5.6 三角函数的图像与性质学案（第二课时）——平移与变换 同步学案

中小学教育资源及组卷应用平台
三角函数的平移与变换学案
一．学习目标
三角函数的恒等变换是三角函数公式体系的具体应用，在恒等变换中涉及到的具体知识技巧点比较多，如何能够灵活运用相关公式进行三角函数式的化简、求值和证明是本节的重点内容；同时函数图像的应用也是本节课的学习目标，即会用五点法画出的简图，也能够利用图象变换画出的简图。
二．基础知识梳理
1.常见的三角函数恒等变换：
①正弦公式：
②余弦公式：
③正切公式：
④二倍角的正弦公式：
⑤二倍角的余弦公式：
⑥二倍角的正切公式：
⑦
；；.
⑧
；；
⑨．
(其中令，)
2.的图像做法：
(1)用“五点法”作图：
用五点法做函数的简图，主要是通过等量代换，设，由取
来求得相应的，通过列表，计算得到五点的坐标，描点之后得到函数的图像。
(2)用“变换法”作图：
由函数的图象通过变换得到的图象，主要有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。
方法一：先平移后伸缩
（左加右减）
横坐标变为原来的，得到；纵坐标变为原来的倍，得到
方法二：先伸缩后平移
横坐标变为原来的，得到
（左加右减，移动的距离变为）得到；
纵坐标变为原来的倍，得到
3.的性质：
函数的性质：
(1)定义域：
(2)值域：．
当即时，取最大值；
当即时，取最小值．
(3)周期性：周期函数，周期为.
(4)奇偶性：当且仅当时，函数是奇函数；当且仅当时，函数是偶函数．
(5)单调性：单调递增区间是；单调递减区间是
．
4.要点整合：
①如何确定上述辅助角公式中的值？
提示：可以由和的符号来确定所在的象限，由和的值确定角的大小．
②熟记：
(1)
(2)
(3)
③函数的对称中心和对称轴各有什么特点？
提示：对称中心为图象与轴的交点；对称轴为过其图象最高点或最低点与轴垂直的直线。
二．典例分析与性质总结
题型1：三角恒等式的化简与证明
例1：已知，化简：
方法提炼：
三角恒等变换是指依据三角函数的有关公式、定理，对三角函数式进行某种变形的过程，凡三角问题几乎都要通过三角恒等变换来解决.具体步骤如下：
①发现差异——观察角、名、形三方面的差异；
②寻找联系——根据式子的结构特征，找出差异间的联系；
③合理转化——选取恰当的公式，进行恒等变形，促使差异转化。
题型2：三角恒等变换的应用
命题视角1：三角恒等变换与三角函数性质的结合
例2：视角1：函数的最小正周期是_____，单调递减区间是_____
方法提炼：
讨论三角函数的性质一般要把三角函数化为，，
的形式才能进行讨论。
命题视角2：三角恒等变换的实际应用
视角2：
有一块以为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形开辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，另外两点落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为，如何选择关于点对称的点的位置，可以使矩形的面积最大？
方法提炼：
解决实际问题应首先设定主变量角以及相关的常量与变量，建立含有角的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解；求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决。
题型3：“五点法”作函数的图象
例3：用“五点法”画函数，的图象．
思路导引：
五点法作函数图象的步骤．
(1)列表：令，依次得出相应的值；
(2)描点；
(3)连线得函数在一个周期内的图象；
(4)左右平移得到，的图象。
题型4：三角函数的图象变换
例4：已知函数，该函数的图象可由，的图象经过怎样的变换得到？
思路导引：
图象变换一般有两种方法：
先平移后伸缩与先伸缩后平移，两种方法平移的单位长度是不同的，但最后得到的结果是相同的；其原因是函数的相位变换和周期变换都是针对而言的，变换时要注意顺序。
题型5：由图象确定函数的解析式
例5：已知函数()的部分图象如图所示．求函数的解析式．
思路导引：
根据三角函数的图象求函数的解析式，一般先结合图形求得振幅和周期，从而求得；再利用特殊点、零点或最值点列出关于的方程求出值；的零点有上升零点和下降零点，一般取最靠近原点的上升零点，令；下降零点，使或。
题型6：函数的性质应用
例6：已知函数(其中为常数)．
(1)求的单调区间；
(2)若时，的最大值为4，求的值；
(3)求出使取最大值时取值的集合。
思路导引：
解决该类题目的关键是由确定出函数的相应性质，如单调性、奇偶性、对称性、最值等，充分利用函数性质求解。
四．变式演练与提高
1.化简得(　　)
A．
B．
C．
D．.
www.ks5u.com
www.ks5u.com
2.已知函数，求函数的值域为与对称轴方程。
3.某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1
m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．
4.已知.
