山东省烟台市龙口市（五四制）2020-2021学年七年级上学期期中数学试题（Word版 含解析）

山东省烟台市龙口市（五四制）2020-2021学年七年级上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个小正方形，然后展开得到（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中正确的是（　　）
A．轴对称图形是由两个图形组成的 B．等边三角形有三条对称轴
C．两个全等三角形组成一个轴对称图形 D．直角三角形一定是轴对称图形
3．如图所示的图形中，于，线段AE是几个三角形的高（ ）．

A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，AC＝BD，AO＝BO，CO＝DO，∠D＝30°，∠A＝95°，则∠AOB等于( )
A．120° B．125° C．130° D．135°
5．如图小明从平面镜里看到镜子对面电子钟显示的时间如图所示，这时的实际时刻应该是（ ）
A．21∶10 B．10∶21 C．10∶51 D．12∶01
6．已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的高为（ ）
A．4.8 B．5 C．2 D．10
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．7
8．有一张直角三角形纸片，两直角边长AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE（如图），则CD则等于（???? ）
A． B． C． D．
9．给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF； ②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，AC=DF，∠C=∠F； ④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
10．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处．若M，N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．90°
11．将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，方格纸中有四个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3为（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
二、填空题
13．a，b，c为ΔABC的三边，化简|a-b-c|-|a+b-c|+2a结果是____.
14．如图，△EFG≌△NMH，△EFG的周长为15cm，HN=6cm，EF=4cm，FH=1cm，则HG= ______ ．
15．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，则△ABC的周长为_________．
16．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝1cm2，则S△BEF＝_____cm2．
17．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，如图所示，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是全等三角形的_____相等．其全等的依据是_____．
18．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是_________．
三、解答题
19．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断△ABC是否是直角三角形．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，取点D与点E，使得AD=AE，∠BAE=∠CAD，连结BD与CE交于点O．求证：
（1）△ABD≌△ACE；
（2）OB=OC．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,交CB于点D,DE⊥AB于点E.
(1)求证：△ACD≌△AED
(2)若AC=5，△DEB的周长为8，求△ABC的周长
22．甲、乙两船同时从港口出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东向航行，2小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？
23．（1）如图，在“4×4”正方形网格中，已有2个小正方形被涂黑．请你分别在下面2张图中再将若干个空白的小正方形涂黑，使得涂黑的图形成为轴对称图形．（图（1）要求只有1条对称轴，图（2）要求只有2条对称轴）．
（只有1条对称轴） （只有2条对称轴）
图⑴ 图⑵
⑵如图，A、B为直线MN外两点，且到MN的距离不相等．分别在MN上求一点P，并满足如下条件：①在图⑶中求一点P使得PA+PB最小； ②在图⑷中求一点P使得｜PA－PB｜最大．
（不写作法，保留作图痕迹）
24．有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米.
（1）这辆卡车能否通过此桥洞？试说明你的理由.
（2）为了适应车流量的增加，想把桥洞改为双行道，并且要使宽1.2米，高为2.8米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？
25．如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF，
（1）试说明：△FBD≌△ACD；
（2）延长BF交AC于E，且BE⊥AC，试说明：：；
（3）在（2）的条件下，若H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．B
【详解】
严格按照图中的顺序向左对折，向上对折，从直角三角形的一直角边的正中间剪去一个正方形，展开后实际是从正方形的一条对角线上剪去两个小长方形，得到结论．故选B．
2．B
【解析】
A.轴对称图形可以是1个图形，故错误；
B.等边三角形有三条对称轴，即三条中线，故正确；
C.两个全等的三角形不一定组成一个轴对称图形，故错误；
D.直角三角形不一定是轴对称图形，故错误.
故选：B.
3．D
【分析】
分别列出高是AE的三角形，即可得到答案．
【详解】
AE分别是、、、、、的高
∴线段AE是6个三角形的高
故选：D．
【点睛】
本题考察了三角形高的知识；求解的关键是准确掌握三角形高的性质，即可完成求解．
4．B
【解析】
在△AOC和△BOD中
，
∴△AOC≌△BOD（SSS），
∴∠C＝∠D，
又∵∠D＝30°，
∴∠C＝30°，
又∵在△AOC中，∠A=95°，
∴∠AOC=(180-95-30) °=55°,
又∵∠AOC+∠AOB＝180°（邻补角互补），
∴∠AOB＝(180－55）°＝125 °.
