2.2等差数列-人教A版高中数学必修五课件（52张PPT）

2.2等差数列
数列：
实质：
得到数列项的方法：
按照一定顺序排成的一列数称为数列。
数列是一种特殊的函数
递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系 可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。(反映项与项之间的关系)
通项公式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
复习回顾
思考：下列数列都有什么特点？
(1) 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15
从第二项起每一项与它前一项的差都等于2
(2)-3 , 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18
从第二项起每一项与它前一项的差都等于3
(3)70 , 60 , 50 , 40 , 30 , 20 , 10
从第二项起每一项与它前一项的差都等于-10
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…，an， …从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d
那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等差数列的公差。
这就是数列的递推公式
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列?an-an-1=d(n≥2，n ∈N*)
(2){an}是等差数列? an+1-an=d(n ∈N*)
判断题：
①数列a，a，a，a，…是等差数列。（ ）
②数列0，0，0，0，…是等差数列。（ ）
③若an－an+1=3 (n∈N*)，则{an}是公差为3的等差数列。（　）
④若a2－a1=a3－a2, 则数列{an}是等差数列。（　）
√
√
×
×
1、等差数列要求从第2项起，后一项与前一项作差。 不能颠倒。
2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正数，也可以是0和负数。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十分重要。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列。
（3）求公差d时，要注意相邻两项相减的顺序d=an-an-1或d=an+1-an
（4）公差d∈R，当d=0时，数列为常数列；
当d>0时，数列为递增数列；
当d<0时，数列为递减数列.
（5）d=an-an-1或d=an+1-an是证明或判断一个数列是等差数列的依据
温馨提示:
（4）公差d∈R，当d=0时，数列为常数列；
当d>0时，数列为递增数列；
当d<0时，数列为递减数列.
（5）d=an-an-1或d=an+1-an是证明或判断一个数列是等差数列的依据
求数列(1)(2)的通项公式
(1) 0, 5, 10, 15, 20
(2) 48, 53, 58, 63
(3) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5
(4) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360
对于一般的等差数列,有没有统一的通项公式呢?
2、等差数列通项公式的推导
如果一个数列a1,a2,a3,…,an…是等差数列，它的公差是d，那么
不完全归纳法：
这种导出公式的方法不够严密
∵{an}是等差数列，则有
a2=a1+d
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
a5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d
……
an=an-1+d=a1+(n – 1)d
∴an=a1+(n – 1)d
又，当n=1时,等式成立
∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法一
累加法：
这一推导思想在今后的数列求和问题中也有重要的应用
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d
an-1–an-2=d
an-2–an-3=d
……
a2–a1=d
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
又，当n=1时,等式成立
∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
an=a1+(n–1)d (a1为首项,d为公差, n∈N*)
(2)
(3)在上述公式中，有an,a1,n,d四个变量，只要知道其中任意三个就可以求出第四个
(1)要求等差数列的通项公式，只需求出a1,d两个基本量即可.
2、等差数列的通项公式
例1
(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；
(2)判断–401是不是等差数列 –5,–9 ,–13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
解：(1)由题意得：a1=8,d=5–8=–3,n=20
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=-3n+11
∴a20=11–3×20=-49
(2)由题意得：
a1=-5,d=-9-(-5)=-4
∴这个数列的通项公式是：
an=-5+ (n - 1)×(-4)=-4n-1
令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项
练习
(1)求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；
(2)判断100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
解：(1)根据题意得：
a1=3,d=7-3=11-7=4,
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=4n-1
∴a4=4×4-1=15,
a10=4×10-1=39.
（2）由题意得：
a1=2,d=9-2=16-9=7
∴这个数列的通项公式是：
an=2+ (n-1) × 7
=7n-5(n≥1)
令100=7n-5,得 n=15
∴100是这个数列的第15项。
例2 在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求首项a1与d；
这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：
解：由题意得：
∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3.
方程思想：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。
(2)已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3, 求a12.
解: 依题意得：
a1+2d=9 解之得 a1 =11
a1+8d=3 d =-1
∴这个数列的通项公式是：an=11- (n-1)=12-n
故a12= 0.
(2)已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19, 求a1和d
解: 依题意得：
a1+3d=10 解之得 a1 =1
a1+6d=19 d =3
例3 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．
解：由题意得，梯子的各级的宽度构成一个等差数列{an}，且a1=33,a12=110.
设公差为d，则根据等差数列的通项公式可得a12=a1+11d，即110=33+11d，所以d=7.
故梯子中间各级的宽度分别为40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.
有无其他的解法呢？
例2 (1)在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求首项a1与d；
3、等差数列通项公式的变形:
其中n、m 关系可以有n>m、n=m、n对任意的n、m∈N*，在等差数列中，有
an=a1+(n–1)d，am=a1+(m–1)d
两式相减，有an–am=(n–m)d
∴an=am+(n–m)d
请同学们熟记这个变形式，它在解题过程中经常被应用！
等差数列{an}的通项公式:
n,m是任意的正整数
an=a1+(n–1)d
an=am+(n–m)d
例2 在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求首项a1与d；
解法二：利用等差数列的性质an–am=(n–m)d
把a5=10，a12=31代入得31-10=(12-5)d,
解得d=3
所以a1=a5-(5-1)d=-2
例3 已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p,q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判断{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看an–an-1(n>1)是不是一个与n无关的常数
解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1(n>1)
求差得
它是一个与n无关的数，所以{an}是等差数列
问：这个等差数列的首项与公差分别是多少？
an=pn+q=(p+q)+p(n-1) 首项：p+q，公差：p
结论
an=pn+q，其中p,q为常数，且p≠0
{an}是等差数列
练习
an=5n+2，则a1，d各是多少？
7、5
探究1：等差数列的函数本质
问题1：在直角坐标系中，画出通项公式为an=3n-5的数列的图象.这个图象有什么特点？
结论：这个图象是均匀分布的一群孤立点
an=3n-5
探究1：等差数列的函数本质
问题2：在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象。你发现了什么？据此说一说等差数列an=pn+q的图象与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系.
