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(总课时06)§1.2直角三角形（2）
【学习目标】理解并能运用判定两直角三角形全等的“HL”的定理.
【学习重难点】能够证明判定两直角三角形全等的“HL”的定理.
【导学过程】
一.知识回顾
1.判断两个三角形全等的方法，你还记的有哪几种吗？
①三边对应相等的两个三角形全等（SSS）．
②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）．
③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）．
④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）．
2.一个重要反例：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图1，∠A=∠A，AB=AB，BC=BC1，显然△ABC与△ABC1不全等.
3.在两个直角三角形中，一条直角边和斜边对应相等（边边角），那么这两个三角形全等吗？
二.探究新知
做一做：已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形．
已知：如图2，线段a，c（a求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c．
作法：（1）作∠MCN＝∠α=90°；（2）在射线CM截取CB＝a；
（3）以点B为圆心，线段c为半径作弧，交射线CN于点A；
（4）连接AB，得到Rt△ABC．
你作的直角三角形与小明作的全等吗？
已知：如图3，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：在Rt△ABC和△A′B′C′中，
∵∠C＝90°，∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）．
同理，B′C′2=A'B'2-A'C'2（勾股定理）．
∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC=B'C'．∴△ABC≌△A′B′C'
(SSS)．
定理：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等．简述为“斜边、直角边”或“HL”．
几何语言：∵在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AB＝A′B′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）
三.典例与练习
例1.如图4，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平
方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解：根据题意，可知∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。
∴∠B＝∠DEF∵∠DEF+∠F＝90°，∴∠B+∠F＝90°．
练习1.如图5，两根长度为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地
面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.
解：在△AOB和△AOC中，
∵AB=AC=12，AO=AO，∠AOB=∠AOC=90
∴△AOB≌△AOC
(HL)∴BO=CO,即两个木桩离旗杆底部的距离相等.
例2.如图6，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，
CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C'．
证明：∵CD、C'D'分别是△ABC△A'B'C'的高(已知)，
∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．
在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'(已知)，CD=C'D'(已知)
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'
(HL)．∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)．
在△ABC和△A'B'C'中，
∠A=∠A'
(已证)，AC=A'C'(已知)，∠ACB=∠A'C'B'(已知)，∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)．
练习2.如图7，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(
D
)
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
例3.已知：如图8，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=BF．
求证：（1）AE=CF；（2）AB∥CD．
证明：（1）∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠BFA=90°
在△ABF和△CDE中∵AB=CD,DE=BF.∴△ABF≌△CDE,(HL)∴AF=CE.
∴AF-EF=CE-EF.即：AE=CF
（2）∵△ABF≌△CDE∴∠A=∠C，∴AB∥CD．
练习3.两个直角三角形中,如果都有一个锐角等于38°,又都有一条边等于3.8cm,那么这两个直角三角形不一定全等.(填“一定”或“不一定”)
四.课堂小结
1.我掌握的定理：直角三角形的判定方法：边边边、边角边、角边角、角角边、HL定理；
2.我探索的发现：两边及其一边所对的角（直角）相等，这两个三角形全等；
3.我学会的方法：推理证明问题的方法；
4.我还懂得了：_______________________________．
五.分层过关
1.不能判断两个直角三角形全等的条件是(
A
)
A．两锐角对应相等的两个直角三角形
B．一锐角及其所对的边对应相等的两个直角三角形
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形
D．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形
2.如图9,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需补充条件( B )
A.∠BAC=∠BAD B.AC=AD或BC=BD C.AC=AD且BC=BD D.以上都不正确
3.如图10,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,若BD=4cm,CE=3cm,则DE=7cm.
4.如图11，有一个直角△ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP＝5或10时，才能使△ABC≌△PQA.
5.如图12，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，AC＝AE.求证：AD平分∠BAC.
证明∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠CAD=∠EAD，即AD平分∠BAC.
6.如图13，∠ABC＝∠ADE＝90°，AD＝AB，AC＝AE，BC与DE相交于点F，连接CD、EB.
(1)图中共有几对全等三角形，请你一一列举.
(2)求证：CF＝EF.
解.(1)图中有3对全等三角形有：
Rt△ABC≌Rt△ADE，△ACD≌△AEB，△CDF≌△EBF.
证明.(2)连接AF，∵∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL).∴BC＝DE.
在Rt△ABF和Rt△ADF中，AB＝AD，AF＝AF，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)，∴BF＝DF，
∴BC－BF＝DE－DF，即CF＝EF.
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第一章
三角形的证明
(总课时06)§1.2直角三角形（2）
理解并能运用判定两直角三角形全等的“HL”的定理.
学习目标
学习重难点
能够证明判定两直角三角形全等的“HL”的定理.
