单元素养评价(三)
(第13章)
(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面是
( )
A.矩形
B.正方形
C.梯形
D.平行四边形
【解析】选D.棱柱的侧棱平行且相等,故截面为平行四边形.
2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是
( )
【解析】选A.由直观图可知,在直观图中多边形为正方形,对角线长为,所以原图形为平行四边形,位于y轴上的对角线长为2.
3.若平面α∥平面β,直线a?平面α,点B∈平面β,则在平面β内过点B的所有直线中
( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.一定不存在与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
【解析】选D.因为平面α∥平面β,直线a?平面α,点B∈平面β,所以B?a,过直线a与点B作平面γ,则平面γ与平面β的交线即为与a平行的唯一直线.
4.在如图所示的四个正方体中,能得出AB⊥CD的是
( )
【解析】选A.A中因为CD⊥平面AMB,所以CD⊥AB;B中,AB与CD成60°角;C中,AB与CD成45°角;D中,AB与CD夹角的正切值为.
5.正六棱台的两底边长分别为1
cm,2
cm,高是1
cm,则它的侧面积为________cm2
( )?
A.
B.9
C.
D.3
【解析】选A.棱台的斜高为cm,
所以S侧=6××(1+2)×=(cm2).
6.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=BB1=2,AC=2,则异面直线BD与AC所成的角为
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选C.如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则AC∥A1C1∥DE,则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD=DE=EB=,所以∠BDE=60°.
7.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是
( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
【解析】选D.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,记l1=DD1,l2=DC,l3=DA,若l4=AA1,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时l1∥l4,可以排除选项A和C.若l4=DC1,也满足条件,可以排除选项B.
8.(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为
( )
A.
B.
C.1
D.
【解题指南】本题考查球的相关问题,意在考查学生的空间想象能力和运算求解能力.
【解析】选C.设△ABC的外接圆圆心为O1,记OO1=d,圆O1的半径为r,球O的半径为R,△ABC的边长为a,则S△ABC=a2=,可得a=3,于是r=,由题知,球O的表面积为16π,则R=2,由R2=r2+d2易得d=1,即O到平面ABC的距离为1.
【方法技巧】
解答球的有关问题时,通常要用到截面圆.如图所示,设球O的半径为R,截面圆O′的半径为r,M为截面圆上任意一点,球心O到截面圆O′的距离为d,则在Rt△OO′M中,OM2=OO′2+O′M2,即R2=d2+r2.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的是
( )
A.垂直于同一个平面的两条直线平行
B.若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直
C.一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行
D.一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直
【解析】选ABC.D项中一条直线与一个平面内的任一直线垂直,则这条直线和这个平面垂直;或者是一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线和这个平面垂直,所以D错误.
10.已知m,n是两条不重合的直线,α,β,γ是三个两两不重合的平面,下列选项说法正确的为
( )
A.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
B.若m?α,n?β,m∥n,则α∥β
C.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
D.若m,n是异面直线,m?α,m∥β,n?β,n∥α,则α∥β
【解析】选AD.对于A,垂直于同一条直线的两个平面平行,正确;对于B,不满足平面与平面平行的判定定理,错误;对于C,平面α,β可能相交,错误;对于D,满足平面α与平面β平行,正确.
11.在三棱锥D-ABC中,AB=BC=CD=DA=1且AB⊥BC,CD⊥DA,M,N分别是棱BC,CD的中点,下面结论正确的是
( )
A.AC⊥BD
B.MN∥平面ABD
C.三棱锥A-CMN的体积的最大值为
D.AD与BC一定不垂直
【解析】选ABD.设AC的中点为O,连接OB,OD,
则AC⊥OB,AC⊥OD,又OB∩OD=O,
所以AC⊥平面OBD,所以AC⊥BD,故A正确;
因为MN∥BD,所以MN∥平面ABD,故B正确;
当平面DAC⊥平面ABC时,VA-CMN最大,最大值为VA-CMN=VN-ACM=××=,故C错误;
若AD与BC垂直,又因为AB⊥BC,
所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥BD,
又BD⊥AC,所以BD⊥平面ABC,
所以BD⊥OB,因为OB=OD,
所以显然BD与OB不垂直,故D正确.
