30.5 二次函数与一元二次方程的关系同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 30.5 二次函数与一元二次方程的关系同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-24 16:47:38 | ||
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文档简介
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30.5二次函数与一元二次方程的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
2．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( )
①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；
②c＝a+3；
③a+b+c＜0；
④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
4．下列表格是二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（为常数）的一个解x的范围是
x … 6.17 6.18 6.19 6.20 …
… -0.03 -0.01 0.02 0.04 …
A． B．
C． D．
5．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根分别是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞8 C．﹣2＜x＜8 D．x＜﹣2或x＞8
7．若函数的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是
A．且 B． C． D．
8．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数解，则k的最小值为
A． B． C． D．0
二、填空题
9．如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2图象的一部分，该图象在y轴右侧与x轴交点的是______
10．若二次函数与y轴的交点位于（0，2）的下方了，则k的取值范围是____________________．
11．如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，分别交抛物线与直线交于点A，B，以线段为对角线作菱形，使得，则菱形的面积最小值为______．
12．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：
①ac＜0； ②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3
③a+b+c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大．
正确的说法有_____．
三、解答题
13．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．
14．在平面直角坐标系中，已知二次函数y=k（x﹣a）（x﹣b），其中a≠b．
（1）若此二次函数图象经过点（0，k），试求a，b满足的关系式．
（2）若此二次函数和函数y=x2﹣2x的图象关于直线x=2对称，求该函数的表达式．
（3）若a+b=4，且当0≤x≤3时，有1≤y≤4，求a的值．
15．以x为自变量的函数中，m为不小于零的整数，它的图象与x轴交于点A和B，点A在原点左边，点B在原点右边.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且=10,求这个一次函数的解析式.
16．已知函数y1＝－x2 和反比例函数y2的图象有一个交点是 A（，－1）．
（1）求函数y2的解析式；
（2）在同一直角坐标系中，画出函数y1和y2的图象草图；
（3）借助图象回答：当自变量x在什么范围内取值时，对于x的同一个值，都有y1＜y2？
参考答案
1．D
【详解】
∵二次函数y=kx2?6x+3的图象与x轴有交点，
∴方程kx2?6x+3=0(k≠0)有实数根，
即△=36?12k?0，k?3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k?3且k≠0.
故选D.
2．C
【解析】
试题分析：由抛物线与x轴有两个交点，可知b2-4ac＞0，所以①错误；
由抛物线的顶点为D（-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以②正确；
由抛物线的顶点为D（-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x==-1，可得b=2a，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；
由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故选C．
3．C
【解析】
解：由x2﹣x﹣2=0可得：x1=﹣1，x2=2，观察函数图象可知，当﹣1＜x＜2时，函数值y＜0．故选C．
4．C
【解析】
利用二次函数和一元二次方程的性质．
由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故选C．
5．B
【详解】
方法一：∵二次函数图象与x轴的一个交点为，
∴，
解得．
∴一元二次方程为，
即，解得．
故选B．
方法二：∵二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的实数根，
∵二次函数图象的对称轴是直线，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为，
∴关于x的一元二次方程的两实数根分别是．
故选B
6．D
【详解】
∵A（﹣2，4），B（8，2），
∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．
故答案选D．
7．A
【解析】
抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．
解：∵函数的图象与坐标轴有三个交点，
∴，且，
解得，b<1且b≠0.
故选A.
8．A
【解析】
∵一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解，
∴可以理解为y=ax2+bx和y=?k有交点，
由图可得，?k≤4，
∴k≥?4，
∴k的最小值为?4.
故选A.
