2021普通高等学校招生全国统一考试·信息卷（Word含解析）

2021普通高等学校招生全国统一考试·信息卷
数学（七）
本试卷分选择题和非选择题两部分．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|-1≤x≤2，x∈N}，B＝{x|x2+x-2＞0}，全集U＝R，则为
（
）
A．[-1，1]
B．[-1，1)
C．{-1，0，1}
D．{0，1}
2．设复数，z2＝cos
θ+isin
θ，则|z1-z2|的最小值为
（
）
A．
B．
C．2
D．
3．已知a，b为实数，则“a＞b”是“log0.5(2a-1)＜log0.5(2b-1)”的
（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．设函数f(x)＝2x-2-x+x3，则使不等式f(2x-1)+f(3)＜0成立的实数x的取值范围是
（
）
A．(-∞，-1)
B．(-∞，2)
C．(-1，+∞)
D．(2，+∞)
5．函数f(x)＝etxsin
x（t为常数，t＞0，e为自然对数的底数）的图像可能为
（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知过点的抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P是其准线l上一点，连接PF并延长交抛物线C于点Q．若，则
（
）
A．
B．
C．6
D．9
7．已知函数的图像关于直线对称．当ω取得最小值时，f(x)的最小正周期为
（
）
A．8π
B．6π
C．4π
D．2π
8．在△ABC中，AB＝6，，B＝60°，线段BC上有一点P满足．该平面上有异于点P的一点Q满足，则的最大值为
（
）
A．
B．
C．
D．或
二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．有一位生态学家曾经做过这样一个实验：在0.5
mL培养液中放入5只草履虫，然后每隔24
h统计一次草履虫的数量，得到了如下表的统计数据：
x（时间/天）
0
1
2
3
4
y（草履虫数/只）
5
30
121
329
375
甲、乙两位同学根据这些数据，分别构建了y关于x的两个回归方程，并计算得各自的相关系数：
，r1＝0.9626；，r2＝0.9583．
则以下说法不正确的是
（
）
A．甲同学构建的回归方程说明y与x呈负相关关系
B．乙同学构建的回归方程的图像过样本中心点(2，172)
C．按乙同学构建的回归方程估计，10
h后的草履虫数在2522只附近的可能性比较大
D．两位同学所构建的回归方程描述x和y之间的相关关系效果都很好
10．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(-2，2)上单调递增，g(x)＝f(x-2)也是奇函数，则
（
）
A．函数f(x)是周期为4的周期函数
B．函数g(x)是周期为2的周期函数
C．函数f(x)的图像关于点(4，0)对称
D．g(2)，，g(5)的大小关系为
11．在三棱柱ABC-A1B1C1中，点M为棱AB的中点，点N是侧面ACC1A1内（含边界）一动点，且MN∥平面BCC1B1，则下列四个结论一定正确的是
（
）
A．直线MN与CC1是异面直线
B．点N的轨迹是一条线段，其长度等于侧棱长
C．MN⊥平面ACC1A1
D．由点N的轨迹和点M确定的平面垂直于底面ABC
12．若数列{an}满足：?A，B∈R，AB≠0，使得对于?n∈N
，都有an+2＝Aan+1+Ban，则称{an}具有“三项相关性”．下列说法正确的有
（
）
A．若数列{an}是等差数列，则{an}具有“三项相关性”
B．若数列{an}是等比数列，则{an}具有“三项相关性”
C．若数列{an}是周期数列，则{an}具有“三项相关性”
D．已知数列{an}具有“三项相关性”，且正数A，B满足A+1＝B，a1+a2＝B．设数列{bn}的通项公式为bn＝Bn，{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则对于?n∈N
，2S2n＜T2n恒成立
三、填空题
13．已知α为第三象限角，且，则tan
α的值为________．
14．甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学进行劳动技术比赛，决出第一名到第六名的名次．甲、乙两名参赛者去询问他们的成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你们都没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”则六人的名次排列的可能情况数为________．
15．在高为1的正四面体PABC中，P在底面ABC上的射影为P′，作平行于平面ABC的平面，分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′．当三棱锥P′-A′B′C′的体积最大时，三棱锥P′-A′B′C′的外接球的表面积为________．