12.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是对角线AC1上的动点,点P与A,C1不重合,则下面结论中正确的是
( )
A.存在点P,使得平面A1DP∥平面B1CD1
B.存在点P,使得AC1⊥平面A1DP
C.S1,S2分别是△A1DP在平面A1B1C1D1,平面BB1C1C上的正投影的面积,对任意点P,都有S1≠S2
D.△A1DP面积的最小值是
【解析】选ABD.考查A,连接AD1交A1D于M,连接BC1交B1C于N,再连接PM,D1N,见图(1),则平面AD1C1B∩平面A1DP=PM,平面AD1C1B∩平面B1CD1=D1N.由于A1D∥B1C,只要PM∥D1N能成立,平面A1DP∥平面B1CD1就成立.易知AP=AC1时,PM∥D1N,A正确.对B,由于AC1⊥平面B1CD1,当平面A1DP∥平面B1CD1时,AC1⊥平面A1DP成立,所以B正确.对C,如图(2),△A1DP在平面A1B1C1D1的投影是△P1A1D1,P1在对角线A1C1上,在平面BB1C1C的投影是△P2B1C,P2在对角线BC1上,当动点位于AC1中点时,P1,P2同时是A1C1和B1C的中点.此时B1,P2,C三点共线,P由此向点A移动时,S1逐渐变小,S2逐渐变大.一定有P点使S1=S2,故C错.对D,见图(1),由于A1D⊥平面AD1C1,则A1D⊥PM,△A1DP的面积为:·A1D·PM=·PM,在Rt△AD1C1中,MP⊥AC1时PM最小,此时PM=,所以△A1DP面积的最小值为:×=,D正确.
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.如图甲,在正方形SG1G2G3中,E,F分别是边G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点,现沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图乙),使G1,G2,G3三点重合于点G,下面结论成立的是________.(填序号)?
①SG⊥平面EFG;②SD⊥平面EFG;
③GF⊥平面SEF;④GD⊥平面SEF.
【解析】在题图甲中,SG1⊥G1E,SG3⊥G3F;
在题图乙中,SG⊥GE,SG⊥GF,GE∩GF=G,所以SG⊥平面EFG,故①正确,显然②错误;若GF⊥平面SEF,则GF⊥EF,而GF与EF不垂直,故③错误;因为SG⊥平面GEF,所以SG⊥GD,所以GD与SD不垂直,即GD与平面SEF不垂直,故④错误.
答案:①
14.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=,则异面直线AD与BC所成角的大小为________.?
【解析】取AC中点M,连接EM,FM,F为DC中点,M为AC中点,
所以FM∥AD,且FM=AD=1,
同理EM∥BC,且EM=BC=1.
在△EMF中作MN⊥EF于N.
在Rt△MNE中,EM=1,EN=,
所以sin∠EMN=,∠EMN=60°,
所以∠EMF=120°,所以AD与BC所成角为60°.
答案:60°
15.棱长为1的正四面体内有一点P,由点P向各个面引垂线,垂线段的长分别为d1,d2,d3,d4,则d1+d2+d3+d4的值为________.?
【解析】设四面体的高为h则h==,Sh=
S(d1+d2+d3+d4),所以d1+d2+d3+d4=h=.
答案:
16.降水量是指水平地面上单位面积降雨的深度,用上口直径为38
cm,底面直径为24
cm,深度为35
cm的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量,如果在一次降雨过程中,此桶盛得的雨水正好是桶深的,则水面半径是________,本次降雨的降水量是________(精确到1
mm).?
【解析】桶内水的深度为×35=5(cm),设水面半径为x
cm,则有=,解得x=13,
V水=π·5(122+12×13+132)=π.
设单位面积雨水深度为h,则V水=π·192·h,
所以π·192·h=π,所以h≈2.2
cm=22
mm.
答案:13
cm 22
mm
四、解答题(共70分)
17.(10分)直三棱柱的高为6
cm,底面三角形的边长分别为3
cm,
4
cm,5
cm,将棱柱削成圆柱,求削去部分体积的最小值.
【解析】如图所示,只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时,圆柱的体积最大,削去部分体积才能最小,设此时圆柱的底面半径为R,圆柱的高即为直三棱柱的高6
cm.因为在△ABC中,AB=
3
cm,BC=4
cm,AC=5
cm,所以△ABC为直角三角形.
根据直角三角形内切圆的性质可得7-2R=5,
所以R=1
cm,所以V圆柱=πR2·h=6π(cm3).
