山东省淄博市沂源县（五四制）2020-2021学年七年级上学期期中考数学试题（Word版 含解析）

山东省淄博市沂源县（五四制）2020-2021学年七年级上学期期中考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．12、15、18 B．6、8、12 C．4、5、6 D．7、24、25
2．如图所示4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列结论正确的个数有（ ）
①有两边和一角对应相等的两个三角形全等；
②三角形三边的垂直平分线相交于一点；
③有两边及夹角对应相等的两个三角形全等；
④三角形三个内角的角平分线有可能相交于三角形的外部．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．下面是证明勾股定理的四个图形，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（　　）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
6．下列说法中：①?线段是轴对称图形，②成轴对称的两个图形对称点的连线互相平行，③等腰三角形的角平分线就是底边的垂直平分线，④已知两腰就能确定等腰三角形的形状和大小，正确的有( ) ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在中，，是三角形的重心，那么图中全等的三角形的对数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．下列命题中，正确的是（　　）
A．形状相同的两个三角形是全等形
B．面积相等的两个三角形全等
C．周长相等的两个三角形全等
D．周长相等的两个等边三角形全等
9．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
10．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A = 50°,∠D =10°，则∠P的度数为( )
A．15° B．20° C．25° D．30°
11．如图，AB∥FC，DE＝EF，AB＝15，CF＝8，则BD等于( )
A．8 B．7 C．6 D．5
12．如图，的内角平分线与外角的平分线交于点，过作分别交于两点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有③④ D．①②③④
二、填空题
13．正三角形是轴对称图形，它有_____条对称轴
14．如图，为了使木门不变形，木工师傅在木门上加钉了一根木条，这样是利用三角形的_____．
15．如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在处，和第三根木棍摆出，木棍固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明________．
16．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在勾股章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折着高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在ΔABC中，∠ACB=90?， AC+AB=10， BC=3，求AC的长，若设AC=x， 则可列方程为________________．
17．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_____cm（杯壁厚度不计）．
三、解答题
18．如图，的角平分线相交于点．
（1）若，则________；
（2）试探究与之间的数量关系并说明理由．
19．如图，，为的边上的中线，与全等吗？为什么？
20．在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为6．
（1）与的数量关系为 ．
（2）求的长．
（3）分别连接，，，若的周长为16，求的长．
21．如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．
22．如图，在中，，，，点从点出发，以每秒的速度向点运动，连接，设运动时间为秒．
（1）_______；
（2）当时，求的值．
23．如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE．
（1）求证：
（2）若的面积为5，求的面积．
24．中，是的角平分线，是的高．
（1）如图1，若，请说明的度数；
（2）如图2（），试说明的数量关系；
（3）如图3，延长到点，和的角平分线交于点，请求出的度数．
参考答案
1．D
【分析】
根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数，据此判断即可．
【详解】
解：A、因为122+152≠182，故不是勾股数；故此选项错误；
B、因为62+82≠122，故不是勾股数；故此选项错误；
C、因为42+52≠62，故不是勾股数；故此选项错误；
D、因为72+242=252，故是勾股数．故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股数的判定方法，比较简单，首先看各组数据是否都是正整数，再检验是否符合勾股定理的逆定理．
2．A
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
A、是轴对称图形，故正确；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、不是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．C
【分析】
根据全等三角形的判定SAS定理可得①错误；根据线段垂直平分线的定义可得三角形三边的垂直平分线相交于一点，故②正确；根据全等三角形的判定SAS定理可得③正确；根据三角形三个内角的角平分线的定义可得④错误．
【详解】
①有两边和一角对应相等的两个三角形全等，说法错误，必须是夹角；
②三角形三边的垂直平分线相交于一点，说法正确；
③有两边及夹角对应相等的两个三角形全等，说法正确；
④三角形三个内角的角平分线不可能相交于三角形的外部，说法错误．
综上，②③正确，共2个．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的中垂线、角平分线的概念．三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．C
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的定义，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
5．C
【分析】
根据轴对称图形的定义进行判断即可得到对称轴.
