29.5 正多边形与圆同步练习（含解析）
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29.5正多边形与圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )
A．115° B．105° C．100° D．95°
2．正五边形的中心角等于（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
3．以下说法正确的是
A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．
B．正n边形的对称轴不一定有n条．
C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．
D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．
4．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在优弧上,则∠APB等于( )
A．30° B．45°
C．55° D．60°
5．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．6
6．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上的一点．若∠CBE=40°，则∠AOC等于( )
A．20° B．40° C．80° D．100°
7．圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是( ).
A．1：2：3：4 B．4：2：3：1 C．4：3：1：2 D．4：1：3：2
二、填空题
8．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝____°．
10．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为_____．
11．如图所示，若劣弧AE所对的圆心角的度数等于38°，则∠CBE+∠D的度数为______________.
三、解答题
13．如图，⊙O的半径为，其内接正六边形，点同时分别从两点出发，以的速度沿向终点运动，连接．设运动时间为．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）填空：
①当________时，四边形为菱形；
②当_________时，四边形为矩形．
已知正六边形的边心距为，求正六边形的中心角、边长、周长和面积．
15．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数．
16．如图，⊙O外接于正方形为弧上一点，且，求正方形的边长和的长．
参考答案
1．B
解析：
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
而∠BAD=105°，
∴∠DCE=105°．
故选B．
2．D
解析：
解：正五边形的中心角为．
故选D
3．C
解析：
解：A选项不正确；因为每个角都是120°?的六边形可以是空间六边形；
B选项不正确；正n边形的对称轴一定由n条；
C选项正确；因为正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数；
D选项不正确；因为当正n边形的边数为偶数时才既是轴对称图形又是中心对称图形；
故选：C．
4．B
解析：
连接OA、OB，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠AOB=90°，
∴∠APB==∠AOB=45°，
故选B．
5．D
解析：
解：在中
∵，,
∴,
∴BC=3,
∴阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+-以AC为直径的半圆面积=6.故选D.
6．C
解析：
因为四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠CBE=40°，所以∠D=40°，所以∠AOC=80°.
7．C
解析：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°.
∴圆内接四边形ABCD的四个内角之比可能是：4:3:1:2.
故选C.
8．C
解析：
∵扇形的圆心角是360°×40%=144°，∴弧长l=
设底面半径是r，则有＝2πr，则r=2，
圆锥的高h=．
故选C．
9．72°
解析：
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，
∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°?108°）÷2=36°，
∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，
故答案为72°．
10．115°
解析：
解：连接OC，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°．
11．18
解析：
解：∵正六边形ABCDEF的边长为3，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3，
∴弧BAF的长=3×6﹣3﹣3═12，
∴扇形AFB（阴影部分）的面积=×12×3=18．
故答案为18．
12．161°.
解析：
连接BA，则∠ABE=×38°=19°.因カ四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ABC+∠D=180°，所以∠CBE+∠D=180°-19°=161°.
13．（1）见解析；（2）①2；②0或4
解析：
（1）∵正六边形内接于的半径为4，
，
∵点同时分别从两点出发，以的速度沿向终点运动，．
在和中，
同理可证．
∴四边形是平行四边形．
（2）①2；②0或4 ，
①由对称性可知，当，时，四边形是菱形，此时．
②当时，点在点处， ，，此时四边形是矩形．
当时，点在点处，同理可得，此时四边形是矩形．综上所述，当或时，四边形是矩形．
14．六边形的中心角为60°，边长为2，周长为12，面积为6.
解析：
试题分析：首先根据题意作出图形，然后可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OB的长，继而求得正六边形的中心角、边长、周长和面积．
试题解析：如图，连接OB、OC，过点O作OH⊥BC于点H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝×360°＝60°.
∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．
∴∠OBC＝60°，BC＝OB＝OC.
∵OH＝,sin∠OBC＝，
∴OB＝BC＝2.
∴正六边形的周长为2×6＝12.
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6× ×2× ＝6 .
∴正六边形的中心角为60°，边长为2，周长为12，面积为6.
