30.1 二次函数同步练习（含解析）
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30.1二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝x﹣1 B．y＝
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y＝﹣2x2＋1
2．若是二次函数，则a的值为（ ）
A． B．4 C． D．
3．已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2+4x﹣1 B．y＝x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x+1 D．y＝2x2+4x+1
4．下列函数中：①y＝﹣ax2(a＞0)；②y＝(a﹣1)x2(a＜1)；③y＝﹣2x+a2(a≠0)；④．具有过原点，且当x＞0时，y随x增大而减小，这两个特征的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．对于函数y＝x2，下列判断中，正确的是( )
A．若m、n互为相反数，则x＝m与x＝n对应的函数值相等
B．对于同一自变量x，有两个函数值与之对应
C．对于任意一个实数y，有两个x值与之对应
D．对于任何实数x，都有y＞0
6．下列结论正确的是（ ）
A．y=ax2是二次函数 B．二次函数自变量的取值范围是所有实数
C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数的取值范围是非零实数
7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是（ ）
A．a≠0且b≠0 B．a≠0且b≠0，c≠0 C．a≠0 D．a，b，c为任意实数
二、填空题
9．已知函数y=(k+2)是关于x的二次函数，则k=________．
10．在二次函数中，二次项系数a=______，一次项系数b=______，常数项c=______.
11．已知二次函数的图象经过A（2,0），B（0,-6）两点.则这个二次函数的表达式为________________.
12．正方形边长为2，若边长增加x，那么面积增加y，则y与x的函数关系式是______．
三、解答题
13．当m为何值时，是二次函数？
14．已知抛物线交轴于A、B两点，点A在轴左侧，该图像对称轴为，最高点的纵坐标为4，且．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点M在轴上方的抛物线上，且，求点M的坐标．
15．已知抛物线y=－x2+bx+c和x轴正半轴相交于A、B两点，AB=4，P为抛物线上的一点，它的横坐标为－1，∠PAO=45°,tan∠PBO=3/7．
(1)求P点的坐标；
(2)求抛物线的解析式.
16．如图所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)上述函数是什么函数?
(3)自变量x的取值范围是什么?
参考答案
1．D
解析：
解：A、该函数中自变量x的次数是1，属于一次函数，故本选项错误；
B、该函数是反比例函数，故本选项错误；
C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x＋1，属于一次函数，故本选项错误；
D、该函数符合二次函数定义，故本选项正确．
故选：D．
2．B
解析：
解：∵是二次函数，
∴
由①得：
由②得：
．
故选B．
3．A
解析：
解：根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为y＝2x2+4x﹣1．
故选A．
4．B
解析：
解：①∵y＝﹣ax2(a＞0)中a＞0，
∴﹣a＜0，
∴此函数图象过原点，且当x＞0时，y随x增大而减小，故本小题正确；
②∵y＝(a﹣1)x2(a＜1)，
∴a﹣1＜0，
∴此函数图象过原点，且当x＞0时，y随x增大而减小，故本小题正确；
③∵y＝﹣2x+a2(a≠0)中，a≠0，
∴此函数的图象不过原点，故本小题错误；
④∵中a≠0，
∴此函数的图象不过原点，故本小题错误．
故选：B．
5．A
解析：
解：A.∵函数y=x2关于y轴对称，
∴若m、n互为相反数，则x=m与x=n对应的函数值相等正确，故本选项正确，
B.应为对于同一自变量x，有一个函数值与之对应，故本选项错误，
C、对于任意一个实数y，有两个x值与之对应错误，例如，x＝0时，y有唯一的值0对应，故本选项错误；
D、x＝0时，y＝0，所以对于任何实数x，都有y＞0错误，故本选项错误．
故选：A．
6．B
解析：
解：A、应强调a是常数，a≠0，错误；
B、二次函数解析式是整式，自变量可以取全体实数，正确；
C、二次方程不是二次函数，更不是二次函数的特例，错误；
D、二次函数的自变量取值有可能是零，如y=x2，当x=0时，y=0，错误．
故选：B．
7．D
解析：
解：每件的利润为（x-21），
∴y=（x-21）（350-10x）
=-10x2+560x-7350．
故选D．
8．C
解析：
由二次函数的定义得，函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是a≠0.
故选C.
9．2或-3
解析：
根据二次函数的定义列出方程与不等式解答即可．
∵函数y=(k+2)是关于x的二次函数，
∴k2+k﹣4=2，解得k=2或﹣3，
且k+2≠0，k≠﹣2．
故答案为： 2或﹣3．
10．3 -2 1
解析：
将变形得到，故可得二次项系数a=3，一次项系数b=-2，常数项c=1.