【详解】
解:观察可知沿l1折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l1不是对称轴；
沿l2折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l2不是对称轴；
沿l3折叠时，直线两旁的部分能够完全重合，故l3是对称轴，
所以该图形的对称轴是直线l3，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
6．A
【分析】
①根据轴对称图形的概念判定即可；
②根据轴对称图形的性质判定即可；
③根据等腰三角形的性质判定即可；
④根据等腰三角形的三边关系判定即可.
【详解】
解：①线段是轴对称图形，正确；
②成轴对称的两个图形对称点的连线互相平行，也有可能重合.错误；
③等腰三角形的角平分线就是底边的垂直平分线，错误；
④已知两腰就能确定等腰三角形的形状和大小，角度不能确定，错误.
故选A.
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念与等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形的概念与等腰三角形的性质.
7．C
【分析】
三角形的重心即三角形各边中线的交点，再由题中AB=AC，进而可得出题中所有的全等三角形．
【详解】
∵G是三角形的重心，
∴D、E. F分别是AB、AC、BC的中点，
又AB=AC，
∴△ABF≌△ACF,△ABG≌△ACG,△ADG≌△AEG,△BGF≌△CGF,△BCD≌△CBE,△BDG≌△CED,△ACD≌△ABE，
共7对全等三角形．
故选C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的重心，掌握全等三角形的性质和判定的应用为解题关键．
8．D
【解析】
A．形状和大小完全相同的两个三角形才是全等三角形，故原命题错误；B．面积相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误；C．周长相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误；D．周长相等的两个等边三角形全等，正确，
故选D．
9．D
【分析】
由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.
【详解】
解：由题意可知：中间小正方形的边长为：
每一个直角三角形的面积为：



故选D
【点睛】
本题考查勾股定理的运用，稍有难度；利用大正方形与小正方形、直角三角形面积之间的等量关系是解答本题的关键.
10．B
【分析】
利用三角形外角的性质，得到∠ACD与∠ABD的关系，然后用角平分线的性质得到角相等的关系，代入计算即可得到答案．
【详解】
解：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A=50°，
∴∠ACD=∠A+∠AEC=50°+∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，
∴∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°，
∴∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，
整理得∠ACD-∠ABD=60°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB=∠POC，
∴∠P+∠ACD=∠A+∠ABD，
即∠P=50°-（∠ACD-∠ABD）=20°．
故选B．
【点睛】
本题综合考查角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识点．解题的关键是熟练的运用所学性质去求解.
11．B
【解析】
∵AB//CF，
∴∠A=∠ECF，
又∵DE=EF，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=8，
∴BD=AB-AD=15-8=7，
故选B.
12．B
【分析】
①根据三角形的面积公式，以及角平分线的性质定理可直接得出答案；②根据角平分线的性质解答即可；③根据平行线的性质和角平分线的性质，判断出∠HBD＝∠HDB，根据等角对等边即可证出HB＝HD，但根据现有条件不能的出HF与HB必然相等的结论；④根据三角形角分线的性质，判断D为内心，进而得出∠CFD＝∠EFD，再根据平行线的性质，得出∠HDF＝∠CFD，从而判断出∠GDF＝∠DFE，于是可得，HB＝HD，再通过等量代换和线段的加减法则即可得出结论．
【详解】
解：过D作DM⊥AB，DN⊥CB，DO⊥EF，
∵S△EBD＝?BE?DM，S△FBD＝?BF?DN，BD是∠EBC的平分线，DM⊥AB，DN⊥CB，
∴DM＝DN，
∴S△EBD：S△FBD＝BE：BF，①正确；
∵DE是∠AEF的平分线，
∴AD＝DO，
∵DB是∠ABC的平分线，
∴DA＝DN，
∴DO＝DN，
∴DF是∠EFC的平分线，
∴∠EFD＝∠CFD，②正确；
∵HD∥BF，
∴∠HDB＝∠FBD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠HBD＝∠CBD，
于是∠HBD＝∠HDB，
故HB＝HD．
但没有条件说明HF与HB必然相等，③错误；
由于点D为△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线的交点，
故D为△BEF的内心，
于是FD为∠EFC的平分线，
故∠CFD＝∠EFD，
又∵DH∥BC，
∴∠HDF＝∠CFD，
故∠GDF＝∠DFE，
于是GF＝GD，
又∵HB＝HD，
∴HD?GD＝HG，
即BH?GF＝HG，④正确．
故①②④正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，掌握这些知识点是解题关键．
13．3
【分析】
依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答．
【详解】
解：正三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的对称轴条数，比较简单．
14．稳定性
【分析】
三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【详解】
解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
【点睛】
本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
15．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
【分析】
