课时素养评价
十 两角和与差的余弦
(15分钟 30分)
1.coscos-sinsin的值为
( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选B.原式=cos=cos=.
2.满足cos
αcos
β=+sin
αsin
β的一组α,β的值为
( )
A.α=,β=
B.α=,β=
C.α=,β=
D.α=,β=
【解析】选A.原等式可化为cos
αcos
β-sin
αsin
β=,即cos(α+β)=,经检验,A选项符合.
3.若sin=a,则cos=
( )
A.-a
B.a
C.1-a
D.1+a
【解析】选B.cos=cos
=coscos+sinsin
=sin=a.
4.已知α为三角形的内角且cos
α+sin
α=,则α=________.?
【解析】因为cos
α+sin
α=cos
cos
α+sin
sin
α=cos=,因为0<α<π,
所以-<α-<,所以α-=,α=.
答案:π
5.已知cos
α=,且α为第一象限角,求cos,sin的值.
【解析】因为cos
α=,且α为第一象限角,
所以sin
α===.
所以cos=coscos
α-sinsin
α
=×-×=.
sin=cos
=cos=.
【补偿训练】
已知在△ABC中sin
A=,cos
B=,求cos
C的值.
【解析】因为cos
B=<,
所以B∈且sin
B=.
因为sin
A=<,
所以A∈∪.
若A∈,又B∈,则A+B∈,这与A+B+C=π矛盾,所以A?,故A∈.
由sin
A=,得cos
A=.
所以cos
C=cos[π-(A+B)]
=-cos(A+B)=-cos
Acos
B+sin
Asin
B=-×+×=.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)的值为
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.原式=cos[(α-35°)-(α+25°)]=cos
60°=.
2.若sin
α=,α∈,则cos的值为
( )
A.-
B.-
C.-
D.-
【解析】选C.因为sin
α=,α∈,
所以cos
α=-=-=-,
所以cos=coscos
α-sin
sin
α
=×-×=-.
3.若sin
x+cos
x=4-m,则实数m的取值范围是
( )
A.3≤m≤5
B.-5≤m≤5
C.3
D.-3≤m≤3
【解析】选A.因为sin
x+cos
x
=cos
xcos
+sin
xsin
=cos=4-m,所以|4-m|≤1,解得3≤m≤5.
二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.下列各式化简正确的是
( )
A.cos
80°cos
20°+sin
80°sin
20°=cos
60°
B.cos75°=cos
45°cos
30°-sin
45°sin
30°
C.sin(α+45°)sin
α+cos(α+45°)cos
α=cos
45°
D.cos=cos
α-sin
α
【解析】选ABC.根据两角和与差的余弦公式知,A,B,C均正确,cos=cos
α-sin
α,D选项错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.若a=(cos
α,sin
β),b=(cos
β,sin
α),0<β<α<,且a·b=,则α-β=________.?
【解析】a·b=cos
α
cos
β+sin
β
sin
α=cos(α-β)=.因为0<β<α<,所以0<α-β<,所以α-β=.
答案:
6.已知sin
α=,α是第二象限角,则tan
α=________,cos(α-60°)=
________.?
【解析】因为sin
α=,α是第二象限角,
所以cos
α=-,所以tan
α==-,
cos(α-60°)=cos
αcos
60°+sin
αsin
60°=×+×=.
答案:-
四、解答题
7.(10分)已知cos
α=,sin(α-β)=,且α,β∈(0,).
求:(1)cos(2α-β)的值;
(2)β的值.
【解析】(1)因为α,β∈,所以α-β∈,又sin(α-β)=>0,所以0<α-β<,所以cos(α-β)==,因为cos
α=,所以sin
α==,cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]=cos
αcos(α-β)-sin
αsin(α-β)=×-×=.
(2)cos
β=cos[α-(α-β)]=cos
αcos(α-β)+sin
αsin(α-β)=×+×=,又因为β∈,所以β=.
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十一 两角和与差的正弦
(15分钟 30分)
1.化简cos
x-sin
x等于
( )
A.2sin
B.2cos
C.2sin
D.2cos
【解析】选D.cos
x-sin
x
=2
=2
=2cos.
2.(教材二次开发:练习改编)化简:sin
21°cos
81°-cos
21°·sin
81°等于
( )
A. B.- C. D.-
【解析】选D.原式=sin(21°-81°)=-sin
60°=-.
