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(总课时05)§1.2直角三角形（1）
【学习目标】掌握直角三角形的性质定理及判定定理的证明方法，了解原命题及其逆命题的概念.
【学习重难点】会判定一个三角形是直角三角形．
【导学过程】
一.知识回顾
1.直角三角形的性质:
(1)两个锐角____;(2)勾股定理：________________________________;
(3)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的____.
2.直角三角形的判定:
(1)有一个角是____的三角形叫做直角三角形.
(2)有两个角____的三角形是直角三角形.
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的____,那么这个三角形是直角三角形.
(4)如果三角形一边上的中线等于这边的____，那么这个三角形是直角三角形.
二.探究新知
探究1：直角三角形的性质和判定
（1）直角三角形的两个锐角互余.
已知：如图1，在△ABC中，∠C＝90゜
求证：∠A＋∠B＝90
゜
证明：在△ABC中∵∠A+∠B+∠C=180゜（________________）∠C=90゜（已知）
∴∠A+∠B+____=180゜∴∠A+∠B=180゜－____=____即∠A+∠B=____
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．
已知：如图1，在△ABC中，∠A＋∠B＝90
゜
求证：△ABC是直角三角形（同学们自已试一下证明过程．）
探究2：勾股定理及其逆定理.
勾股定理（性质）：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
（证明方法16种：http://www.360doc.com/content/19/0725/18/22706558_850986406.shtml）
(4)勾股定理的逆定理（判定）：
已知：如2：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2
求证：△ABC是直角三角形．
证明：如图3，作Rt△A′B′C′，使∠A′=90?,A′B′=AB，A′C′=AC，
则A′B′2+A′C′2=B′C′2(________).∵AB2+AC2=BC2，∴BC2=B′C′2.
∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(____)
∴∠A=∠A′=90?(________________________).∴△ABC是直角三角形
探究3：互逆命题和互逆定理.
观察上面命题（1）与（2）、（3）与（4），它们的条件和结论之间有怎样的关系?
定理的条件和结论________位置.
再观察下面三组命题:
1.如果两个角是对顶角,那么它们相等,
如果两个角相等,那么它们是对顶角;
3.三角形中相等的边所对的角相等,
三角形中相等的角所对的边相等.
思考：上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗?
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.
三.典例与练习
例1.在△ABC中，已知，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm
，
求证：AB=AC
证明：如图4∵BC=10cm，AD是BC边上的中线∴BD=____=___cm
在△ABD中，∴AD?+BD?=________=________=____∴△ABD为____三角形，
∴∠ADB=∠ADC=90°∴AC=________________________∴AB=AC
练习1.填空：根据图示，写出未知边的边长.
（1）x=____
（2）AB=___
（3）y=___
例2.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;
(1)四边形是多边形；
逆命题：________________.原命题（___），逆命题（___）．
(2)两直线平行，内旁内角互补；逆命题：________________________．原命题（___），逆命题（___）．
(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0[逆命题：如果a＝0，6＝0，那么ab＝0．原命题（___），逆命题（___）．
练习2.如图5，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F.若BF＝AC，那么∠ABC的大小是____.
四.课堂小结
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
定理：直角三角形的两个锐角互余
五.分层过关
1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（
）
A．1.5，2，3
B．7，24，25
C．6，8，10
D．9，12，15
2.若△ABC的三边a、b、c满足条件(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC为
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
3.如图6，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(
)
A．48
B．60
C．76
D．80
4.如图7，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为_
_.
5.如图8，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是________.
6.一副直角三角板按如图9方式放置，点C在FD的延长线上，
AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，AC＝5，则CD的长为_______.
7.如图，△AOB是边长为2的等边三角形，过点A的直线与x轴交于点C．
（1）求点A的坐标；（2）求直线AC的解析式；
（3）求证：OA⊥AC．
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第一章
三角形的证明
(总课时05)§1.2直角三角形（1）
掌握直角三角形的性质定理及判定定理的证明方法，了解原命题及其逆命题的概念.
学习目标
学习重难点
会判定一个三角形是直角三角形．
导学过程
一半
互余
两直角边的平方和等于斜边的平方
一半
平方
平方和
互余
直角
90゜
三角形内角和定理
90゜
90゜
90゜
（证明方法16种：
http://www.360doc.com/content/19/0725/18/22706558_850986406.shtml）
全等三角形的对应角相等
SSS
勾股定理
互换了
144+25
5
CD
AB?
