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(总课时04)§1.1等腰三角形（4）
【学习目标】理解等边三角形的判定定理和直角三角形的特殊性质的内容，并能应用.
【学习重难点】等边三角形性质和判定的应用．
【导学过程】
一.知识回顾
1.等边三角形有哪些性质？
(1)等边三角形的三边都____；
(2)等边三角形的三个内角都____，并且每个角都等于____°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有_______条对称轴，
分别为____________________；
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线_____，且长度____．
2.在△ABC中，若∠B=∠C,则这个三角形是____三角形，这一定理可简称为____________.
3.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，M是BC的中点，那么∠AMC＝____，∠BAM＝____.
二.探究新知
探究一：等边三角形的判定.
除了通过等边三角形的定义外，还有其他方法来判断一个三角形是否为等边三角形？
思考：（1）一个三角形的三个角满足什么条件时，这个三角形是等边三角形？
猜想1：____________的三角形是等边三角形.
验证：如图1画一个三角形，使每一个角都等60°，用刻度尺量一量，三边是否相等.
已知：在△ABC中，____________
求证：△ABC是________.
证明：∵____________∴AB=AC=BC(____________________)
∴△ABC是等边三角形
判定定理1:____________的三角形是等边三角形.
符号语言：在△ABC中，∵____________∴△ABC为等边三角形
思考：（2）一个等腰三角形的某个角度满足什么条件时，这个等腰三角形是等边三角形？
猜想2：____________的等腰三角形是等边三角形。
验证：如图2将圆规的两只脚张开到60°，放在纸面上，量一量两只脚尖间的距离是否等于两脚的长.
已知：在△ABC中，AB＝AC，________
求证：△ABC是________.
证明：∵AB＝AC，________，∴____=____=60°
∴△ABC是________.（________）
判定定理2:____________的等腰三角形是等边三角形.
符号语言：在△ABC中，∵____________，∴△ABC为等边三角形.
探究二：含有30?角的直角三角形性质及其证明
将两个含有30°的三角尺如图3摆放在一起你能借助这个图形,找到
Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
发现：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边____________.
已知：如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB
证明：如图4，延长BC至点D,使CD=BC,连接AD.
∵∠ACB=∠ACD=____°，AC=AC∴△ABC≌________(____)
∴AB=____(全等三角形的对应边相等)
∵∠B=60°∴△ABD是________.(_____________________),
∴BC=____BD=____AB
定理：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边________.
符号语言：在Rt△ABC中,∠C=90°,∵________，∴________
推论：在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A=30°
则有BC:AC:AB=________.
三.典例与练习
例1.如图5,等边三角形ABC,以下三种方法分别得到的三角形ADE都是等边三角形吗？为什么？
（1）在边AB，AC，分别截取AD=AE
（2）∠ADE=60°，D，E分别在边AB，AC上
（3）过边AB上D点，作DE∥BC，交AC于E点
解：（1）____，理由_________________________________。
（2）___，____________________________。
（3）___，___________________________。
练习1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为____cm.
例2.如图6，在Rt△ABC中，∠B=30°，BD=AD，BD=12，求DC的长.
解：在Rt△ABC，∠B=30°∵BD=AD，∴∠B=______=____
∴∠ADC=____.
∵∠C=90°,∴∠DAC=____.在Rt△ADC中,∠DAC=____∴CD=____AD
(________________________).∵BD=AD=12,∴CD=____.
练习2.求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图7，在△ABC中，AB=AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高.
求证：CD＝0.5AB
证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°
∴∠ACB＝____＝____(________).
∴∠DAC＝_________＝____.∵CD是腰AB上的高，
∴∠ADC＝90°.∴CD＝____AC
(_____________________________).
∴CD=____AB.
四.课堂小结
1.判断等边三角形的三种方法：
①定义：________都相等的三角形是等边三角形.
②判定定理1：________都相等的三角形是等边三角形.
③判定定理2.有一个角等于60°的____三角形是等边三角形.
2.特殊直角三角形的性质：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边____________.
五.分层过关
1.在△ABC中，BC=AC，若________（只填一种情况），则△ABC是等边三角形。
2.如图8，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为(
)
A．BD＝CD
B．BD＝2CD
C．BD＝3CD
D．BD＝4CD
3.如图9已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是(
)A．3
B．4
C．8
D．9
4.如图10，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果AB=8cm，则BE=____cm，∠BDE=____.
5.如图11，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，BD=BC，∠DBC=60°，点E在△ABC外，∠BCE=150°，
∠ABE=60°．（1）则∠ADB=____；
（2）判断△ABE的形状并加以证明；
（3）连接DE，若DE⊥BD，DE=8，求AD的长．
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第一章
三角形的证明
(总课时04)§1.1等腰三角形（4）
理解等边三角形的判定定理和直角三角形的特殊性质的内容，并能应用.