16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线的方程为，点M是其右支上一点，点N是圆E：x2+y2-8y+15＝0上的点．若|MF1|+|MN|的最小值为8，则此时双曲线C的实轴长为________．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在①bn＝λan，②，③bn＝λ+an这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的t存在，求出t的值；若t不存在，请说明理由．
问题：设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，a5＝S3，数列{bn}满足_________．对于任意的λ(λ≠0)，是否存在正整数t使得b1，b3，bt成等比数列？
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．
18．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的外接圆半径为R．已知，且a＜b．
（1）求C．
（2）若R＝2，求AB边上的中线的取值范围．
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△PAB，△PAD均是以A为顶角的等腰直角三角形，M为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面ACM．
（2）求PM与平面ACM所成角的正弦值．
20．由商务部和北京市人民政府共同举办的2020年中国国际服务贸易交易会（简称服贸会）于9月4日开幕，主题为“全球服务，互惠共享”．某高校为了调查学生对服贸会的了解情况，决定随机抽取100名学生进行采访．根据统计结果，采访的学生中男女比例为3:2，已知抽取的男生中有10名不了解服贸会，抽取的女生中有25名了解服贸会，请你解答下面所提出的相关问题．
（1）完成2×2列联表，并回答“是否有99%的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关”．
了解情况性别
了解
不了解
合计
男生
女生
合计
100
（2）若从被采访的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人在校内开展一次“介绍服贸会”的专题活动，记抽取男生的人数为ξ，求出ξ的分布列及数学期望．
附：，n＝a+b+c+d．
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21．已知椭圆C：的左、上顶点分别为B，A，直线l∥AB，与椭圆C交于P，Q两点．
（1）求PQ中点M的轨迹方程．
（2）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，证明为定值，并求此定值．
22．已知函数有两个极值点，分别为x1，x2．
（1）求a的取值范围．
（2）证明：（其中e为自然对数的底数）．
参考答案
7
2021普通高等学校招生全国统一考试·信息卷
数学（七）
一、1．D
【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法，集合的补集、交集，体现了数学运算的核心素养．
【解析】∵A＝{0，1，2}，，∴．故选D．
2．A
【命题意图】本题考查复数的除法运算、复数的几何意义，考查数形结合思想、转化与化归思想，体现了数学运算、直观想象等核心素养．
多法解题
方法一
．由复数的几何意义可知在复平面内，复数z2对应的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆．如图，z1对应的向量为，z2对应的向量为，则．∴当B取单位圆与OA的交点时，有最小值，为．故选A．
方法二
z1＝2-i．由复数的几何意义可知在复平面内，复数z1对应的向量，z2对应的向量，则
，其中，．当sin(θ-φ)＝-1时，|z1-z2|取得最小值，为．故选A．
方法总结
关于两个复数之差的模的最值问题，可结合复数的几何意义，将其转化为向量的模的问题．求向量之差的模的最值，有两种方法：（1）几何法，将复数z2在复平面内对应的向量与单位圆联系起来，通过向量的运算求其最值；（2）代数法，利用，通过向量的数量积运算，构造关于θ的三角函数，利用其性质求最值．
3．B
【命题意图】本题考查不等式的性质，对数函数的单调性，充分条件、必要条件的判断，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．
【解析】．故“a＞b”是“log0.5(2a-1)＜log0.5(2b-1)”的必要不充分条件．故选B．
4．A
【命题意图】本题考查函数的单调性、奇偶性，利用函数的单调性解不等式，考查转化与化归思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．