3.已知sin
α=,cos
β=,且α是第二象限角,β是第四象限角,那么sin(α-β)等于
( )
A. B. C.- D.-
【解析】选A.因为α是第二象限角,
且sin
α=,
所以cos
α=-.又因为β是第四象限角,cos
β=,
所以sin
β=-.sin(α-β)=sin
α
cos
β-cos
α
sin
β=×-×==.
4.已知cos=sin,则tan
α=________.?
【解析】cos=cos
αcos-sin
αsin=
cos
α-sin
α,sin=sin
αcos-
cos
αsin=sin
α-cos
α,
因为cos=sin,所以
sin
α=cos
α,故tan
α=1.
答案:1
5.已知α,β是锐角,sin
α=,cos(α+β)=-,求sin
β的值.
【解析】因为α是锐角,且sin
α=,
所以cos
α===.
又因为cos(α+β)=-,α,β均为锐角,
所以sin(α+β)==.
所以sin
β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos
α-cos(α+β)sin
α=×-×=.
(20分钟
40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.在△ABC中,若sin
A=2sin
Bcos
C,则△ABC是
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
【解析】选D.因为A=180°-(B+C),所以sin
A=sin(B+C)=2sin
BcosC.又sin(B+C)=sin
Bcos
C+cos
Bsin
C,所以sin
Bcos
C-cos
Bsin
C=sin(B-C)=0,则B=C,故△ABC为等腰三角形.
【补偿训练】
在△ABC中,A=,cos
B=,则sin
C=
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选D.因为A=,所以cos
A=sin
A=,又cos
B=,0sin
B=,又C=π-(A+B),所以sin
C=sin(A+B)=sin
Acos
B+cos
Asin
B
=×+×=.
2.如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED等于
( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由题意知sin∠BEC=,cos
∠BEC=,∠BED=,又∠CED=-∠BEC,所以sin∠CED=sincos∠BEC-cos
sin∠BEC=×-×=.
【补偿训练】
已知cos
+sin
α=,则sin
的值为
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选C.因为cos
+sin
α=cos
α+
sin
α=,
所以cos
α+sin
α=.
所以sin=-sin
=-=-.
3.已知α∈,α+β∈,且cos
α=,sin(α+β)=,则
( )
A.β∈
B.β∈
C.β∈
D.β∈
【解析】选C.已知α∈,α+β∈,且cos
α=∈,所以α∈.
因为sin(α+β)=∈,
所以α+β∈,所以β∈.
【补偿训练】
设△ABC的三个内角分别为A,B,C,向量m=(sin
A,sin
B),n=(cos
B,
cos
A),若m·n=1+cos(A+B),则C=
( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为m·n=1+cos(A+B)=sin
Acos
B+cos
Asin
B,所以sin(A+B)=1+cos(A+B).
又A+B=π-C,整理得sin=,因为0二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.已知θ是锐角,那么下列各值中sin
θ+cos
θ不能取得的值是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选BCD.因为0<θ<,所以θ+∈,所以θ+cos
θ=sin,所以1θ+cos
θ≤.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知sin=-,则cos
x+cos的值为________.
?
【解析】cos
x+cos=cos
x+cos
x+sin
x=cos
x+sin
x
==sin=-1.
答案:-1
6.已知sin
α=-,α∈,cos
β=-,β∈,则cos(α+β)=
________,sin(α+β)=________.?
【解析】由题意得,cos
α=-,sin
β=,
所以cos(α+β)=×-×=,sin(α+β)=×+×=.
答案:
【补偿训练】
已知sin
α+cos
β=1,cos
α+sin
β=0,则sin(α+β)=________.?
【解析】因为sin
α+cos
β=1,①
cos
α+sin
β=0,②
所以①2+②2得1+2(sin
αcos
β+cos
αsin
β)+1=1,所以sin
αcos
β+
cos
αsin
β=-,
所以sin(α+β)=-.
答案:-
四、解答题
7.(10分)已知函数f(x)=Asin,x∈R且f=.
(1)求A的值;
(2)若f(θ)-f(-θ)=,θ∈,求f.
【解析】(1)由f()=Asin(+)=Asin=A=,可得A=3.
(2)f(θ)-f(-θ)=,
则3sin-3sin=,
3-3=,
得sin
θ=.因为θ∈,所以cos
θ=,
f=3sin=3sin=3cos
θ=.
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十二 两角和与差的正切
(15分钟 30分)
1.若tan
α=2,tan
β=3,则tan(α-β)=
( )
A.-7
B.
C.-
D.-
【解析】选D.tan(α-β)===-.
