3.4 基本不等式-人教A版高中数学必修五课件（29张PPT）

3.4 基本不等式
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
一、问题引入
你能在图中找出一些相等关系或不等关系吗？
思考：这会标中含有怎样的几何图形？
1.重要不等式
2.基本不等式（均值不等式）
二、新课探究
证明:基本不等式：
要证：
只要证：
要证②，只要证:
要证③，只要证:
①
②
③
④
④式显然成立.当且仅当a=b时， ④中的等号成立.
在右图中，AB是圆的直径，
点C是AB上的一点，
设 AC = a , BC = b 。
过点C作垂直于AB的弦DE，
连接AD、BD。
基本不等式的几何意义是：“半径不小于半弦。”
E
基本不等式的几何解释
2.基本不等式
（均值定理）
1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
此定理又可叙述为：
注意：
2.取等号时的条件相同：当且仅当a =b时，取等号。
1.重要不等式
2.基本不等式（均值不等式）
1.定理成立的条件不同：
前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.
使用均值不等式应注意三个条件：
(1)a、b均为正数;
(2)a+b与ab有一个为定值;
(3)等号必须取到。
以上三个条件缺一不可
简记：“一正”、“二定”、“三相等”。
2.基本不等式（均值不等式）
三、例题讲解
运用均值不等式的过程中，a、b必须为“正数”．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
练习
例4、已知x、y都是正数，求证：
练习
4、已知a、b、c都是正数，a + b + c = 1,
求证：(1 – a)(1 – b)(1 – c)≥ 8abc。
例5、已知a、b、c都是正数，证明：a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c)
练习
5、已知a、b、c都是正数，证明：
公式运用
基本不等式（均值不等式）
正用、逆用、变形用
使用均值不等式应注意三个条件：
(1)a、b均为正数;
(2)a+b与ab有一个为定值;
(3)等号必须取到。
以上三个条件缺一不可. “一正”、“二定”、“三相等”。
例1、
构造积为定值，利用基本不等式求最值
练习:
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
构造和为定值，利用基本不等式求最值
例2、
练习：
1、若x,y∈R+，且x+4y=20，求xy的最大值
练习
例3、
练习
例4、
课后练习
2
1
5
例5、(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？
(2)一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
均值不等式在实际中的应用
例6、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
练习
某公司一年购买某种货物400吨，每次购买x吨，运费为4万元每次.一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，求x的值
课后练习
2、设a>0，b>0，给出下列不等式，其中恒成立的是 。
(1)(2)(3)

B