32.1 投影同步练习（含解析）
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32.1投影
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列光线所形成投影是平行投影的是（ ）
A．太阳光线 B．台灯的光线
C．手电筒的光线 D．路灯的光线
2．小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（ ）
A．上午8时 B．上午9时30分 C．上午10时 D．上午12时
3．正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是（??? ）
A．正方形 B．平行四边形或线段 C．矩形 D．菱形
4．木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定（ ）
A．大于1.2m B．小于1.2m
C．等于1.2m D．小于或等于1.2m
5．若线段CD是线段AB的正投影，则AB与CD的大小关系为（ ）
A．AB＞CD B．AB＜CD C．AB＝CD D．AB≥CD
6．如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是( )
A．矩形 B．两条线段 C．梯形 D．圆环
7．如图，当投影线由物体的前方射到后方时，下列一组几何体的正投影是圆的是( )
A． B． C． D．
8．在同一时刻，两根长度不等的柑子置于阳光之下，但它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是（ ）
A．两根都垂直于地面 B．两根平行斜插在地上
C．两根竿子不平行 D．一根到在地上
二、填空题
9．如图，在A时测得某树的影长为4米，在B时测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为___________米.
10．春天来了，天气一天比一天暖和，在同一地点某一物体，今天上午11点的影子比昨天上午11点的影子________．（填“长”或“短”）
11．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为___．?
?
12．已知，如图所示，木棒AB在投影面P上的正投影为A1B1，且AB＝20cm，∠BAA1＝120°，则投影长A1B1＝________cm.
三、解答题
13．已知一纸板的形状为正方形ABCD如图所示．其边长为10厘米，AD、BC与投影面β平行，AB、CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1.若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积．
14．两建筑物AB和CD的水平距离为30米，如图所示，从A点测得太阳落山时，太阳光线AC照射到AB后的影子恰好在CD的墙角时的角度∠ACB=60°，又过一会儿，当AB的影子正好到达CD的楼顶D时的角度∠ADE=30°，DE⊥AB于E，则建筑物CD的高是多少米？（≈1.732，结果保留两位有效数字）
15．如图，小明家居住的甲楼AB面向正北，现计划在他家居住的楼前修建一座乙楼CD，楼高为18米，已知冬天的太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°，若让乙楼的影子刚好不影响甲楼，则两楼之间距离至少应是多少米？
16．如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．
(1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？
(2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论．
①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD．
参考答案
1．A
解析：
四个选项中只有太阳光是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影.
故答案选A.
2．A
解析：
解：根据从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．
可知影子最长的时刻为上午8时．
故选A．
3．B
解析：
解：∵太阳光线属于平行投影,
当正方形和阳光不垂直时,正方形各边依然互相平行
∴阳光下的投影为平行四边形,
当正方形和阳光垂直时,正方形各边重合,
∴阳光下的投影为线段
故选B.
4．D
解析：
正投影的长度与木棒的摆放角度有关系，但无论怎样摆都不会超过1.2m.
故选D.
5．D
解析：
若线段AB平行于投影面，则AB=CD，
若线段AB不平行于投影面，则AB>CD，
则AB≥CD，
故答案选：D.
6．C
解析：
根据题意：圆台的上下底面与投影线平行，
则圆台的正投影是该圆台的轴截面，即梯形.
故选C.
7．D
解析：
A组几何体的正投影是三角形，选项错误；
B组几何体的正投影是矩形，选项错误；
C组几何体的正投影是梯形，选项错误；
D组几何体的正投影是圆，选项正确.
故选D.
8．C
解析：
同一时刻，两根竿子置于阳光之下，如果影长相等，
那么这两根竿子的顶部到地面的垂直距离相等，
而竿子长度不等，则两根竿子不平行.
故选C.
9．6
解析：
如图，在中，米，米，易得，
，即，
米.
故答案为：6.