【解析】由函数解析式可知，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且单调递增，于是原不等式可化为f(2x-1)＜-f(3)＝f(-3)，所以2x-1＜-3，解得x＜-1．故选A．
方法总结
用常规方法解答与函数的奇偶性、单调性有关的不等式问题，需要将不等式转化为f(g(x))≤f(h(x))的形式，再利用函数的单调性“脱去”最外层函数，转化为一般不等式．
名师评题
解本题时要撇开函数解析式的表象，抓住函数隐含的性质，如奇偶性和单调性（本题所给的函数既是奇函数又是增函数），然后利用性质巧妙解题，能很好地考查学生的数学功底和数学素养．本题如果解题方法选择不当，会耗时过多且容易出错．
5．B
【命题意图】本题考查函数图像的识别，体现了直观想象、逻辑推理等核心素养．
【解析】当x＝0时，f(x)＝0，排除A．
当0＜x＜π时，f(x)＞0，排除D．
因为t＞0，所以et＞1．根据指数函数的性质，对于x0＞0，．又因为|sin
x0|＝|sin(-x0)|，所以|f(x0)|＞|f(-x0)|，排除C．故选B．
6．B
【命题意图】本题考查抛物线的方程及其简单的几何性质、向量的数乘，体现了数学运算、直观想象等核心素养．
【解析】将点的坐标代入y2＝2px(p＞0)，解得p＝3，即抛物线C的方程为y2＝6x．设准线l与x轴交于点A，则|AF|＝3．过点Q作QQ1⊥l于点Q1，则|QQ1|＝|FQ|．因为AF∥QQ1，，所以，所以，即．故选B．
7．C
【命题意图】本题考查三角函数的图像与性质，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养．
【解析】由题意可知当时，取得最大值或最小值，所以
，k∈Z，所以，k∈Z．因为ω＞0，所以当k＝0时，ω取得最小值，此时f(x)的最小正周期．故选C．
8．B
【命题意图】本题考查平面向量的数量积、向量模的最大值、余弦定理的应用，考查数形结合思想、转化与化归思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．
【解析】由，得，∴PA⊥BC．又∵点P在线段BC上，∴△ABC为锐角三角形．设BC＝x(x＞3)，则由余弦定理，得，解得x＝4或x＝2（舍去）．如图，设BC的中点为H，连接AH，QH，则
，∴点Q在以AH为直径的圆上，如图，作出该圆．又∵AP⊥HP，∴点P也在以AH为直径的圆上，∴的最大值为该圆的直径，即AH．由余弦定理，得
，∴的最大值为．故选B．
二、9．ABC
【命题意图】本题考查回归方程、相关系数，体现了数学运算、数据分析等核心素养．
【解析】由r1＞0或散点图（图略）可以得出y与x不呈负相关关系，A不正确．
是非线性回归方程，它的图像过样本中心点(6，172)，B不正确．
注意表格中时间的单位是天而不是时(h)，不能直接将x＝10代入求解，C不正确．
这两个回归方程的相关系数均大于0.75，所以用这两个回归模型描述x和y之间的相关关系都有很好的效果，D正确．故选ABC．
10．ACD
【命题意图】本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性，函数图像的对称性，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．
【解析】由题意得f(-x)＝-f(x)，g(-x)＝-g(x)．又g(x)＝f(x-2)，所以f(-x-2)＝-f(x-2)，即f(x+2)＝f(x-2)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，故A正确．因为f(x)的图像关于点(0，0)对称，周期为4，所以函数f(x)的图像关于点(4，0)对称，故C正确．由g(x)＝f(x-2)，得g(x+4)＝f(x+2)＝f(x+2-4)＝f(x-2)＝g(x)，即函数g(x)是周期为4的周期函数，故B错误．由g(2)＝f(2-2)＝f(0)，，g(5)＝f(5-2)＝f(3)＝f(-1)，且f(x)在(-2，2)上单调递增，得，所以，故D正确．选ACD．
11．AB
【命题意图】本题考查线线、线面、面面之间的位置关系，考查转化与化归思想，体现了逻辑推理、直观想象等核心素养．
【解析】如图，分别取棱AC，A1C1的中点D，E，连接DE，DM，ME，则DE∥CC1，DM∥BC．又DE∩DM＝D，DE?平面MDE，DM?平面MDE，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，所以平面MDE∥平面BCC1B1．要使MN∥平面BCC1B1，只需MN?平面MDE．又点N在侧面ACC1A1内（含边界），所以点N的轨迹就是线段DE，其长度等于侧棱长，故B正确．
易得直线MN与CC1是异面直线，故A正确．
因为不知道三棱柱ABC-A1B1C1是否为直三棱柱，且并不知其底面三角形ABC的具体形状，无法判断C，D是否正确．故选AB．
易错警示
棱柱上、下底面相互平行，侧面为平行四边形，故其侧面不一定垂直于底面．而直棱柱的侧面都垂直于底面，需注意区分．
12．ABD