故选B.
5．D
【解析】
根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与12：01成轴对称，所以此时实际时刻为12：01，
故选D．
6．A
【解析】
试题解析：∵直角三角形的两直角边长为6和8，
斜边长为：=10，
三角形的面积=×6×8=24，
设斜边上的高为x，则x×10=24，
x=4.8，
故选A．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积公式，解决问题的关键是掌握直角三角形的面积公式的两种计算方法．
7．B
【分析】
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P在AC上时，AP+BP有最小值．
【详解】
解：连接PC．
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BP=PC．
∴PA+BP=AP+PC．
∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值=AC=4．
故选B．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，明确点A、P、C在一条直线上时，AP+PB有最小值是解题的关键．
8．C
【分析】
根据折叠的性质得DA=DB，设CD=xcm，则BD=AD=(8-x)cm，在Rt△ACD中利用勾股定理得到x2+62=(8-x)2，然后解方程即可．
【详解】
解：∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴DA=DB，
设CD=xcm，则BD=AD=(8-x)cm，
在Rt△ACD中，∵CD2+AC2=AD2，
∴x2+62=(8-x)2，解得x=，
即CD的长为cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
9．C
【分析】
根据全等三角形的判定方法逐一判断即得答案．
【详解】
解：①若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则根据SSS能使△ABC≌△DEF；
②若AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则根据SAS能使△ABC≌△DEF；
③若∠B=∠E，AC=DF，∠C=∠F，则根据AAS能使△ABC≌△DEF；
④若AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，满足有两边及其一边的对角对应相等，不能使△ABC≌△DEF；
综上，能使△ABC≌△DEF的条件共有3组．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，属于基础题型，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．
10．C
【分析】
求出，根据勾股定理的逆定理得出，根据平角定义求出即可．
【详解】
解：海里，海里，海里，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理求出是解此题的关键．
11．D
【分析】
观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【详解】
首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是8cm，则在杯外的最大长度是24-8=16cm；
再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是AC= ==17，则在杯外的最小长度是24-17=7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm，
故选D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，注意此题要求的是筷子露在杯外的取值范围．主要是根据勾股定理求出筷子在杯内的最大长度．
12．C
【分析】
根据对称性可得∠1+∠3=90°，∠2=45°，即可求出∠1+∠2+∠3的值．
【详解】
解：∵在△ACB和△BDE中
，
∴△ACB≌△BDE，
∠1所在的三角形与∠3所在的三角形全等，
∴∠1+∠3=90°，
又∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=135°．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了全等图形的性质．关键是充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题．
13．2c
【分析】
根据三角形三边关系，确定a-b-c，a+b-c的正负，然后去绝对值，最后化简即可.
【详解】
解：∵a，b，c为ΔABC的三边
∴a-b-c=a-（b+c）＜0，a+b-c=（a+b）-c＞0
∴|a-b-c|-|a+b-c|+2a
=-（a-b-c）-（a+b-c）+2a
=b+c-a-a-b+c+2a
=2c
【点睛】
本题考查了三角形三边关系的应用，解答的关键在于应用三角形的三边关系判定a-b-c，a+b-c的正负.
14．4cm
【分析】
首先根据全等三角形对应边相等可得MN=EF=4cm，FG=MH，△HMN的周长=△EFG的周长=15cm，再根据等式的性质可得FG-HG=MH-HG，即GM=FH，进而可得答案．
【详解】
解：∵△EFG≌△NMH，
∴MN=EF=4cm，FG=MH，△HMN的周长=△EFG的周长=15cm，
∴FG-HG=MH-HG，即FH=GM=1cm，
∵△EFG的周长为15cm，
∴HM=15-6-4=5cm，
∴HG=5-1=4cm .