2.已知α,β都是锐角,tan
α=,tan
β=,则α+β的值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.tan(α+β)===1,
又因为α,β都是锐角,所以α+β∈(0,π),所以α+β=.
3.的值等于
( )
A.-1
B.1
C.
D.-
【解析】选D.因为tan
60°=tan(10°+50°)=,
所以tan
10°+tan
50°
=tan
60°-tan
60°tan
10°tan
50°.
所以原式==-.
4.若tan
28°tan
32°=m,则tan
28°+tan
32°等于
( )
A.m
B.(1-m)
C.(m-1)
D.(m+1)
【解析】选B.由公式变形tan
α+tan
β=tan(α+β)(1-tan
αtan
β)可得
tan
28°+tan
32°=tan
60°(1-tan
28°tan
32°)=(1-m).
5.已知tan(α-β)=,tan
β=-,且α,β∈(-π,0),求2α-β的值.
【解析】因为α=(α-β)+β,tan(α-β)=,tan
β=-,α,β∈(-π,0),所以tan
α=tan[(α-β)+β]===.
又2α-β=α+(α-β),
所以tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]===1.
而tan
α=>0,tan
β=-<0,α,β∈(-π,0),
则α∈,β∈,所以α-β∈(-π,0),
而tan(α-β)=>0,则α-β∈,
结合α∈,则有2α-β∈(-2π,-π),
所以2α-β=-.
【补偿训练】
如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
【解题指南】先由任意角的三角函数定义求出cos
α,cos
β,再求sin
α,
sin
β,从而求出tan
α,tan
β,然后求tan(α+β),最后利用α+2β=(α+
β)+β,求tan(α+2β),进而得到α+2β的值.
【解析】由条件得cos
α=,cos
β=,因为α,β为锐角,所以sin
α=,sin
β=,所以tan
α=7,tan
β=.
(1)tan(α+β)===-3.
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]
===-1,
因为α,β为锐角,所以0<α+2β<,所以α+2β=.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.设向量a=(cos
α,-1),b=(2,sin
α),若a⊥b,则tan等于
( )
A.-
B.
C.-3
D.3
【解析】选B.a·b=2cos
α-sin
α=0,得tan
α=2.
tan===.
【补偿训练】
若=,则tan=
( )
A.-2 B.2 C.- D.
【解析】选C.因为=,
所以=,所以tan
α=-3.
所以tan=
==-.
2.已知tan
α=lg(10a),tan
β=lg,且α+β=,则实数a的值为
( )
A.1 B. C.1或 D.1或10
【解析】选C.因为α+β=,所以tan(α+β)==1,tan
α+tan
β=1-tan
αtan
β,即lg(10a)+lg
=1-lg(10a)lg
,1=1-lg(10a)lg,
所以lg(10a)lg=0,lg(10a)=0或lg=0.得a=或a=1.
【补偿训练】
已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tan
A,tan
B
是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是
( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形
D.无法确定
【解析】选A.因为tan
A,tan
B
是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则tan
A+
tan
B=,tan
Atan
B=,所以tan(A+B)==
,所以03.(2020·清华附中高一检测)若tan
α=3,tan
β=,则tan(α-β)等于
( )
A.3
B.-3
C.
D.-
【解析】选C.tan(α-β)===.
【补偿训练】
1.(2020·玉林高一检测)计算等于
( )
A. B. C.1 D.
【解析】选A.=
=tan
30°=.
2.=________.?
【解析】=
==tan(15°-45°)
=tan(-30°)=-.
答案:-
二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.已知tan
α,tan
β是方程x2+3x+4=0的两个根,且-<α<,-<β<,则
( )
A.tan
α+tan
β=3
B.tan(α+β)=
C.tan
α·tan
β=4
D.α+β=-
【解析】选BCD.由根与系数的关系得:
tan
α+tan
β=-3,tan
α·tan
β=4,
所以tan
α<0,tan
β<0,
所以tan(α+β)===,
又-<α<,-<β<,且tan
α<0,tan
β<0,所以-π<α+β<0,所以α+β=-.
【补偿训练】
(多选题)下列式子中叙述正确的为
( )
A.tan=
B.存在α、β,满足tan(α-β)=tan
α-tan
β
C.存在α、β,满足tan(α+β)=tanα+tanβ
D.对任意α、β,tan(α+β)=tanα+tanβ
【解析】选ABC.tan=,A正确.
存在α=β=,满足tan(α-β)=tan
α-tan
β,B正确.