【命题意图】本题考查与数列有关的新定义问题，考查转化与化归思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．
【解析】若{an}为等差数列，则an+2+an＝2an+1，∴取A＝2，B＝-1即可，故A正确．
若{an}为等比数列，设公比为q，则由an+2＝Aan+1+Ban，得anq2＝Aq·an+Ban，则Aq+B＝q2，∴对任意一个确定的等比数列{an}，任取满足上述二元一次方程的A，B(AB≠0)均可，故B正确．
任取一周期大于2的周期数列（如1，2，3，1，2，3，…），易得A，B不存在，故C错误．
将A＝B-1代入an+2＝Aan+1+Ban，得an+2＝(B-1)an+1+Ban，即an+2+an+1＝B(an+1+an)，∴．而，∴．∵A＝B-1＞0，∴B＞1，∴，∴2S2n＜T2n，故D正确．选ABD．
名师评题
本题设问新颖，具有一定的创新性．前3个选项熟悉而不俗套，以3个基本数列为背景，考查学生对概念、性质的深刻理解以及灵活运用的能力．第4个选项在计算S2n时要用到“并项法”，考查学生的灵活应变能力和创新能力，对计算方法和计算能力有着较高的要求，符合高考对运算能力的考查要求，不是进行繁难的运算，而是通过增加思维考核的深度，使学生去想怎么算，关键是“想”而不是“算”．
三、13．2
【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．
【解析】由，得，所以，于是
，解得tan
α＝±2．又因为α是第三象限角，所以tan
α＝2．
14．384
【命题意图】本题考查排列知识，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．
【解析】先排乙，有4个位置（不能排第一和第六的位置），再排甲，有4个位置（不能排乙所在的位置和第一的位置），剩下的四名同学随意排．故可能的情况数为．
技巧点拨
解本题的关键是注意“你们都没有获得冠军”这一条件，以及排甲、乙位置的顺序．
15．π
【命题意图】本题考查三棱锥及三棱锥的外接球的表面积，体现了数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养．
【解析】如图（1），设PP′与平面A′B′C′交于点H，则P′H为三棱锥P′-A′B′C′的高．由题意知PP′＝1．设P′H＝a(0＜a＜1)，则△A′B′C′与△ABC的相似比为1-a，∴两者面积之比为(1-a)2．∴
，当且仅当2a＝1-a，即时，取等号．易知，正四面体PABC的棱长为，∴当三棱锥P′-A′B′C′的体积最大时，正三角形A′B′C′的边长为．连接C′H，易知．设三棱锥P′-A′B′C′的外界球半径为r，球心为O，如图（2），取截面P′C′H分析．易知点O在直线P′H上，连接OC′，则，解得，∴三棱锥P′-A′B′C′的外接球的表面积S＝4πr2＝π．
方法总结
此类题目应分两步，首先确定三棱锥的体积何时最大，之后通过几何关系求出其外接球的半径．在求三棱锥体积函数V(a)的最值时，可利用基本不等式（需要巧妙地“凑”），也可求函数的导数，进而求出其体积最大时a的值．在求该三棱锥的外接球的半径时，需充分挖掘其几何关系，构造出直角三角形，利用勾股定理，建立关于r的方程．
知识拓展
在边长为a的正四面体PABC中，顶点P在底面正三角形ABC上的射影P′即为△ABC的重心（三边中线的交点），AP在底面上的射影AP′的长度为，正四面体的高PP′的长度为．掌握这些比例关系，可大大提高解题效率．
16．4
【命题意图】本题考查双曲线的定义、渐近线，圆的方程，直线与圆的位置关系，线段和的最值问题，考查转化与化归思想、数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养．
【解析】连接MF2，根据双曲线的定义，可知|MF1|＝|MF2|+2a．圆E的标准方程为x2+(y-4)2＝1，圆心E(0，4)，半径为1，圆心E到直线，即的距离
，故该圆与双曲线的渐近线相离．于是|MF1|+|MN|＝|MF2|+2a+|MN|≥|MF2|+2a+|ME|-1≥|EF2|+2a-1，所以当E，M，F2三点共线时，|MF1|+|MN|取到最小值，最小值为|EF2|+2a-1．由双曲线的渐近线方程为，不妨设a＝2m(m＞0)，则，c＝3m，所以
，所以，解得m＝1，于是a＝2，所以实轴长2a＝4．
名师评题
高考对解析几何的考查十分注重对圆锥曲线的定义及性质的考查．本题考查了双曲线的定义、圆的性质以及平面几何中的最短距离问题，重点考查学生灵活运用定义和平面几何知识解决问题的能力．“解过无数问题，其实都是转化．”本题就是要把焦半径|MF1|转化到焦半径|MF2|，把点M到圆上动点的距离转化为到圆心（定点）的距离，很好地考查了学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．
四、17．【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的性质，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养．