10．短
解析：
解：∵春天来了天气一天比一天暖和，
∴太阳开始逐渐会接近直射，
∴在同一地点某一物体，今天上午11点的影子比昨天上午11点的影子短．
故答案为短．
11．6+
解析：
延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E．
在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，∴CE=2，EF=2．
在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2，CE：DE=1：2，∴DE=4，∴BD=BF+EF+ED=12+2．
在Rt△ABD中，ABBD（12+2）=6+．
故答案为（6+）米．
12．10
解析：
作AC⊥BB1交BB1于点C，则四边形ACB1A1为矩形，
∴∠CAA1=90°，
∵∠BAA1＝120°，∴∠BAC=30°，
∵AB=20cm，∴BC=10cm，
∴AC=10cm，
∴A1B1= AC=10cm.
故答案为10cm.
13．50平方厘米．
解析：
试题分析：如图所示，过A作AH⊥BB1于H，由∠ABB1＝45°可得△ABH是等腰直角三角形，结合cos45°可求出AH的长度，即求出A1B1的长度，又因为A1D1＝AD，求出矩形A1B1C1D1的面积即可.
试题解析：
如图所示，过A作AH⊥BB1于H，
∵∠ABB1＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH＝AB·cos45°＝10×=5(厘米)，
∴A1B1＝AH＝5(厘米)，
∵A1D1＝AD＝10(厘米)，
∴矩形A1B1C1D1的面积＝A1B1·A1D1＝5×10＝50(平方厘米)．
14．35m米
试题解析：
解：根据题意可得：在△ABC中有：AB＝BC×tan60°＝BC＝30，
在△AED中有：∠ADE＝30°，ED＝30，
所以AE＝ED×tan30°＝，
所以CD＝EB＝AB－AE＝30≈35（米）．
故建筑物CD的高是35米．
15．m
试题解析：
解：∵CE∥DB，
∴∠ECB＝30°，
∴∠CBD＝30°．
在Rt△CBD中，CD＝18m，
DB＝（m）．
答：两楼之间距离至少应是米．
16．(1)AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影是BD；(2)证明见解析.
解析：
试题分析：（1）在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，根据正投影的定义求解即可；
（2）①，结合两角对应相等的两三角形相似，可得△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例可证明结论；
②同理可证△ACD∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例可证明结论成立．
试题解析：
解：（1）∵CD⊥AB，
而平行光线垂直AB，
∴AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影为BD；
（2）①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°．
∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
∴BC2＝BD?AB；
②同理可得：△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD?BD．
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32.1投影
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列光线所形成投影是平行投影的是（ ）
A．太阳光线 B．台灯的光线
C．手电筒的光线 D．路灯的光线
2．小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（ ）
A．上午8时 B．上午9时30分 C．上午10时 D．上午12时
3．正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是（??? ）
A．正方形 B．平行四边形或线段 C．矩形 D．菱形
4．木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定（ ）
A．大于1.2m B．小于1.2m
C．等于1.2m D．小于或等于1.2m
5．若线段CD是线段AB的正投影，则AB与CD的大小关系为（ ）
A．AB＞CD B．AB＜CD C．AB＝CD D．AB≥CD
6．如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是( )
A．矩形 B．两条线段 C．梯形 D．圆环
7．如图，当投影线由物体的前方射到后方时，下列一组几何体的正投影是圆的是( )
A． B． C． D．
8．在同一时刻，两根长度不等的柑子置于阳光之下，但它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是（ ）
A．两根都垂直于地面 B．两根平行斜插在地上
C．两根竿子不平行 D．一根到在地上
二、填空题
9．如图，在A时测得某树的影长为4米，在B时测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为___________米.
10．春天来了，天气一天比一天暖和，在同一地点某一物体，今天上午11点的影子比昨天上午11点的影子________．（填“长”或“短”）
11．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为___．?
?
12．已知，如图所示，木棒AB在投影面P上的正投影为A1B1，且AB＝20cm，∠BAA1＝120°，则投影长A1B1＝________cm.
三、解答题
13．已知一纸板的形状为正方形ABCD如图所示．其边长为10厘米，AD、BC与投影面β平行，AB、CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1.若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积．
14．两建筑物AB和CD的水平距离为30米，如图所示，从A点测得太阳落山时，太阳光线AC照射到AB后的影子恰好在CD的墙角时的角度∠ACB=60°，又过一会儿，当AB的影子正好到达CD的楼顶D时的角度∠ADE=30°，DE⊥AB于E，则建筑物CD的高是多少米？（≈1.732，结果保留两位有效数字）
15．如图，小明家居住的甲楼AB面向正北，现计划在他家居住的楼前修建一座乙楼CD，楼高为18米，已知冬天的太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°，若让乙楼的影子刚好不影响甲楼，则两楼之间距离至少应是多少米？
16．如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．
(1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？
(2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论．
①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD．
参考答案
1．A
解析：
四个选项中只有太阳光是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影.