故答案为4cm．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形对应边相等．
15．60或42
【分析】
此题分两种情况：∠B为锐角或∠C为钝角．△ABC的周长为AB+AC+BC，已知AB、AC的值，所以要求三角形的周长，只需求出BC的值即可．如下图所示：作AD⊥BC于D，则AD为BC边上的高，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2=AD2+DC2，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB2=AD2+BD2，代入AB=20，AC=15，AD=12，可求出BD、DC的值，BC=BD+DC，将AB、BC、AC的值代入周长公式，可求出该三角形的周长．
【详解】
作AD⊥BC于D，则AD为BC边上的高，AD=12．分两种情况：
①高AD在三角形内，如图所示：在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC2=AD2+DC2，
∴DC = = =9，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
AB2=AD2+BD2，
∴BD==16，
∴BC=BD+DC=16+9=25，
所以，△ABC的周长为AB+AC+BC=20+15+25=60．
②高AD在三角形外，如图所示：
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC2=AD2+DC2
∴DC = = =9，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
AB2=AD2+BD2，
∴BD==16，
∴BC=BD-DC=16-9=7，
所以，△ABC的周长为AB+AC+BC=20+15+7=42．
故△ABC的周长为60或42．
故答案为60或42
【点睛】
本题主要考查运用勾股定理结合三角形的周长公式求三角形周长的能力，三角形的周长等于三边之和．
16．
【分析】
由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，可判断出AD、BE、CE、BF为△ABC、△ABD、△ACD、△BEC的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，从而完成解答．
【详解】
∵由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点
∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等
S△BEC＝S△ABC＝
S△BEF＝S△BEC＝×＝
故答案为：．
【点睛】
本题考察了三角形中线的知识；求解的关键是熟练掌握三角形中线的性质，从而完成求解．
17．对应角； SSS．
【分析】
首先连接CD、C′D′，从作图可知OD＝OD′＝OC＝OC′，CD＝C′D′，即可判定△ODC≌△O′D′C′（SSS），然后根据全等三角形对应角相等的性质，即可得出∠A′O′B′＝∠AOB.
【详解】
∠A′O′B′＝∠AOB，
理由是：连接CD、C′D′，
从作图可知OD＝OD′＝OC＝OC′，CD＝C′D′，
∵在△ODC和△O′D′C′中
，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB（全等三角形的对应角相等），
故答案为：对应角，SSS．
【点睛】
此题主要考查对尺规作图法作一个角等于已知角的理解，熟练掌握，即可解题.
18．256
【分析】
两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出．
【详解】
解：两个阴影正方形的面积和为342-302=256．
故答案为：256．
【点睛】
本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了正方形面积的计算，本题中根据勾股定理求阴影部分的边长是解题的关键．
19．△ABC是直角三角形．
【分析】
首先由勾股定理，可求得AC2+BC2=AB2，然后根据勾股定理的逆定理，即可判定△ABC是直角三角形．
【详解】
△ABC是直角三角形．
理由：
∵AC2=AE2+EC2=12+12=2，
BC2=BF2+CF2=32+32=18，
AB2=AD2+BD2=22+42=20，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．

【点睛】
本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理．此题比较简单，解题的关键是掌握勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握数形结合思想的应用．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由已知条件得到∠BAD=∠CAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB由角的和差即可得到∠OBC=∠OCB，然后根据等腰三角形的判定即可得到结论．
【详解】
证明：（1）∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE，
即∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC．
考点：全等三角形的判定与性质．
21．（1）证明见解析；（2）△ABC的周长是18．
【分析】
(1)根据角平分线的性质得出DC=DE，结合AD=AD从而得出两个直角三角形全等；
(2)根据全等得出AE=AC=5，CD=ED，从而得出△ABC的周长=AC+AC+△DEB的周长得出答案.