存在α=0,β=,满足tan(α+β)=tan
α+tan
β,C正确.对任意α、β,tan(α+β)=,D不正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知sin
α=2cos
α,则tan=________.?
【解析】由sin
α=2cos
α,所以tan
α=2,
所以tan===-3.
答案:-3
6.(1)tan(-75°)=________;?
(2)=________.?
【解析】(1)tan
75°=tan(45°+30°)
=
====2+,
所以tan(-75°)=-tan
75°=-2-.
(2)原式=tan(74°+76°)=tan
150°=-.
答案:(1)-2- (2)-
【补偿训练】
已知tan
α=2,tan
β=-3,其中0°<α<90°,90°<β<180°,则
=________,α-β=________.
【解析】==-7.
因为tan(α-β)==-1,
又0°<α<90°,90°<β<180°,
所以-180°<α-β<0°,所以α-β=-45°.
答案:-7 -45°
四、解答题?
7.(10分)已知△ABC中tan
B+tan
C+tan
Btan
C=,且tan
A+
tan
B+1=tan
Atan
B,判断△ABC的形状.
【解析】由tan
A=tan[π-(B+C)]
=-tan(B+C)
===-.
而0°由tan
C=tan[π-(A+B)]
=
==,
而0°所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形.
PAGE课时素养评价
十三 二倍角的三角函数
(20分钟 35分)
1.sin
22°30'·cos
22°30'的值为
( )
A.
B.
C.-
D.
【解析】选B.原式=sin
45°=.
2.若sin=,则cos
α等于
( )
A.-
B.
-
C.
D.
【解析】选C.因为sin=,
所以cos
α=1-2sin2=1-2×=.
3.若=,则tan
2α等于
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.因为=,
所以=,故tan
α=-3,
所以根据倍角公式,得tan
2α=.
【补偿训练】
设f(tan
x)=tan
2x,则f(2)的值为
( )
A. B.- C.- D.4
【解析】选B.因为f(tan
x)=,
所以f(2)==-.
4.化简-2=
( )
A.2sin
4
B.-2sin
4
C.2cos
4
D.-2cos
4
【解析】选A.原式=-2=2|cos
4|-2|sin
4+cos
4|,
因为π<4<,所以cos
4<0,sin
4+cos
4<0.
所以原式=-2cos
4+2(sin
4+cos
4)=2sin
4.
5.已知tan
α=-,则=________.?
【解析】=
==tan
α-=-.
答案:-
6.已知函数f(x)=cos+sin2x-cos2x+2·sin
xcosx.
(1)化简f(x);
(2)若f(α)=,2α是第一象限角,求sin
2α.
【解析】(1)f(x)=cos2x-sin2x-cos2x+sin
2x=sin
2x-cos
2x
=sin.
(2)f(α)=sin=,2α是第一象限角,即2kπ<2α<+2kπ(k∈Z),
所以2kπ-<2α-<+2kπ,
所以cos=,
所以sin
2α=sin
=sincos +cos
sin
=×+×=.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若tan
α=3,则=
( )
A.2
B.3
C.4
D.6
【解析】选D.===2tan
α=6.
2.-等于
( )
A.-2cos
5°
B.2cos
5°
C.-2sin
5°
D.2sin
5°
【解析】选C.原式=-
=(cos
50°-sin
50°)=2
=2sin(45°-50°)=-2sin
5°.
3.已知等腰三角形底角的正弦值为,则顶角的正弦值是
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选A.设底角为θ,则θ∈,顶角为180°-2θ.因为sin
θ=,所以cos
θ==.所以sin(180°-2θ)=sin2θ=2sin
θcos
θ=2××=.
4.下列关于函数f(x)=1-2sin2的说法错误的是
( )
A.最小正周期为π
B.最大值为1,最小值为-1
C.函数图象关于直线x=0对称
D.函数图象关于点对称
【解析】选C.函数f(x)=1-2sin2=cos
=sin2x,函数的最小正周期T=π,
A正确.
最大值为1,最小值为-1,B正确.
由2x=kπ+?x=+,k∈Z,得函数图象关于直线x=+,k∈Z对称,C不正确.
由2x=kπ?x=,k∈Z,得函数图象关于点,k∈Z对称,D正确.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列选项中,值为的是
( )
A.cos
72°cos
36°
B.sinsin
C.+
D.-cos215°
【解析】选AB.对于A,cos36°cos72°====,故A正确;对于B,
sin
sin
=sin
cos
=·2sincos=sin=,故B正确;对于C,原式
=====4,故C错误;对于
D,-cos215°
=-(2cos215°-1)=-cos
30°=-,故D错误.
