用、变形用.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
三角变换是三角运算的灵魂与核心,它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换,而角的变换主要体现了拆角与凑角的方法.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.在△ABC中,已知cos
Acos
B>sin
Asin
B,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
解析由cos
Acos
B>sin
Asin
B得cos
Acos
B-sin
Asin
B>0,
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案AD
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测(共27张PPT)
第1课时 两角和与差的正弦
课标阐释
1.掌握两角和与差的正弦公式.
2.能运用两角和与差的正弦公式化简、求值、证明.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
在实际生活中,很多的最优化问题都可以转化为三角函数来解决,如停车场的设计、通信电缆的铺设、航海、测量等都有三角函数的影子.求解三角函数问题,都需要三角函数公式转化,今天我们学习两角和与差的正弦、正切公式及其应用,感受三角函数公式的魅力.
激趣诱思
知识点拨
知识点一:两角和与差的正弦公式
Sα+β:sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β.
Sα-β:sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β.
名师点析
(1)Sα±β与Cα±β一样,对任意角α,β都成立,是恒等式.
(2)明确Sα±β与Cα±β的区别:sin(α±β)=sin
αcos
β±cos
αsin
β,cos(α±β)=cos
αcos
β?sin
αsin
β.
对比公式要注意形式与符号的特点.
(3)两角和与差的正弦、余弦公式之间的联系:
激趣诱思
知识点拨
微练习
sin
105°= .?
微判断
(1)sin(α-β)=sin
αcos
α-cos
βsin
β.( )
(2)sin
α+sin
β=sin(α+β).( )
(3)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cos
β+cos(α-15°)sin
β.( )
答案(1)× (2)× (3)√ (4)√
激趣诱思
知识点拨
知识点二:旋转变换公式
已知点P(x,y),与原点的距离保持不变,逆时针旋转θ角到点P'(x',y'),
知识点三:化一公式(辅助角公式)
形如asin
θ+bcos
θ(a,b都不为零)的式子引入辅助角可变形为Asin(θ+φ)的形式,有时也可变形为Acos(θ+φ)的形式.
激趣诱思
知识点拨
答案B
激趣诱思
知识点拨
由以上不难发现,两角和与差的余弦、正弦公式的逆用也可看成是化一公式的运用,只不过在做题过程中用到的大都是一些特殊值、特殊角.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
给值求值
分析若将cos(α+β)展开,再联立平方关系求sin
β的值运算量大,利用角的变换β=(α+β)-α,两边同时取正弦比较简便.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
给值求值问题的解题策略
在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:
(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.
(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究在例1中,试求β.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用两角和与差的正弦公式化简
例2化简下列各式:
分析(1)各式中角的形式无法统一,且没有明显的拼角关系,所以只能利用两角和与差的公式展开后寻求解决办法.
(2)观察三个角之间的关系,知2α+β=α+(α+β),所以首先考虑角的代换,再利用两角和与差公式化复角为单角.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
化简三角函数式的标准和要求
(1)能求出值的应求出值;
(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少;
(3)使三角函数式的次数尽可能低;
(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析利用辅助角公式进行变形.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案(1)A (2)B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案(1)D (2)B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
一题多解——两角和与差的正弦求解
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案1(共24张PPT)
第2课时 两角和与差的正切
课标阐释
1.理解两角和与差的正切公式的推导过程.
2.掌握两角和与差的正切公式的结构特征,能正用、逆用和变形用公式进行化简、求值和证明.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
我们知道,在测量不可达建筑物时,一般要用到三角函数的方法.例如要测量中央电视塔的高度,就要在地面上选一条基线,以基线为边构造出直角三角形,利用正切函数以及两角和与差的正切值计算而得.那么两角和与差的正切公式是怎样的呢?
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
答案(1)× (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用公式化简求值
分析把非特殊角转化为特殊角[如(1)]及公式的逆用[如(2)]与活用[如(3)],通过适当的变形变为可以使用公式的形式,从而达到化简或求值的目的.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
(1)公式Tα+β,Tα-β是变形较多的两个公式,公式中有tan
αtan
β,tan
α+tan
β(或tan
α-tan
β),tan(α+β)(或tan(α-β)).三者知二可表示或求出第三个.
(2)一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
条件求值(角)问题
例2如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴
为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与
单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标
分别为
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
分析先由任意角的三角函数定义求出cos
α,cos
β,再求sin
α,sin
β,从而求出tan
α,tan
β,然后利用Tα+β求tan(α+β),最后利用α+2β=(α+β)+β,求tan(α+2β)进而得到α+2β的值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.通过先求角的某个三角函数值来求角.