9．(1，0)
【解析】
试题分析：根据函数表达式和函数图像可以看出二次函数的对称轴是x=-1，该图象在y轴左侧与x轴交点的坐标是（-3,0），所以该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标与(-3,0)
关于对称轴对称，所以该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是（1,0）
10．
【详解】
解：令x=0，得，与y轴的交点坐标是，
∵交点在下方，∴，．
故答案是：．
11．
【详解】
如图，连接交于点M．
∵过点作x轴的垂线，分别交抛物线与直线于A，B两点，
∴．
∴，
∴当时，的最小值为．
∵，四边形为菱形，
∴为等边三角形，，且与互相平分，
∴，．
在中，，
∴，
∴菱形的面积最小值为，
故答案为：．
12．①②③．
【详解】
∵抛物线的开口向下，
∵与轴的交点为在轴的正半轴上，
故①正确；
∵对称轴为 抛物线与轴的一个交点为
∴另一个交点为
∴方程 的根是
故②正确；
当时，
故③正确；
异号，即
当时，随的增大而减小，故④错误．
∴其中正确的说法有①②③；
故答案为①②③．
13．（1）抛物线解析式为y=x2+4x+3，一次函数解析式为y=﹣x﹣1；（2）由图象可知，满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x﹣4或x≥﹣1．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），
∴0=1+m，∴m=﹣1，
∴抛物线解析式为y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，
∴点C坐标为（0，3），
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣2，且B、C关于对称轴对称，
∴点B坐标为（﹣4，3），
∵y=kx+b经过点A、B，
∴，解得，
∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1，
（2）由图象可知，满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．
14．（1）ab=1；（2）y=x2﹣6x+8；（3）a=．
【详解】
解：（1）将（0，k）代入y=k（x﹣a）（x﹣b），得kab=k，
∵k≠0，
∴ab=1；
（2）由（1）知，k=1，
易得函数y=x2﹣2x与x轴交点的坐标为（0，0）、（2，0），
因为此二次函数和函数y=x2﹣2x的图象关于直线x=2对称，
所以此二次函数与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0），
∴该函数解析式为：y=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8；
（3）∵a+b=4，
∴函数表达式变形为y=k（x﹣a）（x+a﹣4）．
①当k＞0时，则根据题意可得：当x=2，y=1；
当x=0时，y=4，
∴，
消去k，整理，得
3a2﹣12a+16=0，
∵△=﹣48＜0，
∴此方程无解；
②当k＜0时，则根据题意可得：当x=2，y=4，
当x=0时，y=1，
∴，
消去k，整理，得，
3a2﹣12a﹣4=0，
解得a=．
15．（1）；（2）y=－x－1或y=5x+5.
【详解】
解（1）∵图象与x轴的交点A在原点左边，交点B在原点右边，
∴△=（2m+2）2-4×（-1）×[-（m2+4m-3）]>0，
解得：m<2，
∵m为不小于0的整，
∴m=0或1，
当m=0时，y=-x2+2x+3，其中A（-1，0），B（3，0）；
当m=1时，y=-x2+4x-2，不合题意；
∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3；
（2）∵△ABC的面积等于10，|AB|=4，
∴|AB|?h=10，
∴h=5，
∴C点的纵坐标为5或-5，
当C点的纵坐标为5时，-x2+2x+3=5，即-x2+2x-2=0，
△=4-4×（-1）×（-2）<0，不合题意，舍去；
当C点的纵坐标为-5时，-x2+2x+3=-5，即-x2+2x+8=0，
解得：x=4或-2，
∴点C的坐标为：（4，-5）或（-2，-5），
①将A（﹣1,0）与C（4，﹣5）代入y=kx+b，
解得：k=﹣1，b=﹣1，
则一次函数的解析式为：y=－x－1；
②将A（﹣1,0）与C（﹣2，﹣5）代入y=kx+b，
解得：k=5，b=5，
则一次函数解析式为：y=5x+5；
故一次函数的解析式为：y=－x－1或y=5x+5.
16．（1）；（2）作图见解析；（3）x＜0，或x＞.
【解析】
分析：（1）利用A点在二次函数的图象上，进而利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）根据二次函数的性质以及反比例函数的性质画出草图即可；
（3）利用函数图象以及交点坐标即可得出x的取值范围．
详解：（1）把点A（，-1）代入y1=?x2，
得-1=?a，
∴a=3．
设y2=，把点A（，-1）代入，
得??k=?，
∴y2=?．
（2）画图；???