6.若2cos
2α=sin,则sin
2α的值为
( )
A.-
B.
C.1
D.
【解析】选AC.若2cos
2α=sin,
即2(cos2α-sin2α)=cos
α-sin
α,当cos
α=sin
α时,满足条件,此时,tan
α=1,sin
2α=1.当cos
α≠sin
α时,则2(cos
α+sin
α)=,
即cos
α+sin
α=,
所以1+2sin
αcos
α=,
即sin
2α=2sin
αcos
α=-.
综上可得,sin
2α=1或-.
【补偿训练】
(多选题)若函数f(x)=(1+tan
x)cos
x,则f(x)的( )
A.最小正周期为π
B.最大值是2
C.最小正周期为2π
D.最大值是1
【解析】选BC.f(x)=(1+tan
x)cos
x=cos
x=sin
x+
cos
x=2sin.所以f(x)的最小正周期为2π,当x+=2kπ+,k∈Z时,f(x)取到最大值2.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.函数f(x)=2cos2-1的最小正周期为________.?
【解析】f(x)=cos=sin2x,故f(x)的最小正周期为π.
答案:π
【补偿训练】
函数f(x)=cos
2x+4sin
x的值域是________.?
【解析】f(x)=cos
2x+4sin
x=1-2sin2x+4sin
x=-2sin2x+4sin
x+1
=-2(sin
x-1)2+3.
当sin
x=1时,f(x)max=3;当sin
x=-1时,f(x)min=-5.
答案:[-5,3]
8.若sin
α+2cos
α=0(0<α<π),则tanα=________,cos=
________.?
【解析】因为sin
α+2cos
α=0(0<α<π),所以sin
α=-2cos
α,即tan
α=-2.所以cos(2α+)=
cos2α-sin2α=·-
·
=·-·=×-×=.
答案:-2
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知α为第二象限角,且sin
α=,求的值.
【解析】原式=
=.
因为α为第二象限角,且sin
α=,
所以sin
α+cos
α≠0,cos
α=-,
所以原式==-.
10.设函数f(x)=2cos2ωx+sin+a(其中ω>0,a∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求ω的值;
(2)设f(x)在区间上的最小值为,求a的值.
【解析】f(x)=1+cos
2ωx+sin
2ωx-
cos
2ωx+a=sin+a+1.
(1)由2ωx+=2kπ+(k∈Z),得ωx=kπ+(k∈Z).
又ω>0,所以当k=0时,f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x==,故ω=1.
(2)由(1)知f(x)=sin+a+1,由≤x≤,得≤2x≤π,≤2x+≤,所以当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值为+a+1.由+a+1=,得a=-.
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十四 几个三角恒等式
(20分钟 35分)
1.已知cos
θ=-(-180°<θ<-90°),则cos=
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.因为-180°<θ<-90°,所以-90°<<-45°.
又cos
θ=-,所以cos===.
2.设α是第二象限角,tan
α=-且sin( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选A.因为α是第二象限角,且sin
<0.
因为tan
α=-,所以cos
α=-,所以cos
=-=-.
3.若sin74°=m,则cos
8°=
( )
A.
B.±
C.
D.±
【解析】选C.因为sin74°=m=cos
16°,所以cos
8°==.
4.设α是第二象限角,且cos=-,则是第________象限角.?
【解析】2kπ+<α<2kπ+π(k∈Z),
所以kπ+<所以为第一、三象限角,
又-=-
=-=cos,所以cos<0,即为第三象限角.
答案:三
5.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,则sin
αcos
β=________.?
【解析】sin
αcos
β=sin(α+β)+sin(α-β)=×+×=.
答案:
6.求证:=.
【证明】左边=
==
====右边.所以原等式成立.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知sin
α=,cos
α=,则tan
等于
( )
A.2-
B.2+
C.-2
D.±(-2)
【解析】选C.因为sin
α=>0,cos
α=>0,
所以α的终边落在第一象限,的终边落在第一或第三象限,所以tan
>0,
故tan
===-2.