导学过程
两角及其中一角的对边对应相等
三边对应相等
两角及其夹边对应相等
两边及其夹角对应相等
两边及其中一边的对角对应相等
（1）
（2）
（3）
（4）
=
A'B'2-A'C'2
AB2-AC2
≌
∠B
∠DEF
HL
∠DEF
解：在△AOB和△AOC中，
∵AB=AC=12，AO=AO，∠AOB=∠AOC=90
∴△AOB≌△AOC
(HL)∴BO=CO,即两个木桩离旗杆底部的距离相等.
证明：∵CD、C'D'分别是△ABC△A'B'C'的高(已知)，
∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．
在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，
AC=A'C'(已知)，CD=C'D'(已知)
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'
(HL)．
∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)．
在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'
(已证)，AC=A'C'(已知)，∠ACB=∠A'C'B'(已知)，∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)．
D
证明：（1）∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠BFA=90°
在△ABF和△CDE中∵AB=CD,DE=BF.∴△ABF≌△CDE,(HL)∴AF=CE.
∴AF-EF=CE-EF.即：AE=CF
（2）∵△ABF≌△CDE∴∠A=∠C，∴AB∥CD．
直角三角形的判定方法：边边边、边角边、角边角、角角边、HL定理
两边及其一边所对的角（直角）相等，这两个三角形全等.
推理证明问题的方法
A
B
5或10
7
证明.(2)连接AF，∵∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL).∴BC＝DE.
在Rt△ABF和Rt△ADF中，AB＝AD，AF＝AF，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)，∴BF＝DF，
∴BC－BF＝DE－DF，即CF＝EF.中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时06)§1.2直角三角形（2）
【学习目标】理解并能运用判定两直角三角形全等的“HL”的定理.
【学习重难点】能够证明判定两直角三角形全等的“HL”的定理.
【导学过程】
一.知识回顾
1.判断两个三角形全等的方法，你还记的有哪几种吗？
①_______________的两个三角形全等（SSS）．
②_____________________的两个三角形全等（SAS）．
③________________________的两个三角形全等（ASA）．
④______________________________的两个三角形全等（AAS）．
2.一个重要反例：____________________________________的两个三角形不一定全等.
如图1，∠A=∠A，AB=AB，BC=BC1，显然△ABC与△ABC1不全等.
3.在两个直角三角形中，一条直角边和斜边对应相等（边边角），那么这两个三角形全等吗？
二.探究新知
做一做：已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形．
已知：如图2，线段a，c（a求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c．
作法：（1）作∠MCN＝∠α=90°；（2）在射线CM截取CB＝a；
（3）以点B为圆心，线段c为半径作弧，交射线CN于点A；
（4）连接AB，得到Rt△ABC．
你作的直角三角形与小明作的全等吗？
已知：如图3，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：在Rt△ABC和△A′B′C′中，
∵∠C＝90°，∴BC2=______（勾股定理）．
同理，B′C′2=____________（勾股定理）．
∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC___B'C'．∴△ABC≌△A′B′C'
(SSS)．
定理：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等．简述为“斜边、直角边”或“HL”．
几何语言：∵在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AB＝A′B′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）
三.典例与练习
例1.如图4，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平
方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解：根据题意，可知∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，∴Rt△ABC___Rt△DEF（___）。
∴∠B＝______∵______+∠F＝90°，∴___+∠F＝90°．
练习1.如图5，两根长度为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地
面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.
例2.如图6，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，
CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C'．
练习2.如图7，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(
)
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
例3.已知：如图8，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=BF．
求证：（1）AE=CF；（2）AB∥CD．
练习3.两个直角三角形中,如果都有一个锐角等于38°,又都有一条边等于3.8cm,那么这两个直角三角形______全等.(填“一定”或“不一定”)
四.课堂小结
1.我掌握的定理：____________________________________________________________；
2.我探索的发现：____________________________________________________________；
3.我学会的方法：____________________；
4.我还懂得了：_______________________________．
五.分层过关
1.不能判断两个直角三角形全等的条件是(
)
A．两锐角对应相等的两个直角三角形
B．一锐角及其所对的边对应相等的两个直角三角形
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形
D．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形
2.如图9,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需补充条件(
)
A.∠BAC=∠BAD B.AC=AD或BC=BD C.AC=AD且BC=BD D.以上都不正确
3.如图10,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,若BD=4cm,CE=3cm,则DE=____cm.
4.如图11，有一个直角△ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP＝________时，才能使△ABC≌△PQA.
5.如图12，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，AC＝AE.求证：AD平分∠BAC.
6.如图13，∠ABC＝∠ADE＝90°，AD＝AB，AC＝AE，BC与DE相交于点F，连接CD、EB.
(1)图中共有几对全等三角形，请你一一列举.
(2)求证：CF＝EF.
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