11．
解析：
把A（2，0）、B（0，-6）的坐标代入
解得：
所以二次函数的表达式为
12．y=x2+4x
解析：
新正方形的边长为，原正方形的边长为2．
新正方形的面积为，原正方形的面积为4，
，
故答案为．
13．.
解析：
根据题意得，解得，故本题答案为4.
14．（1）；（2）M（0，3）或（－2，3）
解析：
（1）由于抛物线有最高点，且与x轴有交点，
所以a＜0；
∴A（?2，0），
∵图像对称轴为，最高点的纵坐标为4，
∴顶点坐标为（-1，4），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+4，
把A点坐标代入得a（-2+1）2+4=0，
解得a=-1；
故抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3．
（2）由（1）的抛物线解析式可知：A（-3，0），B（1，0），
则AB=4；
由于S△ABM=AB?|yM|=6，
解得|yM|=3；
∵M点在x轴上方，
∴M点的纵坐标为3，代入抛物线的解析式中得：-x2-2x+3=3，
解得x=0，x=-2；
故M（0，3）或（-2，3）．
15．(1) P为(－1,－3);(2)y=.
解析：
(1)如图，过P点作PD垂直x轴，垂足为D(分离出的图形见图2).
因为∠DAP=45°，所以PD=AD，
在Rt△PDBk ,DB=DA+AB=PD+4．
解之，得DP=3，
∴P点纵坐标为－3，故P为(－1,－3)；
（2）OA=DA－OD=2，A(2,0)，
又∵A、P两点在抛物线上，
∴解之，得，
∴y=.
16．(1) y＝x2－9x＋20；(2) 二次函数;(3) 0＜x＜4.
【解析】
试题分析：（1）根据长方形的面积公式，根据图示求解即可得到函数关系式；
（2）通过二次函数的定义可判断；
（3）根据x取值不能大于原方程的长方形的宽进行分析.
试题解析：(1)根据长方形的面积公式，得y＝(5－x)·(4－x)＝x2－9x＋20，所以y与x的函数关系式为y＝x2－9x＋20．
(2)上述函数是二次函数．
(3)自变量x的取值范围是0＜x＜4．
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30.1二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝x﹣1 B．y＝
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y＝﹣2x2＋1
2．若是二次函数，则a的值为（ ）
A． B．4 C． D．
3．已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2+4x﹣1 B．y＝x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x+1 D．y＝2x2+4x+1
4．下列函数中：①y＝﹣ax2(a＞0)；②y＝(a﹣1)x2(a＜1)；③y＝﹣2x+a2(a≠0)；④．具有过原点，且当x＞0时，y随x增大而减小，这两个特征的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．对于函数y＝x2，下列判断中，正确的是( )
A．若m、n互为相反数，则x＝m与x＝n对应的函数值相等
B．对于同一自变量x，有两个函数值与之对应
C．对于任意一个实数y，有两个x值与之对应
D．对于任何实数x，都有y＞0
6．下列结论正确的是（ ）
A．y=ax2是二次函数 B．二次函数自变量的取值范围是所有实数
C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数的取值范围是非零实数
7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是（ ）
A．a≠0且b≠0 B．a≠0且b≠0，c≠0 C．a≠0 D．a，b，c为任意实数
二、填空题
9．已知函数y=(k+2)是关于x的二次函数，则k=________．
10．在二次函数中，二次项系数a=______，一次项系数b=______，常数项c=______.
11．已知二次函数的图象经过A（2,0），B（0,-6）两点.则这个二次函数的表达式为________________.
12．正方形边长为2，若边长增加x，那么面积增加y，则y与x的函数关系式是______．
三、解答题
13．当m为何值时，是二次函数？
14．已知抛物线交轴于A、B两点，点A在轴左侧，该图像对称轴为，最高点的纵坐标为4，且．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点M在轴上方的抛物线上，且，求点M的坐标．
15．已知抛物线y=－x2+bx+c和x轴正半轴相交于A、B两点，AB=4，P为抛物线上的一点，它的横坐标为－1，∠PAO=45°,tan∠PBO=3/7．
(1)求P点的坐标；
(2)求抛物线的解析式.
16．如图所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)上述函数是什么函数?
(3)自变量x的取值范围是什么?