169=13?
直角
5
b
同旁内角互补，两直线平行
假
四边形是多边形
真
真
真
真
假
45°
C
C
A
3
答疑解惑
交流纠错
Like
ure
Vacation
0
0
0
MC
1S38s.18○
8H3彐⊥
7世仁教育
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依法追究侵权人的民事、行政和刑事责任!
份
特此声明!
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C
D
∠BAC=
C,+∠A1
AD⊥BC
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(总课时05)§1.2直角三角形（1）
【学习目标】掌握直角三角形的性质定理及判定定理的证明方法，了解原命题及其逆命题的概念.
【学习重难点】会判定一个三角形是直角三角形．
【导学过程】
一.知识回顾
1.直角三角形的性质:
(1)两个锐角互余;(2)勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方;
(3)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
2.直角三角形的判定:
(1)有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形.
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
二.探究新知
探究1：直角三角形的性质和判定
（1）直角三角形的两个锐角互余.
已知：如图1，在△ABC中，∠C＝90゜
求证：∠A＋∠B＝90
゜
证明：在△ABC中∵∠A+∠B+∠C=180゜（三角形内角和定理）∠C=90゜（已知）
∴∠A+∠B+90゜=180゜∴∠A+∠B=180゜－90゜=90゜即∠A+∠B=90゜
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．
已知：如图1，在△ABC中，∠A＋∠B＝90
゜
求证：△ABC是直角三角形（同学们自已试一下证明过程．）
探究2：勾股定理及其逆定理.
勾股定理（性质）：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
（证明方法16种：http://www.360doc.com/content/19/0725/18/22706558_850986406.shtml）
(4)勾股定理的逆定理（判定）：
已知：如图2：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2
求证：△ABC是直角三角形．
证明：如图3，作Rt△A′B′C′，使∠A′=90?,A′B′=AB，A′C′=AC，
则A′B′2+A′C′2=B′C′2(勾股定理).∵AB2+AC2=BC2，∴BC2=B′C′2.
∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)
∴∠A=∠A′=90?(全等三角形的对应角相等).∴△ABC是直角三角形
探究3：互逆命题和互逆定理.
观察上面命题（1）与（2）、（3）与（4），它们的条件和结论之间有怎样的关系?
定理的条件和结论互换了位置.
再观察下面三组命题:
1.如果两个角是对顶角,那么它们相等,
如果两个角相等,那么它们是对顶角;
3.三角形中相等的边所对的角相等,
三角形中相等的角所对的边相等.
思考：上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗?
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.
三.典例与练习
例1.在△ABC中，已知，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm
，
求证：AB=AC
证明：如图4∵BC=10cm，AD是BC边上的中线∴BD=CD=5cm
在△ABD中，∴AD?+BD?=144+25=169=13?=AB?∴△ABD为直角三角形，
∴∠ADB=∠ADC=90°∴AC=∴AB=AC
练习1.填空：根据图示，写出未知边的边长.
（1）x=5
（2）AB=___
（3）y=___
例2.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;
(1)四边形是多边形；
逆命题：四边形是多边形.原命题（真），逆命题（假）．
(2)两直线平行，内旁内角互补；逆命题：同旁内角互补，两直线平行．原命题（真），逆命题（真）．
(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0[逆命题：如果a＝0，b＝0，那么ab＝0．原命题（假），逆命题（真）．
练习2.如图5，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F.若BF＝AC，那么∠ABC的大小是45°.
四.课堂小结
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
定理：直角三角形的两个锐角互余
五.分层过关
1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（
A
）
A．1.5，2，3
B．7，24，25
C．6，8，10
D．9，12，15
2.若△ABC的三边a、b、c满足条件(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC为 C
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
3.如图6，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C)
A．48
B．60
C．76
D．80
4.如图7，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为_3_.
5.如图8，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是____.
6.一副直角三角板按如图9方式放置，点C在FD的延长线上，
AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，AC＝5，则CD的长为____.
7.如图10，△AOB是边长为2的等边三角形，过点A的直线与x轴交于点C．
（1）求点A的坐标；（2）求直线AC的解析式；
（3）求证：OA⊥AC．
解：（1）过点A作AD⊥OC于点D，
∵△AOB是边长为2的等边三角形，
∴OD=DB=1，AB=AO=OB=2，∴AD=，∴A(1,)
（2）将A点代入直线得：，解得：，故，
（3）证明：当时，即：，解得，即；
，，，
，，，．
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