2.选取函数时,应遵照以下原则:
(1)已知正切函数值,选正切函数.
3.给值求角的一般步骤:
(1)求角的某一三角函数值.
(2)确定角的范围.
(3)根据角的范围写出所求的角.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
两角和与差的正切公式的变形应用
分析化简条件→求出tan
A,tan
C→求出角A,C→判断形状
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
活用公式求值
在运用两角和与差的正切公式时,要注意公式的正用、逆用、变形用.
如:Tα±β可变形为如下几个公式
tan
α±tan
β=tan(α±β)(1?tan
αtan
β);
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例
不查表求值.
(2)tan
17°+tan
28°+tan
17°tan
28°;
(3)tan
17°tan
43°+tan
17°tan
30°+tan
43°tan
30°.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
(1)利用tan
45°=1代入求解;(2)(3)利用正切公式的变形公式求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.计算(1+tan
10°)(1+tan
35°)= .?
答案2(共29张PPT)
8.2.3 倍角公式
课标阐释
1.掌握倍角的正弦、余弦和正切公式,并能推导.
2.会用倍角公式进行三角函数的求值、化简和证明.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
大雁是人们熟知的鸟类类群之一,在迁徙时总是几十只、数百只,甚至上千只汇集在一起,列队而飞,古人称之为“雁阵”.“雁阵”由有经验的“头雁”带领,加速飞行时,队伍排成“人”字形,一旦减速,队伍又由“人”字形变换成“一”字形.
当飞在前面的“头雁”的翅膀在空中划过时,翅膀尖上就会产生一股微弱的上升气流,排在它后面的大雁就可以依次利用这股气流,从而节省了体力.研究表明,大雁排成的“人”字形的每边与前进方向的夹角约为55°,那么“人”字形的夹角就是这个角的两倍,大约为110°.
这两个角的三角函数之间有什么关系?
激趣诱思
知识点拨
知识点:倍角公式
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微总结
二倍角公式的变换
(1)因式分解变换.
cos
2α=cos2α-sin2α=(cos
α+sin
α)(cos
α-sin
α).
(2)配方变换.
1±sin
2α=sin2α+cos2α±2sin
αcos
α=(sin
α±cos
α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos
2α=2cos2α,1-cos
2α=2sin2α.
(4)降幂扩角变换.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
化简、求值问题
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
化简、求值问题的求解策略
解决此类题目时,要善于观察三角函数式的特点,常变形后正用或逆用公式来解决.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用二倍角公式解决条件求值问题
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
直接应用二倍角公式求值的三种类型
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用二倍角公式证明
分析可先化简等式左边,切化弦,再利用二倍角公式化简出右边.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
证明问题的原则及一般步骤
(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.
(2)证明的一般步骤:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos
2Acos
2B.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
逆用公式巧解题
在运用公式时,不仅要善于观察题目的结构特点,直接运用公式,还要善于逆用、变形用公式.
(1)公式逆用.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)公式的逆向变换及有关变形.
1±sin
2α=sin2α+cos2α±2sin
αcos
α=(sin
α±cos
α)2;1+cos
2α=2cos2α;1-cos
2α=2sin2α;
(3)倍角的余弦公式有三种形式:
cos
2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
在应用时要注意选择合适的形式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例
求值:
(1)sin
10°sin
50°sin
70°;
(2)sin
6°sin
42°sin
66°sin
78°.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
求连续几个正弦或余弦的积,常构造正弦的倍角公式连续使用,最后利用诱导公式化简求值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案B
答案D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测(共29张PPT)
第1课时 半角的正弦、余弦和正切
课标阐释
1.能用倍角公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.
2.理解半角的正弦、余弦和正切公式.
3.会用倍角公式和半角公式进行三角函数的求值、化简和证明.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
同学们,你知道电脑输入法中“半角”和“全角”的区别吗?半角、全角主要是针对标点符号来说的,全角标点占两个字节,半角标点占一个字节,但不管是全角还是半角,汉字都要占两个字节.事实上,汉字字符规定了英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符,而通常的英文字母、数字、符号都是半角字符.
那么我们学习的任意角中是否也有“全角”与“半角”之分呢?二者有何数量关系?
激趣诱思
知识点拨
知识点:半角公式
名师点析
(1)若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号.
激趣诱思
知识点拨
(3)若给出的角α是某一象限的角,则根据下表决定符号:
激趣诱思
知识点拨
微技巧
半角公式的记忆方法:无理半角常戴帽,象限确定帽前号;数1余弦加减连,角小值大用加号.