参考答案
1．D
解析：
解：A、该函数中自变量x的次数是1，属于一次函数，故本选项错误；
B、该函数是反比例函数，故本选项错误；
C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x＋1，属于一次函数，故本选项错误；
D、该函数符合二次函数定义，故本选项正确．
故选：D．
2．B
解析：
解：∵是二次函数，
∴
由①得：
由②得：
．
故选B．
3．A
解析：
解：根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为y＝2x2+4x﹣1．
故选A．
4．B
解析：
解：①∵y＝﹣ax2(a＞0)中a＞0，
∴﹣a＜0，
∴此函数图象过原点，且当x＞0时，y随x增大而减小，故本小题正确；
②∵y＝(a﹣1)x2(a＜1)，
∴a﹣1＜0，
∴此函数图象过原点，且当x＞0时，y随x增大而减小，故本小题正确；
③∵y＝﹣2x+a2(a≠0)中，a≠0，
∴此函数的图象不过原点，故本小题错误；
④∵中a≠0，
∴此函数的图象不过原点，故本小题错误．
故选：B．
5．A
解析：
解：A.∵函数y=x2关于y轴对称，
∴若m、n互为相反数，则x=m与x=n对应的函数值相等正确，故本选项正确，
B.应为对于同一自变量x，有一个函数值与之对应，故本选项错误，
C、对于任意一个实数y，有两个x值与之对应错误，例如，x＝0时，y有唯一的值0对应，故本选项错误；
D、x＝0时，y＝0，所以对于任何实数x，都有y＞0错误，故本选项错误．
故选：A．
6．B
解析：
解：A、应强调a是常数，a≠0，错误；
B、二次函数解析式是整式，自变量可以取全体实数，正确；
C、二次方程不是二次函数，更不是二次函数的特例，错误；
D、二次函数的自变量取值有可能是零，如y=x2，当x=0时，y=0，错误．
故选：B．
7．D
解析：
解：每件的利润为（x-21），
∴y=（x-21）（350-10x）
=-10x2+560x-7350．
故选D．
8．C
解析：
由二次函数的定义得，函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是a≠0.
故选C.
9．2或-3
解析：
根据二次函数的定义列出方程与不等式解答即可．
∵函数y=(k+2)是关于x的二次函数，
∴k2+k﹣4=2，解得k=2或﹣3，
且k+2≠0，k≠﹣2．
故答案为： 2或﹣3．
10．3 -2 1
解析：
将变形得到，故可得二次项系数a=3，一次项系数b=-2，常数项c=1.
11．
解析：
把A（2，0）、B（0，-6）的坐标代入
解得：
所以二次函数的表达式为
12．y=x2+4x
解析：
新正方形的边长为，原正方形的边长为2．
新正方形的面积为，原正方形的面积为4，
，
故答案为．
13．.
解析：
根据题意得，解得，故本题答案为4.
14．（1）；（2）M（0，3）或（－2，3）
解析：
（1）由于抛物线有最高点，且与x轴有交点，
所以a＜0；
∴A（?2，0），
∵图像对称轴为，最高点的纵坐标为4，
∴顶点坐标为（-1，4），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+4，
把A点坐标代入得a（-2+1）2+4=0，
解得a=-1；
故抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3．
（2）由（1）的抛物线解析式可知：A（-3，0），B（1，0），
则AB=4；
由于S△ABM=AB?|yM|=6，
解得|yM|=3；
∵M点在x轴上方，
∴M点的纵坐标为3，代入抛物线的解析式中得：-x2-2x+3=3，
解得x=0，x=-2；
故M（0，3）或（-2，3）．
15．(1) P为(－1,－3);(2)y=.
解析：
(1)如图，过P点作PD垂直x轴，垂足为D(分离出的图形见图2).
因为∠DAP=45°，所以PD=AD，
在Rt△PDBk ,DB=DA+AB=PD+4．
解之，得DP=3，
∴P点纵坐标为－3，故P为(－1,－3)；
（2）OA=DA－OD=2，A(2,0)，
又∵A、P两点在抛物线上，
∴解之，得，
∴y=.
16．(1) y＝x2－9x＋20；(2) 二次函数;(3) 0＜x＜4.
【解析】
试题分析：（1）根据长方形的面积公式，根据图示求解即可得到函数关系式；
（2）通过二次函数的定义可判断；
（3）根据x取值不能大于原方程的长方形的宽进行分析.
试题解析：(1)根据长方形的面积公式，得y＝(5－x)·(4－x)＝x2－9x＋20，所以y与x的函数关系式为y＝x2－9x＋20．
(2)上述函数是二次函数．
(3)自变量x的取值范围是0＜x＜4．
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