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（3）由图象知：当x＜0，或x＞时，y1＜y2．
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30.5二次函数与一元二次方程的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
2．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( )
①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；
②c＝a+3；
③a+b+c＜0；
④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
4．下列表格是二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（为常数）的一个解x的范围是
x … 6.17 6.18 6.19 6.20 …
… -0.03 -0.01 0.02 0.04 …
A． B．
C． D．
5．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根分别是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞8 C．﹣2＜x＜8 D．x＜﹣2或x＞8
7．若函数的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是
A．且 B． C． D．
8．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数解，则k的最小值为
A． B． C． D．0
二、填空题
9．如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2图象的一部分，该图象在y轴右侧与x轴交点的是______
10．若二次函数与y轴的交点位于（0，2）的下方了，则k的取值范围是____________________．
11．如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，分别交抛物线与直线交于点A，B，以线段为对角线作菱形，使得，则菱形的面积最小值为______．
12．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：
①ac＜0； ②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3
③a+b+c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大．
正确的说法有_____．
三、解答题
13．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．
14．在平面直角坐标系中，已知二次函数y=k（x﹣a）（x﹣b），其中a≠b．
（1）若此二次函数图象经过点（0，k），试求a，b满足的关系式．
（2）若此二次函数和函数y=x2﹣2x的图象关于直线x=2对称，求该函数的表达式．
（3）若a+b=4，且当0≤x≤3时，有1≤y≤4，求a的值．
15．以x为自变量的函数中，m为不小于零的整数，它的图象与x轴交于点A和B，点A在原点左边，点B在原点右边.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且=10,求这个一次函数的解析式.
16．已知函数y1＝－x2 和反比例函数y2的图象有一个交点是 A（，－1）．
（1）求函数y2的解析式；
（2）在同一直角坐标系中，画出函数y1和y2的图象草图；
（3）借助图象回答：当自变量x在什么范围内取值时，对于x的同一个值，都有y1＜y2？
参考答案
1．D
【详解】
∵二次函数y=kx2?6x+3的图象与x轴有交点，
∴方程kx2?6x+3=0(k≠0)有实数根，
即△=36?12k?0，k?3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k?3且k≠0.
故选D.
2．C
【解析】
试题分析：由抛物线与x轴有两个交点，可知b2-4ac＞0，所以①错误；
由抛物线的顶点为D（-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以②正确；
由抛物线的顶点为D（-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x==-1，可得b=2a，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；
由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故选C．
3．C
【解析】
解：由x2﹣x﹣2=0可得：x1=﹣1，x2=2，观察函数图象可知，当﹣1＜x＜2时，函数值y＜0．故选C．
4．C
【解析】
利用二次函数和一元二次方程的性质．
由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故选C．
5．B
【详解】
方法一：∵二次函数图象与x轴的一个交点为，
∴，
解得．
∴一元二次方程为，
即，解得．
故选B．
方法二：∵二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的实数根，
∵二次函数图象的对称轴是直线，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为，
∴关于x的一元二次方程的两实数根分别是．
故选B
6．D
【详解】
∵A（﹣2，4），B（8，2），
∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．
故答案选D．
7．A
【解析】
抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．
解：∵函数的图象与坐标轴有三个交点，
∴，且，
解得，b<1且b≠0.
故选A.
8．A
【解析】
∵一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解，
∴可以理解为y=ax2+bx和y=?k有交点，
由图可得，?k≤4，
∴k≥?4，
∴k的最小值为?4.
故选A.