说明:“无理半角常戴帽”是指半角公式是带有根号的无理式;“象限确定帽前号”指的是半角公式正负号的取舍依赖于
所在的象限;“数1余弦加减连”指的是公式根号下是数“1”与余弦的和或差;“角小值大用加号”指的是由于1+cos
α(α为锐角)是减函数,因此角小值大,故用“+”号.
激趣诱思
知识点拨
答案(1)× (2)× (3)×
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用半角公式求值
分析先化简,再求值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
利用半角公式求值的思路
(1)看角:看已知角与待求角的2倍关系.
(2)明范围:求出相应半角的范围为定符号作准备.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用半角公式化简三角函数式
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用半角公式证明问题
分析方法一:从右边入手,切化弦,推导出左边;方法二:从左边入手,分子分母运用二倍角公式的变形,降倍升幂,弦化切,得到右边.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简;
(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子;
(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有目的性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同;
(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
运用公式求解三角函数综合题的思路
(1)将函数f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式;
(2)求函数f(x)的单调递减区间及函数图像的对称中心.
审题策略(1)先用倍角公式化简,再用辅助角公式进行变形;(2)用正弦型函数的性质解答问题.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答题模板(1)运用和、差、倍角公式化简.
(2)统一化成f(x)=asin
ωx+bcos
ωx+k的形式.
(3)利用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,研究其性质.
失误警示造成失分的原因:(1)公式应用错误;(2)函数关系式化简不到位;(3)求单调区间时未用区间.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.若cos
22°=a,则sin
11°= ,cos
11°= .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测(共25张PPT)
第2课时 三角函数的积化和差与和差化积
课标阐释
1.理解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程.
2.能利用积化和差与和差化积公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
考虑到10°+50°=60°是特殊角,正、余弦值可求.只要把sin
10°cos
50°化为两项之和或两项之差就能达到化简的目的(分母同理),这一变形式就是正、余弦函数积化和差的公式,是本节的重要公式.
激趣诱思
知识点拨
知识点一:积化和差公式
激趣诱思
知识点拨
名师点析
在积化和差的公式中,如果“从右往左”看,实质上就是和差化积.牢记两组公式的区别与联系,才能正确使用.在运用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,则必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,则必须用降幂公式降为一次.
根据实际问题选用公式时,应考虑以下几个方面:
(1)运用公式之后,能否出现特殊角.
(2)运用公式之后,能否提公因式,能否约分,能否合并或者消项.
(3)运用公式之后,能否使三角函数的结构更加简单,各种关系更加明显,从而为下一步选用公式进行变换创造条件.对于三角函数的和差化积,有时因使用公式不同或选择解题的思路不同,化积结果可能不一致.
为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把某些常数当作三角函数值应用公式,如
然后化积.
激趣诱思
知识点拨
微思考
积化和差公式有何特点?
提示积化和差公式中,同名三角函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名三角函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α,β,等式右边为它们的和与差.
微练习
计算:(1)sin
52.5°·cos
7.5°= ;?
(2)sin
αsin
3α= .?
激趣诱思
知识点拨
知识点二:和差化积公式
激趣诱思
知识点拨
名师点析
利用和差化积及积化和差公式进行转化求值时,要注意:
(1)积化和差时,可以是同名函数的乘积,也可以是异名函数的乘积,而和差化积时,必须是同名函数的和差.
(2)和差化积时,两函数值的系数是绝对值相同,注意特殊角的三角函数与特殊值在转化中的使用技巧.
三角恒等式的证明主要从两个方面入手:
(1)看角,分析角的差异,消除差异,向所求结果中的角转化;
(2)看函数,统一函数,向所求结果中的函数转化.
激趣诱思
知识点拨
微思考
和差化积公式有何特点?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
三角函数式的化简与求值
分析利用积化和差与和差化积公式化简、求值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
三角函数化简与求值的策略
当条件或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究若把本例改为:sin
20°cos
70°+sin
10°sin
50°,试求值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明恒等式
分析根据积化和差公式将左边变形整理,进行角的统一.
反思感悟
三角恒等式证明的思路
当要证明的不等式一边复杂,另一边非常简单时,我们往往从复杂的一边入手证明,类似于化简.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1已知sin
A+sin
3A+sin
5A=a,cos
A+cos
3A+cos
5A=b,
求证:(2cos
2A+1)2=a2+b2.
