沪科版数学九年级下册24.2 第2课时 垂径分弦课件（29张）

(共29张PPT)
第24章
圆
沪科版数学九年级下册
24.2
圆的基本性质
第2课时
垂径分弦
1.
进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.
理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决
一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.
灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
学习目标
本节目标
引入新知
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你知道
如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？
问题1
在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O的一条直径将⊙O折叠，你发现了什么？
O
圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线.
垂径定理及其推论
合作探究
问题2
已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=EB，
（或
）.
·
O
A
B
D
E
C
证明：连接OA，OB，则OA=OB.△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称.
同理，如果点P是⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称，
所以⊙O关于直线CD对称.
当把圆沿
着直径CD折叠时，CD两侧的两个半
圆重合，AE与BE重合，点A与点B重
合，
与
重合，
与
重合.
因此
AE=EB，
，
.
P
·
O
A
B
D
E
C
Q
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
∵
CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE，
⌒
⌒
AC
=BC，
AD
=BD.
⌒
⌒
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
归纳总结
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
归纳总结
如果直径平分弦（不是直径），那么该直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧吗？
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
(1)
CD⊥AB吗？为什么？
(2)
·
O
A
B
C
D
E
AC与BC相等吗？
AD与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
⌒
⌒
解：(1)CD⊥AB，理由如下：
连接AO，BO，如图，则AO=BO.
又∵AE=BE，OE=OE，
∴△AOE≌△BOE（SSS）.
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
(2)由垂径定理可得AC
=BC，
AD
=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
例1
如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心
到弦AB的距离.
·
O
A
B
E
解：连接OA，过圆心O作
OE⊥AB，垂足为E，则
又∵OA=5cm，∴在Rt△OEA中，有
一
答：圆心到弦AB的距离是4cm.
圆心到弦的距离叫做弦心距.
垂径定理及其推论的计算
典例精析
【变式题】如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm，
OE=6cm，则AB
=
cm.
·
O
A
B
E
解析：连接OA，如图.
∵
OE⊥AB，
∴
AB=2AE=2×8=16（cm）.
16
一
∴
例2
如图，⊙O的弦AB＝8cm
，直径CE⊥AB于D，DC
=
2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵
CE⊥AB于D，
∴
.
设
OC
=
x
cm，则OD
=
(x
－
2)cm，根据勾股定理，得
解得
x=5.
即半径OC的长为5cm.
x2
=
42
+
(
x－2)2
，
例3
已知：⊙O中弦AB∥CD，
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径
MN⊥AB，如图.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM，
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
∴AM－CM＝BM－DM，
∴AC＝BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
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⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
归纳总结
例4
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥主桥拱的半径.
垂径定理的实际应用
由垂径定理，得
AD
=
1/2
AB
=
18.7
m，
设⊙O的半径为R，
在Rt△AOD中，AO=R，
OD=R-7.2，AD=18.7.
由勾股定理，得
A
B
O
C
D
解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交弧AB于点C，交AB于点D，则CD=7.2m.
解得
R
≈
27.9.
即赵州桥主桥拱的半径约为27.9m.
∴R2
=
(R-7.2)2
+18.72.
练一练：如图a、b,一弓形弦长为
　
cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
2cm或12cm
在圆中有关弦长a,半径r,
弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
1/2a
归纳总结
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为
.
5cm
2.已知⊙O的直径AB=20cm,
∠BAC=30°,
则弦AC=
.
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm，EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为
.
14cm或2cm
巩固练习
4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：∵
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AC=AB，
∴
AE=AD，
∴
四边形ADOE为正方形.
∴
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴
AE－CE＝BE－DE，
即
AC＝BD.
.
A
C
D
B
O
E
方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接
OC，如图.
●
O
C
D
E
F
┗
设这段弯路的半径为
R
m，
则OF
=
(R-90)
m.
∵OE⊥CD，∴CF=1/2CD=300(m).
根据勾股定理，得
∴R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
∴
拓展提升：
7.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围
.
3cm≤OP≤5cm
B
A
O
P
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;
③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两种辅助线：
连半径；作弦心距
构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程
基本图形及变式图形
本节小结
第24章
圆
沪科版数学九年级下册