4.3.2 对数的运算
第四章 指数函数与对数函数
一般地,如果
的b次幂等于N, 就是
,那么数 b叫做
以a为底 N的对数,记作
a叫做对数的底数,N叫做真数。
定义:
复习引入
有关性质:
⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 )
⑵
⑶对数恒等式
复习引入
⑷常用对数:
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N的常用对数
简记作lgN。
⑸自然对数:
在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……
为底的对数,以e为底的对数叫自然对数。
为了简便,N的自然对数
简记作lnN。
(6)底数a的取值范围:
真数N的取值范围 :
复习引入
指数运算性质:
(1)
(2)
(3)
对数会有怎样的运算性质呢?
复习引入
1.对数的运算性质
探究一:
化为对数式,
它们之间有何关系?
结合指数的运算性质能否将
化为对数式?
将指数式
问题探究
试一试:由
得:
由
得
从而得出
问题探究
探究二:结合前面的推导,由指数式
又能得到什么样的结论?
试一试:由
得
问题探究
又能得到什么样的结论?
试一试:由
得
探究三:结合前面的推导,由指数式
问题探究
上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式。
①简易语言表达:“积的对数 = 对数的和”……
②有时逆向运用公式
③真数的取值范围必须是
④对公式容易错误记忆,要特别注意:
学习新知
尝试练习
例1 求下列各式的值:
(1)log2(47×25) (2) lg
典型例题
例2
解(1)
解(2)
用
表示下列各式:
典型例题
换底公式
证明:设
由对数的定义可以得:
即证得
这个公式叫做换底公式,一般取常用对数进行换底
问题探究
在4.2.1的问题1中,求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍,就是计算 ????=????????????????.????????2 的值。
由换底公式可得;????=????????????????.????????2=????????????????????????.????????,
利用计算工具,可得????=????????????????????????.????????≈????.????????≈????,
?
由此可得,大约经过7年,B地景区的
游客人次就达到2001年的2倍,类似地,
可以求出游客人次是2001年的3倍,4倍,
…所需要的年数。
典型例题
2011年3月11日,日本东北部海域发生里氏9.0级地震,
它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川
发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)?
例3.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震M之间的关系为
典型例题
解:设里氏9.0级和里氏8.0级地震的能量分别为E1和E2
设里利用计算工具可得,
虽然里氏9.0级和里氏8.0级地震仅相差1级,但前者释放出的能量却是后者的约32倍。
典型例题
积、商、幂的对数运算法则:
如果a>0,a?1,M>0,N>0,那么:
(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1;
课堂小结
课后作业
作业本A
课本126页练习1,2,3(做在书上)
课本126页习题4.3 第3,4题
金版P88-P90
例3计算:
解法一:
解法二:
典型例题
(1)
例4计算:
解:
典型例题