根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】
解：由题意可知：AB=AB，AC=AD，∠ABC=∠ABD，
满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是△ABC与△ABD不全等，所以这个实验说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，
故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
16．
【分析】
设AC=x，则AB=10-x，再由即可列出方程．
【详解】
解：∵，且，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理有：，
即：，
故可列出的方程为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．
17．20
【解析】
分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
详解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=（cm）．
故答案为20．
点睛：本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
18．（1）60；（2），见解析．
【分析】
（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可；
（2）先根据角平分线的定义得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A，易得∠BPC=90°+∠A，再根据平角的定义解答即可．
【详解】
（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，
∴∠A=180°-50°-70°=60°．
故答案为60．
（２）∠DPC=90°-∠A ，
理由：的平分线相交于点，，
，
∴∠DPC=180°-（90°+∠A）=90°-∠A．
故答案为：90°-∠A．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，本题探讨了三角形两角的平分线的夹角与第三个角之间的关系．
19．全等，见解析
【分析】
根据等腰三角形的性质得出∠ADB=∠ADC=90°，利用SAS证明三角形全等．
【详解】
解：全等
理由如下：，为的边上的中线，
，
在与中
【点睛】
本题考查了SAS的判定定理．关键是根据等腰三角形的性质得出∠ADB=∠ADC=90°．
20．（1）；（2）6；（3）5．
【分析】
（1）根据垂直平分线的性质即可得；
（2）先根据垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式、等量代换即可得；
（3）先根据垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式可得，由此即可得出答案．
【详解】
（1）因为的垂直平分线交于点，
所以，
故答案为：；
（2）因为是的垂直平分线，是的垂直平分线，
所以，，
因为的周长为6，
所以，
所以；
（3）因为是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，
所以，，
因为的周长为16，
所以，
所以，
所以．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质、三角形的周长公式等知识点，掌握理解垂直平分线的性质是解题关键．
21．CE＝13.3km．
【分析】
设CE＝xkm，则DE＝(20﹣x)km，由AE＝BE根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即得结果．
【详解】
解：设CE＝x km，则DE＝(20﹣x)km．
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2＝AC2+CE2＝82+x2，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：AE＝BE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3，
所以CE＝13.3km．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22．（1）12；（2）当点运动到时，的值为
【分析】
（1）由为直角三角形，可根据勾股定理列出等式，解方程即可；
（2）因为，此时设，，根据勾股定理列方程即可求出的值．
【详解】
解：（1）为直角三角形，，
由勾股定理可得：BC2+AC2=AB2，
BC=
=
=12；
（2）点从点出发，以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，，
设，则，
∵在中， ，
由勾股定理可得：，
即，
解得，
∴当点运动到时，的值为．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的运用，正确的寻找直角边是解题的关键．
23．（1）详见解析；（2）10．
【分析】
（1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明；
（2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到、，再结合以及解答即可．
【详解】
证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD=CD
在△ABD和△CED中，
所以；
(2)∵在△ABC中，D 是BC的中点
∴
∵
．
答：三角形ACE的面积为10．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，其中掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
24．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）先根据三角形的内角和定理求得、，再根据角平分线的定义得到，最后根据角的和差解答即可；
（2）先根据三角形的内角和定理求得、，再根据角平分线的定义得到，然后根据角的和差表示出来即可；
（3）先根据角平分线的定义得到，再结合三角形外角的性质得到，然后根据题意得到，最后算出∠G即可．
【详解】
解：（1）
是的高，
是的角平分线，
，
．
（2）
是的高，
是的角平分线，
，
即；
（3）和的角平分线交于点，
，即，
是的高，
，
．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．