证明由题意知(sin
A+sin
5A)+sin
3A
=2sin
3Acos
2A+sin
3A=a,
(cos
A+cos
5A)+cos
3A
=2cos
3Acos
2A+cos
3A=b,
则sin
3A(2cos
2A+1)=a,①
cos
3A(2cos
2A+1)=b.②
两式平方相加,得(2cos
2A+1)2=a2+b2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
与三角函数有关的综合问题
分析先将解析式化简,然后求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
三角函数综合问题的求解策略
求解三角函数性质问题,往往将解析式化为一个角一种三角函数的形式后再研究其性质.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
积化和差、和差化积公式的应用规律
(1)积化和差公式中:同名函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α、β,等式右边为它们的和差角.
(2)和差化积公式中:两三角函数的系数绝对值必须相同,且为同名,一次三角函数方可施行,若是异名需用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次函数.
余弦函数的和或差化为同名函数之积;正弦函数的和或差化为异名函数之积;等式左边为单角θ与φ,等式右边为
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
本题根据分式的性质,创造性地对算式的结构进行变换,构造积的运算,然后由三角函数的倍角公式,积化和差公式及诱导公式得解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.sin
15°sin
30°sin
75°的值是 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.sin
105°+sin
15°= ,
cos
75°×cos
15°= .?(共23张PPT)
章末整合
专题一
专题二
专题三
专题一 向量的数量积及应用?
例1已知|a|=1,|b|=4,且向量a与b不共线.
(1)若a与b的夹角为60°,求(2a-b)·(a+b);
(2)若向量ka+b与ka-b互相垂直,求k的值.
解(1)(2a-b)·(a+b)=2a·a+a·b-b·b=2|a|2+|a||b|cos-|b|2
=2×1+1×4×cos
60°-42=-12.
(2)由题意可得(ka+b)·(ka-b)=0,即k2a2-b2=0,∵a2=1,b2=16,
∴k2-16=0,故k=±4.
方法技巧
求平面向量数量积的步骤
(1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];
(2)分别求|a|和|b|;
(3)求数量积,即a·b=|a||b|cos
θ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
例2(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,求k的取值范围.
(2)已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角.
解(1)∵e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,
当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去.
综上,k的取值范围为{k|k>0,且k≠1}.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
例3已知向量a=(3,2),b=(-2,-4),c=a+kb,k∈R.
(1)若b⊥c,求k的值;
(2)求a与b夹角的余弦值.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
变式训练2已知非零向量a,b满足|a|=4|b|,且b⊥(a+2b),则为 .?
解析∵b⊥(a+2b),
∴b·(a+2b)=a·b+2b2=|a||b|cos+2|b|2=0,即4|b|2cos+2|b|2=0,
专题一
专题二
专题三
专题二 三角恒等变换中的“四变”策略?
1.变角——角的变换
例4已知tan(α+β)=4,tan(α-β)=2,则sin
4α的值为 .?
专题一
专题二
专题三
方法技巧
若“条件角”与所求的“目标角”不同,则可以用“条件角”表示出“目标角”,然后根据它们之间的关系,选用相关的三角恒等变换公式求解.
当题目中涉及三种不同的角:α+β,α-β,4α时,选择哪一种角为目标最合适?通过观察可以发现(α+β)+(α-β)=2α,4α=2×2α,这样,2α是必然的选择,然后,恰当地选择三角公式进行恒等变形,目的就容易达到了.
专题一
专题二
专题三
答案4
方法技巧
对于含有多种三角函数的问题,要从题目中所给的各函数间的关系入手,寻求统一函数名称的变换途径.正确选用三角变换公式,通过变换尽量减少三角函数的种类,从而提高解题效率.
注意到函数表达式的分子与分母是关于sin
x与cos
x的二次齐次式,所以,分子与分母同时除以cos2x,便可将原函数转化为关于tan
x的函数进行求解.
专题一
专题二
专题三
方法技巧
由于已知条件中给出了sin
α的值,而所求三角函数式中所涉及的角都是与α有关的角,因此可利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等求解.
专题一
专题二
专题三
方法技巧
根据需要,常常将“1”进行转化,如1=sin2x+cos2x
=(sin
x±cos
x)2?2sin
xcos
x等.
专题一
专题二
专题三
专题三 三角恒等变换与三角函数的图像与性质的综合?
例8已知a=(
,-1),b=(sin
x,cos
x),x∈R,f(x)=a·b,求函数f(x)的周期、值域、单调递增区间.
专题一
专题二
专题三
方法技巧
辅助角公式及其运用
(2)形式选择:化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角α的系数为正,这样更有利于研究函数的性质.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
方法技巧
三角恒等变换与三角函数图像性质的综合问题的解题策略
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin
ωx+bcos
ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k[或y=Acos(ωx+φ)+k]的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三