故答案选A.
2．A
解析：
解：根据从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．
可知影子最长的时刻为上午8时．
故选A．
3．B
解析：
解：∵太阳光线属于平行投影,
当正方形和阳光不垂直时,正方形各边依然互相平行
∴阳光下的投影为平行四边形,
当正方形和阳光垂直时,正方形各边重合,
∴阳光下的投影为线段
故选B.
4．D
解析：
正投影的长度与木棒的摆放角度有关系，但无论怎样摆都不会超过1.2m.
故选D.
5．D
解析：
若线段AB平行于投影面，则AB=CD，
若线段AB不平行于投影面，则AB>CD，
则AB≥CD，
故答案选：D.
6．C
解析：
根据题意：圆台的上下底面与投影线平行，
则圆台的正投影是该圆台的轴截面，即梯形.
故选C.
7．D
解析：
A组几何体的正投影是三角形，选项错误；
B组几何体的正投影是矩形，选项错误；
C组几何体的正投影是梯形，选项错误；
D组几何体的正投影是圆，选项正确.
故选D.
8．C
解析：
同一时刻，两根竿子置于阳光之下，如果影长相等，
那么这两根竿子的顶部到地面的垂直距离相等，
而竿子长度不等，则两根竿子不平行.
故选C.
9．6
解析：
如图，在中，米，米，易得，
，即，
米.
故答案为：6.
10．短
解析：
解：∵春天来了天气一天比一天暖和，
∴太阳开始逐渐会接近直射，
∴在同一地点某一物体，今天上午11点的影子比昨天上午11点的影子短．
故答案为短．
11．6+
解析：
延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E．
在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，∴CE=2，EF=2．
在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2，CE：DE=1：2，∴DE=4，∴BD=BF+EF+ED=12+2．
在Rt△ABD中，ABBD（12+2）=6+．
故答案为（6+）米．
12．10
解析：
作AC⊥BB1交BB1于点C，则四边形ACB1A1为矩形，
∴∠CAA1=90°，
∵∠BAA1＝120°，∴∠BAC=30°，
∵AB=20cm，∴BC=10cm，
∴AC=10cm，
∴A1B1= AC=10cm.
故答案为10cm.
13．50平方厘米．
解析：
试题分析：如图所示，过A作AH⊥BB1于H，由∠ABB1＝45°可得△ABH是等腰直角三角形，结合cos45°可求出AH的长度，即求出A1B1的长度，又因为A1D1＝AD，求出矩形A1B1C1D1的面积即可.
试题解析：
如图所示，过A作AH⊥BB1于H，
∵∠ABB1＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH＝AB·cos45°＝10×=5(厘米)，
∴A1B1＝AH＝5(厘米)，
∵A1D1＝AD＝10(厘米)，
∴矩形A1B1C1D1的面积＝A1B1·A1D1＝5×10＝50(平方厘米)．
14．35m米
试题解析：
解：根据题意可得：在△ABC中有：AB＝BC×tan60°＝BC＝30，
在△AED中有：∠ADE＝30°，ED＝30，
所以AE＝ED×tan30°＝，
所以CD＝EB＝AB－AE＝30≈35（米）．
故建筑物CD的高是35米．
15．m
试题解析：
解：∵CE∥DB，
∴∠ECB＝30°，
∴∠CBD＝30°．
在Rt△CBD中，CD＝18m，
DB＝（m）．
答：两楼之间距离至少应是米．
16．(1)AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影是BD；(2)证明见解析.
解析：
试题分析：（1）在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，根据正投影的定义求解即可；
（2）①，结合两角对应相等的两三角形相似，可得△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例可证明结论；
②同理可证△ACD∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例可证明结论成立．
试题解析：
解：（1）∵CD⊥AB，
而平行光线垂直AB，
∴AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影为BD；
（2）①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°．
∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
∴BC2＝BD?AB；
②同理可得：△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD?BD．
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