30.4 二次函数的应用同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 30.4 二次函数的应用同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-24 16:44:58 | ||
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文档简介
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30.4二次函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为（ ）
A．6cm B．12cm C．24cm D．36cm
2．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
3．用长度为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为（ ）m2．
A． B． C．2 D．4
4．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（ ）
A．30万元 B．40万元
C．45万元 D．46万元
5．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
6．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝x2＋a B．y＝a（1＋x）2 C．y＝（1﹣x）2＋a D．y＝a（1﹣x）2
7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，若动点N从点B出发沿边BC方向向终点C运动，连结BM，CM，AN，DN，则在整个运动过程中，阴影部分面积和的大小变化情况是（ ）
A．不变 B．一直变大 C．先减小后增大 D．先增大后减小
8．定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度(单位：)与水平距离(单位：)近似满足函数关系(a≠0)．下表记录了该同学将篮球投出后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（ ）
x (单位：m)
y (单位：m)
3.05
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是_______
10．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= ．
11．一人乘雪橇沿坡角为30°的斜坡笔直滑下，滑下的距离S（米）与时间t（秒）的关系式为S=10t+t2，若滑坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为________
12．如图，抛物线y＝ax2﹣1（a＞0）与直线y＝kx+3交于MN两点，在y轴负半轴上存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称，则点P的坐标是_____
三、解答题
13．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓。某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价时元/台。经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是元/台时，可售出台，且售价每降低元，就可多售出台。若供货商规定这种空气净化器售价不能低于元/台，代理销售商每月要完成不低于台的销售任务。
（1）求出月销售量（单位：台）与售价（单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当售价定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润（单位：元）最大？最大利润是多少？
14．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．
15．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元；
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
16．某同学研究抛物线（a≠0）时发现：①当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；②把它的顶点横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标，点A仍在这条抛物线上．
⑴请你求出①中直线的解析式；
⑵试证明②中的结论；
⑶试将②中的结论进行推广，写出一个新的结论，不必证明．
参考答案
1．A
【详解】
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx2，由题意，得
18＝9k，
解得：k＝2，
∴y＝2x2，
当y＝72时，72＝2x2，
∴x＝6．
故选A．
2．D
【详解】
如图建立坐标系：
抛物线的顶点坐标是（1，4），
设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+4，
把（0，3）代入解析式得：a+4=3，
解得：a=-1，
则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4，
当y=0时，-（x-1）2+4=0，
解得：x1=3，x2=-1（舍去），
则水池的最小半径是3米．
故选：D．
3．B
【详解】
设宽为xm，则长为m，可得面积S=x?x2+4x=．
当x时，S有最大值，最大值为．
故选B．
4．D
【详解】
解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）辆，根据题意得出：
W＝y1+y2＝﹣x2+10x+2(15﹣x)＝﹣x2+8x+30，
∴最大利润为：＝＝46（万元），
故选D．
5．A
【详解】
解：设获得的利润为y元，由题意得：
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选A．
6．B
【详解】
解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，
则y=a（1+x）2．
故选：B．
7．C
【详解】
解：连接MN，
∵AD∥BC
∴S△ABM＝S△NMA，
∴△AEB与△NME的面积相等，同理△NMF与△CDF的面积相等，
∴S阴影＝S四边形ABCD﹣2S四边形MENF，
设AM＝MD＝a，BC＝b，BN＝x，S△AMN＝S△DMN＝k，k为常数
∴
所以S△AEM：S△AMN＝
∴S△AEM＝
同理S△DFM＝
令S＝S△AEM+S△DFM＝
＝,其分子为常数
令y＝（a+x）（a+b﹣x）=-x2+bx+a2+ab
它的对称轴为x＝,开口向下
当0＜x＜时，y随x的增大而增大，此时S随着x的增大而减小
所以S四边形MENF=随x的增大而增大
所以S空白=2S四边形MENF随x的增大而增大
所以S阴影随x的增大而减小
当＜x＜b时，y随x的增大而减小，此时S随着x的增大而增大
所以S阴影随x的增大而增大
综上所述：S阴影先减小后增大
故选：C．
8．C
【详解】
将代入中得
解得
∴
∵
∴当时，
故选C
9．4
【详解】
∵，
∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，?2），对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，，
∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，
×（2＋2）×2＝4，
故填：4．
【点睛】
10．1.6．
【解析】
设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h,这个最大高度为h,则小球的高度y=a(t?1.1)2+h，由题意a(t?1.1)2+h=a(t?1?1.1)2+h，解得t=1.6.
故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．
故答案为1.6.