9．(1，0)
【解析】
试题分析：根据函数表达式和函数图像可以看出二次函数的对称轴是x=-1，该图象在y轴左侧与x轴交点的坐标是（-3,0），所以该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标与(-3,0)
关于对称轴对称，所以该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是（1,0）
10．
【详解】
解：令x=0，得，与y轴的交点坐标是，
∵交点在下方，∴，．
故答案是：．
11．
【详解】
如图，连接交于点M．
∵过点作x轴的垂线，分别交抛物线与直线于A，B两点，
∴．
∴，
∴当时，的最小值为．
∵，四边形为菱形，
∴为等边三角形，，且与互相平分，
∴，．
在中，，
∴，
∴菱形的面积最小值为，
故答案为：．
12．①②③．
【详解】
∵抛物线的开口向下，
∵与轴的交点为在轴的正半轴上，
故①正确；
∵对称轴为 抛物线与轴的一个交点为
∴另一个交点为
∴方程 的根是
故②正确；
当时，
故③正确；
异号，即
当时，随的增大而减小，故④错误．
∴其中正确的说法有①②③；
故答案为①②③．
13．（1）抛物线解析式为y=x2+4x+3，一次函数解析式为y=﹣x﹣1；（2）由图象可知，满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x﹣4或x≥﹣1．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），
∴0=1+m，∴m=﹣1，
∴抛物线解析式为y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，
∴点C坐标为（0，3），
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣2，且B、C关于对称轴对称，
∴点B坐标为（﹣4，3），
∵y=kx+b经过点A、B，
∴，解得，
∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1，
（2）由图象可知，满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．
14．（1）ab=1；（2）y=x2﹣6x+8；（3）a=．
【详解】
解：（1）将（0，k）代入y=k（x﹣a）（x﹣b），得kab=k，
∵k≠0，
∴ab=1；
（2）由（1）知，k=1，
易得函数y=x2﹣2x与x轴交点的坐标为（0，0）、（2，0），
因为此二次函数和函数y=x2﹣2x的图象关于直线x=2对称，
所以此二次函数与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0），
∴该函数解析式为：y=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8；
（3）∵a+b=4，
∴函数表达式变形为y=k（x﹣a）（x+a﹣4）．
①当k＞0时，则根据题意可得：当x=2，y=1；
当x=0时，y=4，
∴，
消去k，整理，得
3a2﹣12a+16=0，
∵△=﹣48＜0，
∴此方程无解；
②当k＜0时，则根据题意可得：当x=2，y=4，
当x=0时，y=1，
∴，
消去k，整理，得，
3a2﹣12a﹣4=0，
解得a=．
15．（1）；（2）y=－x－1或y=5x+5.
【详解】
解（1）∵图象与x轴的交点A在原点左边，交点B在原点右边，
∴△=（2m+2）2-4×（-1）×[-（m2+4m-3）]>0，
解得：m<2，
∵m为不小于0的整，
∴m=0或1，
当m=0时，y=-x2+2x+3，其中A（-1，0），B（3，0）；
当m=1时，y=-x2+4x-2，不合题意；
∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3；
（2）∵△ABC的面积等于10，|AB|=4，
∴|AB|?h=10，
∴h=5，
∴C点的纵坐标为5或-5，
当C点的纵坐标为5时，-x2+2x+3=5，即-x2+2x-2=0，
△=4-4×（-1）×（-2）<0，不合题意，舍去；
当C点的纵坐标为-5时，-x2+2x+3=-5，即-x2+2x+8=0，
解得：x=4或-2，
∴点C的坐标为：（4，-5）或（-2，-5），
①将A（﹣1,0）与C（4，﹣5）代入y=kx+b，
解得：k=﹣1，b=﹣1，
则一次函数的解析式为：y=－x－1；
②将A（﹣1,0）与C（﹣2，﹣5）代入y=kx+b，
解得：k=5，b=5，
则一次函数解析式为：y=5x+5；
故一次函数的解析式为：y=－x－1或y=5x+5.
16．（1）；（2）作图见解析；（3）x＜0，或x＞.
【解析】
分析：（1）利用A点在二次函数的图象上，进而利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）根据二次函数的性质以及反比例函数的性质画出草图即可；
（3）利用函数图象以及交点坐标即可得出x的取值范围．
详解：（1）把点A（，-1）代入y1=?x2，
得-1=?a，
∴a=3．
设y2=，把点A（，-1）代入，
得??k=?，
∴y2=?．
（2）画图；???
??????????????????????????????
（3）由图象知：当x＜0，或x＞时，y1＜y2．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_试卷第1 11页，总3 33页
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