30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数同步练习（含解析）

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30.3由不共线三点的坐标确定二次函数*
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致为( )
A． B． C． D．
2．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图图形中，阴影部分面积相等的是（　　）
A．甲 乙 B．甲 丙 C．乙 丙 D．丙 丁
4．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，①abc＜0；②b-2a=0；③a+b+c＜0；④4a+c＜2b；⑤am2+bm+c≥a-b+c，上述给出的五个结论中，正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．二次函数y＝（x－k）2与一次函数y＝kx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．若一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，则函数y=ax2+bx的图象只可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣k）交x轴于点A、B，（A左B右），交y轴于点C，△AOC的周长为12，sin∠CBA＝，则下列结论：①A点坐标（﹣3，0）；②a＝﹣；③点B坐标（8，0）；④对称轴x＝．其中正确的有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
9．已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（x1，0），且00；②b＜c；③3a+c>0，其中正确结论两个数有______．
10．已知二次函数的图象与x轴的一个交点为A（-2,0），那么该二次函数图象的顶点坐标为_____________.
11．已知二次函数的图象经过A（2,0），B（0,-6）两点.则这个二次函数的表达式为________________.
12．如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：
①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论取何值，抛物线都经过同一个点；⑤，其中所有正确的结论是__________．
三、解答题
13．已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，
（1）确定a，b，c， Δ=b2-4ac的符号，
（2）求证：a-b+c>0，
（3）当x取何值时，y>0；当x取何值时y<0.
14．二次函数的图象如图所示，求二次函数的解析式.
15．已知抛物线交轴于A、B两点，点A在轴左侧，该图像对称轴为，最高点的纵坐标为4，且．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点M在轴上方的抛物线上，且，求点M的坐标．
16．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C，B重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线把的面积分成两部分，使，请求出点D的坐标；
（4）若M为抛物线的对称轴上的一个动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
参考答案
1．B
解析：
选项A，由图象可知二次函数开口向下，可得a＜0，对称轴在y轴的右侧，可得c＜0；一次函数经过一、二、三象限，可得a＞0，c＞0，所以A选项错误；选项B，由图象可知二次函数开口向下，可得a＜0，对称轴在y轴的左侧，可得c＞0；一次函数经过一、二、四象限，可得a＞0，c＞0，所以B选项正确；选项C，由图象可知二次函数开口向上，可得a＞0，对称轴在y轴的左侧，可得c＞0；一次函数经过一、三、四象限，可得a＞0，c＜0，所以C选项错误；选项C，由图象可知二次函数开口向上，可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，可得c＜0；一次函数经过一、二、四象限，可得a＞0，c＞0，所以D选项错误；故选B.
2．B
解析：
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴右边，
∴，即b<0?，
∵抛物线与轴的交点在轴的下方，
∴，
∴，故①错误；
对称轴在1左侧，∴
∴-b<2a，即2a+b>0，故②错误；
当x=-2时，y=4a-2b+c>0，故③正确；
当x=-1时，抛物线过x轴，即a-b+c=0，
∴b=a+c，
又2a+b>0，
∴2a+a+c>0，即3a+c>0，故④正确；
故答案选：B．
3．B
解析：
根据题意，可知：
甲：直线与x轴交点为（3，0），与y轴的交点为（0，4），则阴影部分的面积为×3×4=6；
乙：阴影部分为斜边为4的等腰直角三角形，其面积为×4×2=4；
丙：抛物线与x轴的两个交点为（-3，0）与（3，0），顶点坐标为（0，-2），则阴影部分的面积为×6×2=6；
丁：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为×6=3；
因此甲、丙的面积相等，
故选B．
4．B
解析：
①抛物线开口向上，a＞0，对称轴在y轴左侧，根据“左同右异”可知b＞0，抛物线与y轴交于负半轴，所以c＜0，所以abc＜0，故①正确；
②由图像可知，，所以，即，故②正确；
③由图像可得当x=1时，y=a+b+c＞0，故③错误；
④∵抛物线对称轴x=-1，当x=0时，y＜0，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，所以4a+c＜2b，故④正确；
⑤由图像可知，当x=-1时，y=a-b+c为最小值，
当x=m时，y= am2+bm+c，所以am2+bm+c≥a-b+c，故⑤正确；
所以①②④⑤正确，故选B.