11．12米
【详解】
∵S=10t+t2且
∴S=20+4=24
∵坡角为30°且sin30°=
∴此人下滑的高度为
故答案为：12米．
12．(0,-5)
【详解】
如图作MB⊥y轴，NA⊥y轴
∵M，N是直线y＝kx+3的点
∴设M（xM，kxM+3），N（xN，kxN+3），P（0，t）
∵抛物线y＝ax2﹣1（a＞0）与直线y＝kx+3交于MN两点
∴ax2﹣1＝kx+3
ax2﹣kx﹣4＝0
∴xM+xN＝，xM×xN＝﹣，
∵直线PM与PN总是关于y轴对称
∴∠MPA＝∠NPA，且∠MBP＝∠NAP＝90°
∴△MBP∽△NAP，
∴即 ，
∴（﹣xM﹣xN）（3﹣t）＝2kxMxN
∴﹣（3﹣t）＝2k×（-），
∴t＝﹣5
∴P（0，﹣5）.
故答案为（0，﹣5）
13．（1）y=-10x+4200，；（2）310,121000
【详解】
解：（1）根据题中条件销售价每降低5元，月销售量就可多售出50台，
当售价为x时，降了（400-x），所以月销售多了10（400-x）台，
则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；y=10（400-x）+200=-10x+4200
∵空气净化器售价不能低于元/台，代理销售商每月要完成不低于台
∴解得
（2）由题意有：w=
=
=
=
∴当售价定为310元时，w有最大值，为121000
14．（1）；（2）
【详解】
（1）当时，，即．
当时，，即，则
（2）由利润=（售价-成本）×销售量可以列出函数关系式为
15．（1）销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（2）销售单价不少于7元且不超过13元时．
【详解】
解：（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），
∴，解得
∴y与x之间的函数关系为
∵
∴当x=10时，y最大=25，
答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．
（2）∵函数图象的对称轴为直线x=10，
∴点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16）
又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，
∴当7≤x≤13时，y≥16．
答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
16．（1）；（2）证明见解析；（3）见解析.
【详解】
（1）∵y=ax2+2x+3=a(x+)2+3?，
∴抛物线y=ax2+2x+3的顶点坐标为( ?，3?)，
∴抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式为y=x+3.
（2）∵抛物线的解析式为，
∴顶点坐标为（-，3?），
∴A点坐标为（-，3），
当x=-时，y=a(-)2+2(-)+3=3，
∴点A在抛物线y=ax2+2x=3上.
（3）把抛物线的顶点横坐标增加，纵坐标增加，得到B点的坐标，点B仍在这条抛物线上；把抛物线的顶点横坐标减少，纵坐标增加，得到C点的坐标，点C仍在这条抛物线上.
证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（?，）
由题意得C（?，）
把x=?代入y=ax2+bx+c=a（?）2+b（?）+c=
∴点C在抛物线y=ax2+bx+c上，
同理点B在抛物线y=ax2+bx+c上．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_试卷第1 11页，总3 33页
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30.4二次函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为（ ）
A．6cm B．12cm C．24cm D．36cm
2．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
3．用长度为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为（ ）m2．
A． B． C．2 D．4
4．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（ ）
A．30万元 B．40万元
C．45万元 D．46万元
5．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
6．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝x2＋a B．y＝a（1＋x）2 C．y＝（1﹣x）2＋a D．y＝a（1﹣x）2
7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，若动点N从点B出发沿边BC方向向终点C运动，连结BM，CM，AN，DN，则在整个运动过程中，阴影部分面积和的大小变化情况是（ ）
A．不变 B．一直变大 C．先减小后增大 D．先增大后减小
8．定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度(单位：)与水平距离(单位：)近似满足函数关系(a≠0)．下表记录了该同学将篮球投出后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（ ）
x (单位：m)
y (单位：m)
3.05
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是_______
10．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= ．
11．一人乘雪橇沿坡角为30°的斜坡笔直滑下，滑下的距离S（米）与时间t（秒）的关系式为S=10t+t2，若滑坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为________
12．如图，抛物线y＝ax2﹣1（a＞0）与直线y＝kx+3交于MN两点，在y轴负半轴上存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称，则点P的坐标是_____
三、解答题
13．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓。某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价时元/台。经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是元/台时，可售出台，且售价每降低元，就可多售出台。若供货商规定这种空气净化器售价不能低于元/台，代理销售商每月要完成不低于台的销售任务。
（1）求出月销售量（单位：台）与售价（单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当售价定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润（单位：元）最大？最大利润是多少？
14．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．
15．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元；
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