而三棱柱的体积为V三棱柱=×3×4×6=36(cm3),
所以削去部分的体积为36-6π=6(6-π)(cm3).
18.(12分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.
(1)求证:AC⊥B1D;
(2)求三棱锥C-BDB1的体积.
【解析】(1)因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,
所以BB1⊥平面ABCD.
因为AC?平面ABCD,所以BB1⊥AC.
又因为底面ABCD为正方形,所以AC⊥BD.
因为BB1∩BD=B,所以AC⊥平面BB1D.
因为B1D?平面BDB1,所以AC⊥B1D.
(2)连接B1C,=.
因为B1B⊥平面ABCD,
所以B1B是三棱锥B1-BDC的高.
因为=S△BDC·BB1=××2×2×2=.
所以三棱锥C-BDB1的体积为.
19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,
AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,点E是PC的中点,F是AB的中点.
(1)求证:BE∥平面PDF;
(2)求直线BE与平面PAD所成角的正弦值.
【解析】(1)取PD中点为M,连接ME,MF.
因为E是PC的中点,
所以ME是△PCD的中位线,
所以MECD.
因为F是AB的中点且四边形ABCD是菱形,ABCD,
所以MEAB.所以MEFB.
所以四边形MEBF是平行四边形.
从而BE∥MF,
因为BE?平面PDF,MF?平面PDF,
所以BE∥平面PDF.
(2)由(1)得BE∥MF,所以直线BE与平面PAD所成角就是直线MF与平面PAD所成角.
取AD的中点G,连接BD,BG.
因为底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,
所以△ABD是正三角形,所以BG⊥AD,
因为PA⊥平面ABCD,PA?平面PAD,
所以平面PAD⊥平面ABCD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,BG⊥AD,
所以BG⊥平面PAD,
过F作FH∥BG,交AD于H,
则FH⊥平面PAD,连接MH,
则∠FMH就是MF与平面PAD所成的角.
又F是AB的中点,所以H是AG的中点.
连接MG,又M是PD的中点,所以MG?PA.
在Rt△MGH中,MG=PA=,
GH=AD=,
所以MH=.在正三角形ABD中,BG=,
所以FH=BG=.
在Rt△MHF中,MF==,
所以sin∠FMH===,
所以直线BE与平面PAD所成角的正弦值为.
20.(12分)已知在三棱锥P-ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AB=20.D为AB的中点,且△PDB为等边三角形,PA⊥PC.
(1)求证:平面PAC⊥平面ABC;
(2)求二面角D-AP-C的正弦值.
【解析】(1)在Rt△ACB中,D是斜边AB的中点,
所以BD=DA.
因为△PDB是等边三角形,
所以BD=DP=BP,则BD=DA=DP,
因此△APB为直角三角形,即PA⊥BP.
又PA⊥PC,PC∩BP=P,
所以PA⊥平面PCB.
因为BC?平面PCB,所以PA⊥BC.
又AC⊥BC,PA∩AC=A,
所以BC⊥平面PAC.
因为BC?平面ABC,
所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)由(1)知PA⊥PB及已知PA⊥PC,
故∠BPC即为二面角D-AP-C的平面角.
由(1)知BC⊥平面PAC,则BC⊥PC.
在Rt△BPC中,BC=4,BP=BD=10,
所以sin∠BPC===,
即二面角D-AP-C的正弦值为.
21.(12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
【解析】(1)由已知可得,∠BAC=90°,即BA⊥AC.
又因为BA⊥AD,AC∩AD=A,
所以AB⊥平面ACD.
因为AB?平面ABC,
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.
又BP=DQ=DA,所以BP=2.
如图,过点Q作QE⊥AC,垂足为E,则QEDC.
由已知及(1)可得,
DC⊥平面ABC,
所以QE⊥平面ABC,QE=1.
因此,三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP=×S△ABP×QE=××3×
2sin
45°×1=1.
22.(12分)如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=2,∠BAD=∠CDA=45°.
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;
(2)证明:CD⊥平面ABF;
(3)求二面角B-EF-A的正切值.
【解析】(1)因为四边形ADEF是正方形,所以FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角.
因为FA⊥平面ABCD,所以FA⊥CD,故ED⊥CD.
在Rt△CDE中,CD=1,ED=2,CE==3,
故cos∠CED==.