结论：等差数列an=pn+q的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上时对应的点的集合
an=3n-5
y=3x-5
解法三：
解法四：
②等差数列通项公式：an=a1+(n–1)d (n≥1)
推导出公式：an=am+(n–m)d
①等差数列定义：an-an-1=d(n≥2，n ∈N*)
小结
④an=pn+q，其中p,q为常数，且p≠0
?{an}是等差数列
③几种计算公差d的方法：
(1)2，( )，4 (2)-12，( )，0
(3)a，( )，b
3
-6
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项
4.等差中项:
探究2：在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
思考：数列1，3，5，7，9，11，13中7是哪些项的等差中项？
等差中项常见的一个结论：
60°
在△ABC中，若A,B,C成等差数列，则B=_______
例1、已知a,b,c成等差数列，求二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的交点个数
例2、已知三个数成等差数列的和是12，积是48，求这三个数.
设数技巧
已知三个数成等差数列，且和已知时常利用对称性设三数为：a-d , a , a+d
四个数怎么设？
例3、四个数成递增等差数列，中间两数和为2，首末两项的积为-8，求这四个数．
解法1：
设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d(公差为2d)，
依题意，2a=2，且(a-3d)(a+3d)=-8，
即a=1，a2-9d2=-8，
∴d2=1，∴d=1或d=-1.
又四个数成递增等差数列，
所以d＞0，∴d=1，
故所求的四个数为-2,0,2,4.
例4、数列{an}是等差数列，m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，求证：am+an=ap+aq
5、下标和性质：
数列{an}是等差数列，m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq
解：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12
及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
(2)已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
例1、在等差数列{an}中：
(3)已知 a1+a4+a7 =15， a2a4a6=45, 求数列的通项公式
解: ∵
∴
∴
∴
解得 或
若 ，则 ，∴
同理可得
巩固练习
1、已知2、x、6成等差数列，则 x = .
2、在等差数列{an}中，若a2=4， a12 = 24,
则a7 = ，a20 = .
3、在等差数列{an}中，若a3 +a7 = 10，则
a1+a9 = , a5 = .
4、在等差数列{an}中，若a1 +a2 = 10，则
a3+a4=38，则a5+a6= .
5、等差数列{an}中，a2+a3+a10+a11= 38，则a5+a8= .
6、在等差数列{an}中，若 a3 + a8 = 10，则
3a5+a7 = .
重要性质：P39 5
知识拓展
1 、若a1，a2，a3，…，an是有穷的等差数列，则有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……=ai+an-i+1
2 、若{an}是等差数列，则有
2an=an-1+an+1(n>1)，2an=an-k+an+k(n>k>0)
等差数列判断方法2
重要性质：P39 4
知识拓展
3、若{an}和{bn}均为等差数列，则数列
{lan+b}(l，b为常数)也成等差数列
{an±bn}、{kan±mbn}仍成等差数列
线性关系
4、等差数列{an}每隔一定距离抽取一项所组成的数列仍成等差数列.
例如:a1、a3、a5、a7、…仍成等差数列,
a7、a14、a21、… 、a7m、…仍成等差数列
等差数列{an}连续部分取项，所组成的数列仍成等差数列.
例如：a1+a2+a3， a4+a5+a6，…是等差数列.
在等差数列中连续部分取项，或等间隔取项，新数列仍是等差数列
②等差数列通项公式：an=a1+(n–1)d (n≥1)
推导出公式：an=am+(n–m)d
①等差数列定义：an-an-1=d(n≥2，n ∈N*)
小结
④an=pn+q，其中p,q为常数，且p≠0
?{an}是等差数列
③几种计算公差d的方法：
⑤等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项
⑥数列{an}是等差数列，m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq. 若m+n=2p，则am+an=2ap.
⑦数列{an}是等差数列?an-an-1=d(n≥2)
?an+1-an=d
?2an=an-1+an+1(n≥2).
⑧在等差数列中连续部分取项，或等间隔取项，新数列仍是等差数列
随堂练习
1、在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6= .
2、设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1·a2·a3=80，则a11+a12+a13= .
3、设{an}、{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，则a37+b37= .
4、设数列{an}是公差为2的等差数列，且a1+a3+…+a19=35，则a2+a4+…+a20= .
42
105
100
55
5、已知a、b、lg6、2lg2+lg3为等差数列，
求a、b的值.
6、两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？
7、在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，求a101
11、已知{an}是等差数列，a1+3a8+a15=1，求2a9—a10= .
1
13、已知{an}是等差数列，且a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于 .
50
8
15、在等差数列{an}中a1=83，a4=98，则这个数列有多少项在300到500之间？
40
D