16．某同学研究抛物线（a≠0）时发现：①当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；②把它的顶点横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标，点A仍在这条抛物线上．
⑴请你求出①中直线的解析式；
⑵试证明②中的结论；
⑶试将②中的结论进行推广，写出一个新的结论，不必证明．
参考答案
1．A
【详解】
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx2，由题意，得
18＝9k，
解得：k＝2，
∴y＝2x2，
当y＝72时，72＝2x2，
∴x＝6．
故选A．
2．D
【详解】
如图建立坐标系：
抛物线的顶点坐标是（1，4），
设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+4，
把（0，3）代入解析式得：a+4=3，
解得：a=-1，
则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4，
当y=0时，-（x-1）2+4=0，
解得：x1=3，x2=-1（舍去），
则水池的最小半径是3米．
故选：D．
3．B
【详解】
设宽为xm，则长为m，可得面积S=x?x2+4x=．
当x时，S有最大值，最大值为．
故选B．
4．D
【详解】
解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）辆，根据题意得出：
W＝y1+y2＝﹣x2+10x+2(15﹣x)＝﹣x2+8x+30，
∴最大利润为：＝＝46（万元），
故选D．
5．A
【详解】
解：设获得的利润为y元，由题意得：
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选A．
6．B
【详解】
解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，
则y=a（1+x）2．
故选：B．
7．C
【详解】
解：连接MN，
∵AD∥BC
∴S△ABM＝S△NMA，
∴△AEB与△NME的面积相等，同理△NMF与△CDF的面积相等，
∴S阴影＝S四边形ABCD﹣2S四边形MENF，
设AM＝MD＝a，BC＝b，BN＝x，S△AMN＝S△DMN＝k，k为常数
∴
所以S△AEM：S△AMN＝
∴S△AEM＝
同理S△DFM＝
令S＝S△AEM+S△DFM＝
＝,其分子为常数
令y＝（a+x）（a+b﹣x）=-x2+bx+a2+ab
它的对称轴为x＝,开口向下
当0＜x＜时，y随x的增大而增大，此时S随着x的增大而减小
所以S四边形MENF=随x的增大而增大
所以S空白=2S四边形MENF随x的增大而增大
所以S阴影随x的增大而减小
当＜x＜b时，y随x的增大而减小，此时S随着x的增大而增大
所以S阴影随x的增大而增大
综上所述：S阴影先减小后增大
故选：C．
8．C
【详解】
将代入中得
解得
∴
∵
∴当时，
故选C
9．4
【详解】
∵，
∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，?2），对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，，
∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，
×（2＋2）×2＝4，
故填：4．
【点睛】
10．1.6．
【解析】
设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h,这个最大高度为h,则小球的高度y=a(t?1.1)2+h，由题意a(t?1.1)2+h=a(t?1?1.1)2+h，解得t=1.6.
故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．
故答案为1.6.
11．12米
【详解】
∵S=10t+t2且
∴S=20+4=24
∵坡角为30°且sin30°=
∴此人下滑的高度为
故答案为：12米．
12．(0,-5)
【详解】
如图作MB⊥y轴，NA⊥y轴
∵M，N是直线y＝kx+3的点
∴设M（xM，kxM+3），N（xN，kxN+3），P（0，t）
∵抛物线y＝ax2﹣1（a＞0）与直线y＝kx+3交于MN两点
∴ax2﹣1＝kx+3
ax2﹣kx﹣4＝0
∴xM+xN＝，xM×xN＝﹣，
∵直线PM与PN总是关于y轴对称
∴∠MPA＝∠NPA，且∠MBP＝∠NAP＝90°
∴△MBP∽△NAP，
∴即 ，
∴（﹣xM﹣xN）（3﹣t）＝2kxMxN
∴﹣（3﹣t）＝2k×（-），
∴t＝﹣5
∴P（0，﹣5）.
故答案为（0，﹣5）
13．（1）y=-10x+4200，；（2）310,121000
【详解】
解：（1）根据题中条件销售价每降低5元，月销售量就可多售出50台，
当售价为x时，降了（400-x），所以月销售多了10（400-x）台，
则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；y=10（400-x）+200=-10x+4200
∵空气净化器售价不能低于元/台，代理销售商每月要完成不低于台
∴解得
（2）由题意有：w=
=
=
=
∴当售价定为310元时，w有最大值，为121000
14．（1）；（2）
【详解】
（1）当时，，即．
当时，，即，则
（2）由利润=（售价-成本）×销售量可以列出函数关系式为
15．（1）销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（2）销售单价不少于7元且不超过13元时．
【详解】
解：（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），
∴，解得
∴y与x之间的函数关系为
∵
∴当x=10时，y最大=25，
答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．
（2）∵函数图象的对称轴为直线x=10，
∴点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16）
又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，
∴当7≤x≤13时，y≥16．
答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
16．（1）；（2）证明见解析；（3）见解析.
【详解】
（1）∵y=ax2+2x+3=a(x+)2+3?，
∴抛物线y=ax2+2x+3的顶点坐标为( ?，3?)，
∴抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式为y=x+3.
（2）∵抛物线的解析式为，
∴顶点坐标为（-，3?），
∴A点坐标为（-，3），
当x=-时，y=a(-)2+2(-)+3=3，
∴点A在抛物线y=ax2+2x=3上.
（3）把抛物线的顶点横坐标增加，纵坐标增加，得到B点的坐标，点B仍在这条抛物线上；把抛物线的顶点横坐标减少，纵坐标增加，得到C点的坐标，点C仍在这条抛物线上.
证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（?，）
由题意得C（?，）
把x=?代入y=ax2+bx+c=a（?）2+b（?）+c=
∴点C在抛物线y=ax2+bx+c上，
同理点B在抛物线y=ax2+bx+c上．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_试卷第1 11页，总3 33页
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