所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为.
(2)过点B作BG∥CD,交AD于点G,则∠BGA=∠CDA=45°.
由∠BAD=45°,可得BG⊥AB.
从而CD⊥AB.又CD⊥FA,FA∩AB=A,
所以CD⊥平面ABF.
(3)由(2)及已知,可得AG=,即G为AD的中点.
取EF的中点N,连接GN,则GN⊥EF.
因为BC∥AD,所以BC∥EF.
过点N作NM⊥EF,交BC于M,
则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角.
连接GM,可得AD⊥平面GNM,故AD⊥GM.
从而BC⊥GM.由已知,可得GM=.
由NG∥FA,FA⊥GM,得NG⊥GM.
在Rt△NGM中,tan∠GNM==.
所以二面角B-EF-A的正切值为.
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(第13章)
(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面是
( )
A.矩形
B.正方形
C.梯形
D.平行四边形
2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是
( )
3.若平面α∥平面β,直线a?平面α,点B∈平面β,则在平面β内过点B的所有直线中
( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.一定不存在与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
4.在如图所示的四个正方体中,能得出AB⊥CD的是
( )
5.正六棱台的两底边长分别为1
cm,2
cm,高是1
cm,则它的侧面积为________cm2
( )?
A.
B.9
C.
D.3
6.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=BB1=2,AC=2,则异面直线BD与AC所成的角为
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
7.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是
( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
8.(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为
( )
A.
B.
C.1
D.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的是
( )
A.垂直于同一个平面的两条直线平行
B.若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直
C.一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行
D.一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直
10.已知m,n是两条不重合的直线,α,β,γ是三个两两不重合的平面,下列选项说法正确的为
( )
A.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
B.若m?α,n?β,m∥n,则α∥β
C.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
D.若m,n是异面直线,m?α,m∥β,n?β,n∥α,则α∥β
11.在三棱锥D-ABC中,AB=BC=CD=DA=1且AB⊥BC,CD⊥DA,M,N分别是棱BC,CD的中点,下面结论正确的是
( )
A.AC⊥BD
B.MN∥平面ABD
C.三棱锥A-CMN的体积的最大值为
D.AD与BC一定不垂直
12.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是对角线AC1上的动点,点P与A,C1不重合,则下面结论中正确的是
( )
A.存在点P,使得平面A1DP∥平面B1CD1
B.存在点P,使得AC1⊥平面A1DP
C.S1,S2分别是△A1DP在平面A1B1C1D1,平面BB1C1C上的正投影的面积,对任意点P,都有S1≠S2
D.△A1DP面积的最小值是
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.如图甲,在正方形SG1G2G3中,E,F分别是边G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点,现沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图乙),使G1,G2,G3三点重合于点G,下面结论成立的是________.(填序号)?
①SG⊥平面EFG;②SD⊥平面EFG;
③GF⊥平面SEF;④GD⊥平面SEF.
14.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=,则异面直线AD与BC所成角的大小为________.?
15.棱长为1的正四面体内有一点P,由点P向各个面引垂线,垂线段的长分别为d1,d2,d3,d4,则d1+d2+d3+d4的值为________.?
16.降水量是指水平地面上单位面积降雨的深度,用上口直径为38
cm,底面直径为24
cm,深度为35
cm的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量,如果在一次降雨过程中,此桶盛得的雨水正好是桶深的,则水面半径是________,本次降雨的降水量是________(精确到1
mm).?
四、解答题(共70分)
17.(10分)直三棱柱的高为6
cm,底面三角形的边长分别为3
cm,
4
cm,5
cm,将棱柱削成圆柱,求削去部分体积的最小值.
18.(12分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.
(1)求证:AC⊥B1D;
(2)求三棱锥C-BDB1的体积.
19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,
AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,点E是PC的中点,F是AB的中点.
(1)求证:BE∥平面PDF;
(2)求直线BE与平面PAD所成角的正弦值.
20.(12分)已知在三棱锥P-ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AB=20.D为AB的中点,且△PDB为等边三角形,PA⊥PC.
(1)求证:平面PAC⊥平面ABC;
(2)求二面角D-AP-C的正弦值.
21.(12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
22.(12分)如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=2,∠BAD=∠CDA=45°.
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;
(2)证明:CD⊥平面ABF;
(3)求二面角B-EF-A的正切值.
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