5．B
解析：
解：由二次函数y＝（x－k）2可知：该抛物线与x轴有唯一交点（k，0），故可排除A和D；
B选项中，二次函数y＝（x－k）2中k＞0，一次函数y＝kx中k＞0，故符合题意；
C选项中，二次函数y＝（x－k）2中k＞0，一次函数y＝kx中k＜0，故不符合题意．
故选B．
6．D
解析：
解：∵一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，
对称轴x=->0，在y轴右边，
∴函数y=ax2+bx的图象只可能是D，
故选D．
7．D
解析：
解：∵抛物线的对称轴为，
∴x1=2+m与x2=2-m关于直线x=2对称，
∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等；
故①正确；
当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5，
若a＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴，
若a＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y＜-3a-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴，
故②正确；
若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≥0，
∴，
∴；
若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≤0，
∴
∴a＜，
综上所述：当a＜或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．
故③正确；
故选：D．
8．A
解析：
令y＝0，则y＝a（x+3）(x﹣k）＝0，
解得x＝﹣3或k，
∴A(﹣3,0），B(k,0），
故①正确；
∵y＝a（x+3）（x﹣k）＝ax2+（3a﹣ak）x﹣3ak，
∴C（0,﹣3ak），
∴OC＝﹣3ak，
∵sin∠CBA＝，
∴，
∴BC＝，
∵BC2﹣OC2＝OB2，
∴45a2k2﹣9a2k2＝k2，
∴a2＝，
∵抛物线的开口向下，
∴a＝﹣，
故②正确；
∴OC＝k，
∴AC＝，
∵△AOC的周长为12，
∴3+k+＝12，
解得，k＝8，
∴B（8,0），
故③正确；
∵A（﹣3,0），B（8,0），
∴对称轴为：x＝，
故④正确．
综上所述①②③④都正确
故选：A．
9．2
解析：
①∵0＜x?1?＜1，
∴点（1，a+b+c）在第一象限，
又∵对称轴为直线x=-1，
∴（-3，9a-3b+c）在第二象限，故9a-3b+c＞0，故①正确；
②∵-?=-1，∴b=2a，
∴b-a=2a-a=a＞0，
又0＜x?1?＜1，抛物线开口向上，
∴抛物线与y轴交于负半轴，c＜0，
∴b＞a＞c，故②不正确；
③把b=2a代入a+b+c＞0得3a+c＞0，故③正确；
故答案为2个．
10．（-1,-2）
解析：
A（-2,0）是上的点
∴解得：k=2
∴
∴顶点坐标为：（-1,-2）
11．
解析：
把A（2，0）、B（0，-6）的坐标代入
解得：
所以二次函数的表达式为
12．②④⑤．
解析：
由图象可知，抛物线开口向上，则a＞0，
顶点在y轴右侧，则b＜0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c过点（3，0），
∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，
∵a＞0，
∴10a+3b+c＞0，故②正确；
∵对称轴为x=1，且开口向上，
∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∴y1＜y2，故③错误；
当x=﹣时，y=a?（﹣）2+b?（﹣）+c=，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，
∴当x=﹣时，y=a?（﹣）2+b?（﹣）+c=0，
即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0），故④正确；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，
又∵x=1时函数取得最小值，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
∵b=﹣2a，
∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；
故答案为②④⑤．
13．（1）a<0，b<0，c>0，b2-4ac>0；
（2）a-b+c>0；
（3）当-30 ，∴当x<-3或x>1时，y<0.
解析：
思路点拨：（1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号；
（2）根据图象和x=-1的函数值确定a-b+c与0的关系；
（3）抛物线在x轴上方时y＞0；抛物线在x轴下方时y＜0．
试题分析：
由抛物线的开口向下，得a<0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方，得c>0，
又由<0，∴>0，
∴a、b同号，由a<0得b<0.
由抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=b2-4ac>0
（2）由抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为x=-1.
∴当x=-1时，y=a-b+c>0
（3）由图象可知：当-30 ，
∴当x<-3或x>1时，y<0
14．y=-x2+2x+3
解析：
解：由图象可知，抛物线对称轴是直线x=1，与y轴交于（0，3），与x轴交于（-1，0）
设解析式为y=ax2+bx+c，
解得．
∴解析式为：y=-x2+2x+3
15．（1）；（2）M（0，3）或（－2，3）
解析：
（1）由于抛物线有最高点，且与x轴有交点，
所以a＜0；
∴A（?2，0），
∵图像对称轴为，最高点的纵坐标为4，
∴顶点坐标为（-1，4），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+4，
把A点坐标代入得a（-2+1）2+4=0，
解得a=-1；
故抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3．
（2）由（1）的抛物线解析式可知：A（-3，0），B（1，0），
则AB=4；
由于S△ABM=AB?|yM|=6，
解得|yM|=3；
∵M点在x轴上方，
∴M点的纵坐标为3，代入抛物线的解析式中得：-x2-2x+3=3，
解得x=0，x=-2；
故M（0，3）或（-2，3）．
16．（1）点A，B，C的坐标分别为；（2）点P的坐标为；（3）点；（4）点M的坐标为或或或．
解析：
解：（1）令，则或5．
令，则，
故点A，B，C的坐标分别为．
（2）抛物线的对称轴为直线，
如图，点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接交抛物线对称轴于点P，根据对称性可知此时PA=PB，即，根据两点之间线段最短，此时最小，则点P为所求．
设直线BC的解析式为
将点B、C的坐标分别代入，得
解得：
∴直线BC的解析式为，
当时，，
故点P的坐标为．
（3）设点，则点．
，则，
即，
解得或（点D不与点B重合，故舍去），故点．
（4）设点，而点B，C的坐标分别为，
则，
①当为斜边时，则，解得；
②当为斜边时，则，解得；
③当为斜边时，则，解得或．
综上，点M的坐标为或或或．
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