学习目标
学习重难点
等边三角形性质和判定的应用．
导学过程
三边的垂直平分线
三
60
相等
相等
相等
重合
20°
等腰
90°
等角对等边
在同一个三角形中等角对等边
三个角都相等
∠B=∠C=∠A
∠A=∠B=∠C=60°
等边三角形
∠A=∠B=∠C
三个角都相等
等边三角形
判定定理1
有一个角等于60°
∠B
∠A=60
∠C
∠A=60
等边三角形
有一个角等于60°
AB＝AC，∠A=60°
斜边的一半
△ADC
90
等边三角形
AD
SAS
判定定理2
0.5
0.5
∠A=30°
斜边的一半
BC=0.5AB
由∠ADE=60°可得，三角形的三个角均为60°
是
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。
是
是
由DE∥BC知三角形ADE的三个角均为60°
9
∠BAD30°角所对的直角边等于斜边的一半
60°
∠BAD
30°
30°
30°
6
0.5
等边对等角
15°
∠B
30°角所对的直角边等于斜边的一半
0.5
30°
∠B＋∠ACB
0.5
三条边斜边的一半
等腰
三个角
三条边
B
∠A=60°
30°
C
2
150°中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时04)§1.1等腰三角形（4）
【学习目标】理解等边三角形的判定定理和直角三角形的特殊性质的内容，并能应用；
【学习重难点】等边三角形性质和判定的应用．
【导学过程】
一.知识回顾
1.等边三角形有哪些性质？
(1)等边三角形的三边都相等；
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．
2.在△ABC中，若∠B=∠C,则这个三角形是等腰三角形，这一定理可简称为等角对等边.
3.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，M是BC的中点，那么∠AMC＝90°，∠BAM＝20°.
二.探究新知
探究一：等边三角形的判定.
除了通过等边三角形的定义外，还有其他方法来判断一个三角形是否为等边三角形？
思考：（1）一个三角形的三个角满足什么条件时，这个三角形是等边三角形？
猜想1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
验证：如图1画一个三角形，使每一个角都等60°，用刻度尺量一量，三边是否相等.
已知：在△ABC中，∠B=∠C=∠A，
求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵∠A=∠B=∠C=60°∴AB=AC=BC(在同一个三角形中等角对等边)
∴△ABC是等边三角形
判定定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形.
符号语言：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C∴△ABC为等边三角形
思考：（2）一个等腰三角形的某个角度满足什么条件时，这个等腰三角形是等边三角形？
猜想2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
验证：如图2将圆规的两只脚张开到60°，放在纸面上，量一量两只脚尖间的距离是否等于两脚的长.
已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A=60°
求证：△ABC是等边三角形
证明：∵AB＝AC，∠A=60°，∴∠B=∠C=60°
∴△ABC是等边三角形.（判定定理1）
判定定理2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
符号语言：在△ABC中，∵AB＝AC，∠A=60°，∴△ABC为等边三角形.
探究二：含有30?角的直角三角形性质及其证明
将两个含有30°的三角尺如图3摆放在一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC
的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
发现：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边斜边的一半.
已知：如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB
证明：如图4，延长BC至点D,使CD=BC,连接AD.
∵∠ACB=∠ACD=90°，AC=AC∴△ABC≌△ADC(SAS)
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)∵∠B=60°∴△ABD是等边三角形
（判定定理2),∴BC=BD=AB
定理：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边斜边的一半.
符号语言：在Rt△ABC中,∠C=90°,∵∠A=30°，∴BC=AB
推论：在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A=30°则有BC:AC:AB=1：：2.
三.典例与练习
例1.如图5,等边三角形ABC,以下三种方法分别得到的三角形ADE都是等边三角形吗？为什么？
（1）在边AB，AC，分别截取AD=AE
（2）∠ADE=60°，D，E分别在边AB，AC上
（3）过边AB上D点，作DE∥BC，交AC于E点
解：（1）是，理由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
（2）是，由∠ADE=60°可得，三角形的三个角均为60°.
（3）是，由DE∥BC知三角形ADE的三个角均为60°.
练习1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为9cm.
例2.如图6，在Rt△ABC中，∠B=30°，BD=AD，BD=12，求DC的长.
解：在Rt△ABC，∠B=30°∵BD=AD，∴∠B=∠BAD=30°∴∠ADC=60°.
∵∠C=90°,∴∠DAC=30°.在Rt△ADC中,∠DAC=30°∴CD=0.5AD
(30°角所对的直角边等于斜边的一半).
∵BD=AD=12,∴CD=6.
练习2.求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图7，在△ABC中，AB=AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高.
求证：CD＝0.5AB
证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝30°.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴CD＝0.5AC
(30°角所对的直角边等于斜边的一半).
∴CD=0.5AB.
四.课堂小结
1.判断等边三角形的三种方法：
①定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.
②判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
③判定定理2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
2.特殊直角三角形的性质：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边斜边的一半.
五.分层过关
1.在△ABC中，BC=AC，若∠A=60°（只填一种情况），则△ABC是等边三角形。
2.如图8，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为( B )
A．BD＝CD
B．BD＝2CD
C．BD＝3CD
D．BD＝4CD
3.如图9已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是( C )
A．3
B．4
C．8
D．9
4.如图10，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果AB=8cm，则BE=2
cm，
∠BDE=30°.
5.如图11，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，BD=BC，∠DBC=60°，点E在△ABC外，∠BCE=150°，∠ABE=60°．（1）则∠ADB=150°；
（2）判断△ABE的形状并加以证明；
（3）连接DE，若DE⊥BD，DE=8，求AD的长．
解（2）解：结论：△ABE是等边三角形．
理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
，∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE，∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形．
（3）解：连接DE．
∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，
∴∠EDC=30°，∴EC=DE=4，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC=4．
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