【详解】
（1）证明：因为AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB
所以DC=DE
在△ACD和△AED中，
∴△ACD≌△AED（HL）．
（2）由（1）得△ACD≌△AED
所以AE=AC=5，CD=ED，
C△ABC=AC+AB+BC
=AC+（AE+EB）+（BD+DC）
=AC+AC+（EB+BD+DE）
=AC+AC+C△DEB
=5+5+8
=18．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，属于中考常考题型．
22．40
【分析】
根据已知判定∠CAB为直角，根据路程公式求得AC的长．再根据勾股定理求得AB的长，从而根据公式求得其速度．
【详解】
解：如图，
∵甲的速度是30海里/时，时间是2小时，
∴AC=60海里．
∵∠EAC=35°，∠FAB=55°，
∴∠CAB=90°．
∵BC=100海里，
∴海里．
∵乙船也用2小时，
∴乙船的速度为80÷2=40海里/时．
【点睛】
此题考查了直角三角形的判定，勾股定理及方向角的掌握情况，根据已知判断出△ABC是直角三角形是解此题的关键．
23．见解析
【解析】
试题分析：
(1) 对于图(1)，先选择一条直线作为待作图形的对称轴，再将已有图形按所选择的对称轴作轴对称，若所得图形只有一条对称轴，则可按该图形填涂空白方格，若所得图形存在不只一条对称轴，则重新选择对称轴尝试. 对于图(2)，可以先分析原有图形的对称轴，再以原有图形的对称轴为参照，观察方格添加的位置是否引起原图形对称轴数量的变化，从而确定图形形状.
(2) 对于图(3)，这一类型题目的作法是利用轴对称的性质和三角形三边关系中的“两边之和大于第三边”得到的. 首先，作出点B关于直线MN的对称点B'；然后，连接点B'与点A，所得线段AB'与直线MN的交点即为所求点P. 对于图(4)，这一类型题目的作法是利用轴对称的性质和三角形三边关系中的“两边之差小于第三边”得到的. 首先，作出点B关于直线MN的对称点B'；然后，连接点B'与点A，并延长所得线段AB'至与直线MN相交，此交点即为所求点P.
试题解析：
(1) 如图所示：
(2) 如图所示，点P即为所求：
(注：图中给出了一种尺规作图的解法. 在题目中无明确要求的前提下，也可以使用三角板等工具进行相关的轴对称作图.)
点睛：
本题的第(1)小题考查了利用轴对称性质进行图案设计的相关知识，重点在于能否准确地找到所设计图案的全部对称轴. 本题的第(2)小题是一个重点题目，这两种问题的作图解法可以灵活整合到多种类型题目中. 要对这两种问题的解法熟练掌握，对其推理过程也要充分了解.
24．(1)能通过，理由见解析；(2) 桥洞的宽至少应增加到2.6米.
【分析】
（1）如图①，当桥洞中心线两边各为0.8米时，由勾股定理得方程，解出x的值，再用x+2.3与卡车的高2.5作比较即可；
（2）如图②，在直角三角形AOB中，已知OB=1.2，AB=2.8－2.3=0.5，由此可求OA的长，即桥洞的半径，再乘以2即得结果.
【详解】
解：（1）能通过.理由如下：如图①所示，当桥洞中心线两边各为0.8米时，由勾股定理得，解得，∵，∴卡车能通过.
（2）如图②所示，在直角三角形AOB中，已知OB=1.2，AB=2.8－2.3=0.5，由勾股定理得：，∴，
∴桥洞的宽至少应增加到（米）.
① ②
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，画出图形，弄清相关线段所表示的实际数据.
25．（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）由已知等腰直角三角形△DBC可推出DB=DC，且∠BDF=∠ADC=90°，与已知DA=DF通过SAS证得△FBD≌△ACD；
（2）先由（1）△FBD≌△ACD得出BF=AC，再由BF平分∠DBC和BE⊥AC通过ASA证得△ABE≌△CBE，即得CE=AE=AC，从而得出结论；
（3）连接CG，由H是BC边的中点和等腰直角三角形△DBC得出BG=CG，再由直角三角形CEG得出CG2=CE2+GE2，从而得出CE，GE，BG的关系．
【详解】
解：（1）∵DB=DC，∠BDF=∠ADC=90°
又∵DA=DF，
∴△BFD≌△ACD；
（2）∵△BFD≌△ACD，
∴BF=AC，
又∵BF平分∠DBC，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴CE=AE=AC，
∴CE=AC=BF；
（3）CE，GE，BG之间的数量关系为：CE2+GE2=BG2，
连接CG．
∵BD=CD，H是BC边的中点，
∴DH是BC的中垂线，
∴BG=CG，
?在Rt△CGE中有：CG2=CE2+GE2，
∴CE2+GE2=BG2．
【点睛】
此题考查的知识点是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，运用好SAS、ASA判定三角形全等及勾股定理是关键．