2.3等差数列的前n项和-人教A版高中数学必修五课件（38张PPT）

2.3等差数列的前n项和
实例探究:
高斯(1777—1855) 德国著名数学家。
首项与末项的和：1+100=101，
第2项与倒数第2项的和2+99=101，
· · · · · ·
第50项与倒数第50项的和：50+51=101，
于是所求的和是： 101×50=5050。
问题:如何求一般等差数列的前n项和？
等差数列的前n项和
数列{an}中，a1+a2+a3+……+an称为数列{an}的前n项和，记为Sn.
Sn=a1+a2+a3+……+an
Sn=an+an-1+an-2+……+a2+a1
如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？
倒序相加法
探究发现
如何求一般等差数列{an}的前n项和Sn？
Sn=a1+(a1+d)+……+[a1+(n-1)d]
Sn=an+(an-d)+……+[an-(n-1)d]
2Sn=n(a1+an)
an=a1+(n-1)d
公式1
公式2
观察公式2,看其与二次函数有何联系？
将公式2： 变形可得
当d≠0时，Sn是一个常数项为零的二次函数.
当d=0时，Sn=na1，{an}是一个常数列，
三、公式的应用：
例1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 {an}的Sn
知三求二
(1)a1=5,an=95,n=10.求S10
(2)a1=100,d=-2,n=50.求S50
(3)a1=14.5,d=0.7,an=32.
前9项
例2.等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项和是54?
变式：
1645
(1)求等差数列13，15，17，…81的各项和。
a51+a52+…+a80=393
(2)在等差数列{an}中，a4=0.8，a11=2.2,
求a51+a52+…+a80
三、公式的应用：
2n
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=S3=12，则{an}的通项an=_____
(4)已知数列的通项an=-5n+2，则其前n项和为______
(5)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=15，a10=25.
(1)求通项an；
(2)若Sn=112，求n.
an=7+(n-1)×2=2n+5
n=8
3.已知a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则S13=___
100
例3.在等差数列{an}中，
(1)a3+a33=6，求S35；
(2) a33 =10，求S65 .
变式：在等差数列{an}中
-30
156
2.已知a1-a4-a8-a12+a15=2，则S15=___
三、公式的应用：
1.已知a6+a9+a12+a15=20，则S20=___
四、小结
本节课学习了以下内容：
1、等差数列的前项和公式1：
2、等差数列的前项和公式2：
3、当d≠0时，等差数列的前n项的和是一个常数项为零的二次函数
五、等差数列前n项和问题
例1、已知数列{an}的前n项和为：Sn=3n2-2n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解：∵Sn=3n2-2n，∴a1=S1=3-2=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5，
当n=1时，a1=1也满足上式.
∴an=6n-5，而an+1-an=6
∴数列{an}成等差数列，且首项为1，公差为6
方法点评：a1=S1是求数列通项的必经之路，an=Sn-Sn-1，一般是针对n≥2时的自然数n而言的，因此，要注意验证n=1时是否也适合，若不适合时，则应分段写出通项公式．
由数列的前n项和求数列的通项公式的步骤：
1、令n=1，求a1，即a1=S1.
2、当n≥2时，an=Sn-Sn-1 .
3、验证n=1时， an=Sn-Sn-1是否成立.
4、得出结论.
变式：已知数列{an}的前n项和为：Sn=4n2+2(n∈N*)，则求an
解：∵Sn=4n2+2，∴a1=S1=4+2=6，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n2+2-[4(n-1)2+2]=8n-4，
当n=1时，a1=8-4=4≠6不满足.
∴
练习
例3.在等差数列{an}中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和。
解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意，得
即：
解得：
∴ a21=4+20×6=124，
∴
从上例中我们发现：S10，S20-S10，S30-S20也成等差数列，你能得出更一般的结论吗？
等差数列前n项和的性质：
①等差数列中：Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k也成等差数列.
即等差数列依次每k项之和仍成等差数列，其公差是k2d
练习：
1、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列的前3m项的和为多少？
S3m=210
2、等差数列{an}，S10=10，S20=100，求S40
S40=520
②已知两个等差数列{an},{bn}，它们的前n项和分别是Sn,Tn，则
等差数列前n项和的性质：
已知两个等差数列{an},{bn}，它们的前n项和分别是Sn,Tn，若
练习
例1、等差数列{an}中，a1=25，S17=S9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值．
六、等差数列前n项和的最值问题
解二：∵S17=S9，∴S17-S9=0
即a10+a11+…+a17=0.
∵a10+a17=a11+a16=…=a13+a14.∴a13+a14=0
∵a1=25>0，∴a13>0，a14<0.
∴S13最大，最大值为169.
等差数列的前n项和的最值的求法
(1)利用二次函数求Sn的最值
知道公差不为0的等差数列的前n项和Sn可以表示成Sn=an2+bn(a≠0)的形式，我们可将其变形为
结合二次函数可知Sn的最值情况如下：
若a＞0，则当 最小时，Sn有最小值；
若a＜0，则当 最小时，Sn有最大值．
要注意n的取整性和n的解的个数
等差数列的前n项和的最值的求法
(2)符号转折点法
例2、在等差数列{an}中，a1>0， 前n项之和为Sn， 且S7=S13，问n为何值时Sn最大？
1、已知等差数列{an}中，a1=-2,并且S3=S7，试求Sn的最小值及此时的n的值。
练习
2、已知等差数列{an}中，a1>0,并且S4=S9，试求Sn的最大值时n的值。
6或7
3、等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=24，S11=0
求(1)数列{an}的通项公式
(2)当n为何值时，Sn最大，Sn最大值为多少
n=5或6时,最大值为120.
练习
裂项法求和
一般地，每一项都能拆分为两项的差，累加后能抵消若干项的数列可用裂项求和法求和
求通项公式
1、已知a1=3且an=Sn-1+2n(n≥2，n∈N*)，求an和Sn.
练习