2.4等比数列-人教A版高中数学必修五课件（36张PPT）

2.4 等比数列
引例：
① 如下图是某种细胞分裂的模型：
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1
2
4
8
16
…
②我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。这样，每日剩下的部分都是前一日的一半。如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么，得到的数列是：
1
…
引例：
取出这些数列，观察：有什么共同特征？
一、探究发现
1，2，4，8，16，……
共同特征：
从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数。
(一)定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
理解:
1)公差d可为0，公比q不可以为0。且每一项不为0；
2)公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒。
3)证明一个数列为等比数列，其依据是
4)常数列都是等差数列，但不一定是等比数列。
由定义可知：
观察上式，可以把每一个等式的左边相乘，右边也相乘，等式还成立。
叠乘法
(二)等比数列的通项公式
(n-1个等式)
对于等比数列中的任意两项an，am
(三)等比数列的推导公式
例1、一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18 ,求它的通项公式与第2项.
解：设首项为a1，公比为q，则有
解得
解得
因此，an=5×2n-1
例2、在等比数列{an}中，已知a3=20，a6=160，求an.
解：设等比数列{an}的公比为q,由题意得
-729
9
小结：
1、注意在等比数列中，遇到q的偶次方要注意解的个数。
2、在等比数列的方程中常用的乘，除运算
3、在一些特定问题中， 可以整体运算。
随堂练习
1、下列叙述中正确的是( )
A、等比数列的首项不能为零，但公比可以为零。
B、等比数列的公比q>0时，是递增数列。
C、若数列{an}为常数列，则此数列为等比数列。
D、已知等比数列{an}的通项公式an=(-2)n,则它的公比为-2。
D
2、数列m,m,m,…,m,…( )
A、一定是等比数列
B、既是等差数列又是等比数列
C、一定是等差数列，不一定是等比数列
D、既不是等差数列，也不是等比数列
C
3、已知数列a,a(a-1),a(1-a)2,…是等比数列，则实数a满足
A、a≠1 B、a≠0或a≠1 C、a≠0 D、a≠1且a≠0
D
A
4
7、等差数列{an}中，a1=2，公差不为0，且a1,a3,a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于__________
220
4
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等比数列：
(1)1， ，9 (2)-1， ，-4
(3)-12， ，-3 (4)1， ，1
±3
±2
±6
±1
若a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
(四)等比中项
±4
练习
(1)已知等比数列{an}，a3=7，a7=21，则a5 = ( )
A. 35 B. 63 C. D.
(2)已知等比数列{an}，a3=7，a7=21，则a3和a7 的等比中项是( )
A. 35 B. 63 C. D.
C
D
例题：
2、已知{an}是等比数列且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5
5
1.在等比数列{an}中,a5=4,a7=6,求a9
3. 在2和30之间插入两个正数,使前3个数依次成等比数列,后三个数依次成等差数列,求插入的这两个正数.
9
9
6、18
巩固练习
4．三个正数a,b,c成等比数列，且a+b+c=62, lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为 .
50，10，2或2，10，50
1、若m,n,p,q∈N+，且m+n=p+q，则am·an=aq·ap.
特别的，若2m=p+q， 则am2=apaq
(五)等比数列的性质
4、等比数列所有奇数项符号相同；
所有偶数项符号相同。
(五)等比数列的性质
例题
9
±3
C
81
1、在等比数列{an}中，若a4·a8=9，则a2·a10=____，a6=____，a2·a3·a9·a10=____.
2、在正项等比数列{an}中，若a5·a6=81，则log3a1+log3a2+……+log3a10的值是( )
A、5 B、10 C、20 D、2
9
练习：
2、在等比数列{an}中, a3a4a5=3，a6a7a8=24，则a9a10a11=( )
A. 48 B. 72 C. 144 D. 192
D
A
3、在正项等比数列{an}中，lga3+lga6+lga9=6，则a1a11的值是
A．10 000 B．1 000 C．100 D．10
例3、已知等比数列{an}中，a2+a5=18，a3a4=45，求通项公式an.
练习：
1、在等比数列{an}中，a2a8=36，a1+a9=15，求通项公式an.
3、在等比数列{an}中，a2+a3+a4=28，a3+2
是a2、a4的等差中项，求an.
2、在等比数列{an}中，若a1+a2+a3=7，a1·a2·a3=8，求an.
2、已知递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2、a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=log2an+1，Sn是数列{bn}的前n项和，求使Sn>42+4n成立的n的最小值.
例1、已知三个数成等比数列，且其积为512，若第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，求这三数。
二、综合应用
练习
1、三数成等比数列，积为27，和为13，求这三个数。
2、三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。
例2、已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.
1)求证数列{an+1}是等比数列;
2)求an的表达式
解：1)∵an+1=2an+1.∴ an+1+1=2(an+1)
所以数列{an+1}是等比数列;
2) 由1)知数列{an+1}的首项是a1+1=2，公比是q=2,所以an+1=2×2n-1=2n
∴an=2n-1
例2、已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.求an的表达式
若数列有形如an=pan-1+q(p、q为常数，pq≠0，p≠1) 的线性递推关系，则可用待定系数法设an+m=p(an-1+m)求得an
解二：设an+m=2(an-1+m)，∴ an=2an-1+m，
又an=2an-1+1，∴m=1，
所以an+1=2(an-1+1)
所以{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列
所以an+1=2·2n-1=2n，所以an=2n-1
练习：
1、已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an+2.求an的表达式
例3、在等比数列{an}中，S3= 42 ，a2 + a3 + a4 = 84，求an .
C
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小结
1、理解等比数列的概念
2、判定一个数列是等比数列，不能只验证数列的前几项，需根据定义证明an+1:an是非零常数。也可证明an2=an-1an+1 (n≥2)
3、等比数列的通项公式联系着4个基本量a1,q,n,an。
“知三求第四”是一类最基本的运算问题，注意运用函数与方程思想，整体思想，分类讨论的思想等分析问题和解决问题。