(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数在一个周期内的图象；
(2)写出的单调递增区间；
(3)求的最大值和此时相应的的值．
5.为了得到函数的图象，可以将函数的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
6.将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，求的值。
7.函数的部分图象如图所示，则的值分别是(　　)
A．2，
B．2，
C．4，
D．4，
8.已知函数
(1)求的振幅、最小正周期及单调增区间；
(2)求的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求的最小值及取得最小值时的x的取值集合．
五．反思总结
1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，在公式推导过程中记忆公式和运用公式；
2.辅助角公式，其中满足：①与点同象限；
②；
3.研究形如的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式；因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，对一些特殊的系数应熟练掌握。
4.由的图象，通过变换得到函数的图象，其变化途径有两条：
①
②
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，
平移个单位；(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是易出错的地方，应特别注意。
5.由函数的部分图象确定解析式关键在于确定参数的值。
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定；
(2)因为，所以往往通过求周期来确定，可通过已知曲线与轴的交点从而确定，或
相邻的最高点与最低点之间的距离为，相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为。
(3)从寻找“五点法”中的第一零点(也叫初始点)作为突破口；
以为例，位于单调递增区间上离轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点；
6.在研究的性质时，注意采用整体代换的思想；例如，它在
时取得最大值；在时取得最小值。
六．课后作业
1.已知，，则等于(　　)
A．
B．
C．
D．
2.下列各式中，值为的是(　　)
A．
B．
C．
D．
3.函数，的值域是(　　)
A．
B.
C．
D．
4.证明：
5.把函数的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应的函数是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．非奇非偶函数
6.函数的最小正周期为
.
7.把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，求得到的图象对应的一个解析式。
8.已知函数的一段图象如图，试求这个函数的解析式。
七．参考答案
例1：解析：
由于，所以；故而，
所以，原式
例2：解析：
视角1：
由题意知，
，所以最小正周期.
令，得，单调递减区间为
视角2：
画图如图所示，设，则，
设矩形的面积为，则，
即.
∵，∴，当，即时，，
此时，距离点都为
例3：解析：
[分析]将看作一个整体取值，求出对应的值，再描点、连线即得所求函数的图
象。
[解]①列表：
0
0
3
0
0
②描点：在坐标系中描出下列各点：
，，，，.
③连线：用光滑曲线将所描的五个点顺次连接起来，得函数，
的简图，如图所示．
例4：解析：
方法1：步骤：
(1)把函数的图象向左平移个单位长度，可以得到函数的图象；
(2)把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数的图象；
(3)把函数的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可以得到函数的图象；
(4)再把得到的函数的图象向上平移个单位长度，就能得到函数的图象．
方法2：步骤：
(1)把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，而纵坐标不变，得到函数
的图象；
(2)把函数的图象向左平移个单位长度，可以得到函数的图象；
(3)把函数的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，而横坐标不变，可以得到函数的图象；
(4)再把得到的函数的图象向上平移个单位长度，就能得到函数的图象．
例5：解析：
由题设图象知，周期，∴，
因为点在函数图象上，所以，即
又∵，∴；从而，即.
又点在函数图象上，所以，.
故函数的解析式为
例6：解析：
(1)由，解得
∴函数的单调递增区间为。
由，解得.
∴函数的单调递减区间为．
(2)∵，∴，∴，
∴的最大值为，∴.
(3)当取最大值时，，此时，；
∴当取最大值时，取值的集合是
四．变式演练与提高
1.解析：
∴原式＝；故而答案为A。
2.解析：
；则函数的值域是
令，得；所以函数的对称轴方程为
3.解析：
如图，连接，设，则，.
∵，
∴
当，即时，；∴割出的长方形桌面的最大面积为.
4.解析：
(1)列表：
0
0
2
0
0
作图如下
(2)由，得
所以函数的单调递增区间为
(3)当，即当时，.
5.解析：
，故选A．
6.解析：
经过相应的平移之后，
∴，且
∴，，
∵，∴，∴
7.解析：
由题图象知，∴.
又点在图象上，所以，，即
又，所以.故选A．
8.解析：
(1)函数的振幅为，最小正周期；
由得，
所以的单调增区间为；
(2)令，得，所以对称轴方程为．
令，得，所以对称中心为．
(3)当，即，
即时，的最小值为，此时的取值集合是
六．课后作业
1.解析：
∵，∴，
∵，∴
2.解析：
A中，原式；
B中，原式；
C中，原式；D中，原式，故选B
3.解析：
；故函数值域为。
4.解析：
证明：∵左边
=右边。
∴等式成立．
5.解析：
，向左平移个单位长度后为，即，
为奇函数，故选A．
6.解析：
∵的最小正周期为，∴函数的最小正周期为
7.解析：
把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，得函数
的图象，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象。
8.解析：
方法1：由题图知，.∴，∴，∴.
又∵图象过点．∴.
又∵，∴；于是
方法2：由题图可知，第二、第三两关键点的横坐标分别为2和6.
∴
∴
∴
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)