2.设a=(sin
56°-cos
56°),b=cos
50°cos
128°+cos
40°cos
38°,
c=,d=(cos
80°-2cos250°+1),则a,b,c,d的大小关系为
( )
A.a>b>d>c
B.b>a>d>c
C.d>a>b>c
D.c>a>d>b
【解析】选B.a=sin
56°cos
45°-cos
56°sin
45°=sin(56°-45°)
=sin
11°=cos
79°,
b=cos
50°cos
128°+cos
40°cos
38°
=sin
40°(-sin
38°)+cos
40°cos
38°
=cos(40°+38°)
=cos
78°,c==cos
81°,
d=(cos
80°-2cos250°+1)
=[cos
80°-(2cos250°-1)]
=(cos
80°+cos
80°)=cos
80°,
所以b>a>d>c.
3.已知tan=3,则cos
θ等于
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.cos
θ====-.
【补偿训练】
若cos
α=-,α是第三象限角,则等于
( )
A.- B. C.2 D.-2
【解析】选A.因为α是第三象限角,cos
α=-,所以sin
α=-.所以===
==-.
4.已知f(x)=sin2,若a=f,b=f,则
( )
A.a+b=0
B.a-b=0
C.a+b=1
D.a-b=1
【解析】选C.a=f=sin2==,
b=f=sin2
==,则可得a+b=1.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知2sin
α=1+cos
α,则tan
的可能取值为
( )
A.
B.1
C.2
D.不存在
【解析】选AD.由2sin
α=1+cos
α,得
4sin
cos
=2cos2,
当cos
=0时,则tan
不存在;
当cos
≠0时,则tan
=.
【补偿训练】
(多选题)若cos
2θ+cos
θ=0,则sin
2θ+sin
θ的可能取值有
( )
A.0 B.1 C. D.-
【解析】选ACD.由cos
2θ+cos
θ=0得2cos2θ-1+cos
θ=0,所以cos
θ=-1或.
当cos
θ=-1时,有sin
θ=0;
当cos
θ=时,有sin
θ=±.于是sin
2θ+sin
θ=sin
θ(2cos
θ+1)=0或或-.
6.设函数f(x)=sin+cos,则
( )
A.y=f(x)的最小值为-,其最小正周期为π
B.y=f(x)的最小值为-2,其最小正周期为
C.y=f(x)在上单调递增,其图象关于直线x=对称
D.y=f(x)在上单调递减,其图象关于直线x=对称
【解析】选AD.f(x)=sin
=sin=cos
2x,
所以y=f(x)在上单调递减,最小正周期为π,又f=cos
π=-,是最小值.
所以函数y=f(x)的图象关于直线x=对称.
【补偿训练】
已知函数f(x)=,
则有( )
A.函数f(x)的图象关于直线x=对称
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.函数f(x)的最小正周期为
D.函数f(x)在上单调递减
【解析】选BD.
因为f(x)===-tan
x,所以f(x)图象不是轴对称图形,关于点对称,最小正周期为π
,在上单调递减.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.若cos
22°=a,则sin
11°=________,cos
11°=________.?
【解析】cos
22°=2cos211°-1=1-2sin211°,
所以cos
11°==.
sin
11°==.
答案:
8.已知sin
θ+cos
θ=,且≤θ≤π,则sin=________.?
【解析】因为≤θ≤π,所以sin
θ≥0,cos
θ≤0,且≤≤.又sin
θ
+cos
θ=,①
所以(sin
θ+cos
θ)2=,
所以2sin
θcos
θ=-,
所以(cos
θ-sin
θ)2=1-2sin
θcos
θ=,
所以cos
θ-sin
θ=-,②
联立①②,得所以sin=sin
===.
答案:
【补偿训练】
已知cos
θ=-,θ∈(π,2π),则sin+cos=________.?
【解析】因为cos
θ=-,θ∈(π,2π),所以θ为第三象限角,所以sin
θ=-=-,所以∈,所以sin+cos>0.
再根据=1+sin
θ=可得sin+cos=.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.在△ABC中,求证:sin
A+sin
B+sin
C=4cos
cos
·cos
.
【证明】由A+B+C=180°,得C=180°-(A+B),
即=90°-,所以cos
=sin
.
所以sin
A+sin
B+sin
C=2sin·cos+sin(A+B)
=2sin·cos+2sin·cos
=2sin
=2cos
·2cos
·cos
=4cos
cos
cos
,
所以原等式成立.
10.已知α为钝角,β为锐角,且sin
α=,sin
β=,求cos与tan的值.
【解析】因为α为钝角,β为锐角,sin
α=,sin
β=,所以cos
α=-,cos
β=.
所以cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β=×+×=.因为<α<π,且0<β<,所以0<α-β<π,所以0<<,
所以cos=
==.
由0<α-β<π,cos(α-β)=,
得sin(α-β)==.
所以tan
===.
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