15．解析：
（1）∵正五边形ABCDE，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
∴在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°．
即∠APN的度数为108°．
16．，
解析：
解：连接，作于点，
如图所示．
∵四边形是正方形，
，
是的直径，是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
．
正方形的边长为的长为．
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29.5正多边形与圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )
A．115° B．105° C．100° D．95°
2．正五边形的中心角等于（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
3．以下说法正确的是
A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．
B．正n边形的对称轴不一定有n条．
C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．
D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．
4．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在优弧上,则∠APB等于( )
A．30° B．45°
C．55° D．60°
5．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．6
6．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上的一点．若∠CBE=40°，则∠AOC等于( )
A．20° B．40° C．80° D．100°
7．圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是( ).
A．1：2：3：4 B．4：2：3：1 C．4：3：1：2 D．4：1：3：2
二、填空题
8．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝____°．
10．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为_____．
11．如图所示，若劣弧AE所对的圆心角的度数等于38°，则∠CBE+∠D的度数为______________.
三、解答题
13．如图，⊙O的半径为，其内接正六边形，点同时分别从两点出发，以的速度沿向终点运动，连接．设运动时间为．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）填空：
①当________时，四边形为菱形；
②当_________时，四边形为矩形．
已知正六边形的边心距为，求正六边形的中心角、边长、周长和面积．
15．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数．
16．如图，⊙O外接于正方形为弧上一点，且，求正方形的边长和的长．
参考答案
1．B
解析：
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
而∠BAD=105°，
∴∠DCE=105°．
故选B．
2．D
解析：
解：正五边形的中心角为．
故选D
3．C
解析：
解：A选项不正确；因为每个角都是120°?的六边形可以是空间六边形；
B选项不正确；正n边形的对称轴一定由n条；
C选项正确；因为正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数；
D选项不正确；因为当正n边形的边数为偶数时才既是轴对称图形又是中心对称图形；
故选：C．
4．B
解析：
连接OA、OB，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠AOB=90°，
∴∠APB==∠AOB=45°，
故选B．
5．D
解析：
解：在中
∵，,
∴,
∴BC=3,
∴阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+-以AC为直径的半圆面积=6.故选D.
6．C
解析：
因为四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠CBE=40°，所以∠D=40°，所以∠AOC=80°.
7．C
解析：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°.
∴圆内接四边形ABCD的四个内角之比可能是：4:3:1:2.
故选C.
8．C
解析：
∵扇形的圆心角是360°×40%=144°，∴弧长l=
设底面半径是r，则有＝2πr，则r=2，
圆锥的高h=．
故选C．
9．72°
解析：
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，
∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°?108°）÷2=36°，
∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，
故答案为72°．
10．115°
解析：
解：连接OC，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°．
11．18
解析：
解：∵正六边形ABCDEF的边长为3，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3，
∴弧BAF的长=3×6﹣3﹣3═12，
∴扇形AFB（阴影部分）的面积=×12×3=18．
故答案为18．
12．161°.
解析：
连接BA，则∠ABE=×38°=19°.因カ四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ABC+∠D=180°，所以∠CBE+∠D=180°-19°=161°.
13．（1）见解析；（2）①2；②0或4
解析：
（1）∵正六边形内接于的半径为4，
，
∵点同时分别从两点出发，以的速度沿向终点运动，．
在和中，
同理可证．
∴四边形是平行四边形．
（2）①2；②0或4 ，
①由对称性可知，当，时，四边形是菱形，此时．
②当时，点在点处， ，，此时四边形是矩形．
当时，点在点处，同理可得，此时四边形是矩形．综上所述，当或时，四边形是矩形．
14．六边形的中心角为60°，边长为2，周长为12，面积为6.
解析：
试题分析：首先根据题意作出图形，然后可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OB的长，继而求得正六边形的中心角、边长、周长和面积．
试题解析：如图，连接OB、OC，过点O作OH⊥BC于点H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝×360°＝60°.
∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．
∴∠OBC＝60°，BC＝OB＝OC.
∵OH＝,sin∠OBC＝，
∴OB＝BC＝2.
∴正六边形的周长为2×6＝12.
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6× ×2× ＝6 .
∴正六边形的中心角为60°，边长为2，周长为12，面积为6.
15．解析：
（1）∵正五边形ABCDE，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
∴在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°．
即∠APN的度数为108°．
16．，
解析：
解：连接，作于点，
如图所示．
∵四边形是正方形，
，
是的直径，是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
．
正方形的边长为的长为．
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