【解】设等差数列{an}的公差为d，
则
整理，得解得
所以an＝a1+(n-1)d＝1+(n-1)×2＝2n-1．
方案一：选条件①．
假设数列{bn}中存在某项bt使得b1，b3，bt成等比数列，则，即(λa3)2＝λa1·λat．
因为λ≠0，所以．
又因为a3＝2×3-1＝5，a1＝2×1-1＝1，at＝2t-1，
所以52＝1·(2t-1)，解得t＝13．
所以存在正整数t＝13使得b1，b3，bt成等比数列．
方案二：选条件②．
假设数列{bn}中存在某项bt使得b1，b3，bt成等比数列，则，即．
因为λ≠0，所以．
又因为a3＝2×3-1＝5，a1＝2×1-1＝1，at＝2t-1，
所以52＝1·(2t-1)，解得t＝13．
所以存在正整数t＝13使得b1，b3，bt成等比数列．
方案三：选条件③．
假设数列{bn}中存在某项bt使得b1，b3，bt成等比数列，则，即(λ+a3)2＝(λ+a1)·(λ+at)，
若λ＝2，则(2+a3)2＝(2+a1)·(2+at)，
将a3＝2×3-1＝5，a1＝2×1-1＝1，at＝2t-1代入并整理，得3t＝23，所以．
又t∈N
，所以不存在满足条件的正整数t．
18．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．
【解】（1）∵，∴，即
，∴，∴．∵a＜b，∴A＜B，∴，∴．
（2）方法一
由正弦定理，得
，a＝2Rsin
A＝4sin
A．
设AB的中点为D，则在△BDC中，由余弦定理，得
CD2＝BC2+BD2-2BC·BD·cos
B
．
由解得
．∴，∴，∴CD2∈(7，9)，∴．∴AB边上的中线的取值范围为．
方法二
以△ABC的外接圆圆心O为坐标原点，建立如图的平面直角坐标系，使x轴与AB平行．
设AB的中点为D，连接OA，OB，OC，CD．
由正弦定理，得
，∴，∴，∴D(0，-1)．
设C(2cos
θ，2sin
θ)（θ为射线OC与x轴非负半轴的夹角）．
由题意，得
解得．∴．∵，∴7＜5+4sin
θ＜9，∴，∴AB边上的中线的取值范围为．
19．【命题意图】本题考查线面平行、利用空间向量求线面所成角的正弦值，考查转化与化归思想，体现了数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养．
（1）【证明】如图，连接BD，交AC于点O，连接OM，则O为BD的中点．
又∵M为PD的中点，∴OM为△PBD的中位线，∴OM∥PB．∵OM?平面ACM，PB?平面ACM，∴PB∥平面ACM．
（2）【解】取CP的中点N，连接ON．∵△PAB，△PAD均是以A为顶角的等腰直角三角形，∴PA⊥AB，PA⊥AD．
又∵AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD．∵O，N分别为AC，PC的中点，∴ON∥AP，∴ON⊥平面ABCD．
如图，以O为坐标原点，分别以直线OC，OB，ON为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz．
设AP＝AB＝2．∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴OC＝1，，，∴C(1，0，0)，P(-1，0，2)，．∴，，
．
设平面ACM的法向量为．
由得
令y＝2，则．∴．
设PM与平面ACM所成的角为θ，与所成的角为α，则．∴PM与平面ACM所成角的正弦值为．
20．【命题意图】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列及期望，体现了数学运算、数据分析等核心素养．
【解】（1）2×2列联表如下：
了解情况性别
了解
不了解
合计
男生
50
10
60
女生
25
15
40
合计
75
25
100
，∴没有99%的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关．
（2）根据题意，抽取的5人中男生有3人，女生有2人．
从这5人中随机抽取3人，则男生人数ξ的所有可能取值为1，2，3，
则，
，
．∴ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
∴．
21．【命题意图】本题考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程的求解、向量数量积的坐标表示，体现了数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养．
【解】（1）由，得a＝2，b＝1．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则，且
①-②，得．
化简，得，∴，∴直线OM的方程为．
将代入椭圆C的方程，得．解得．∵点M的轨迹在椭圆C内，∴点M的轨迹方程为．
（2）设l：．
将代入椭圆方程并化简，得x2+2mx+2m2-2＝0．
当Δ＝4m2-4(2m2-2)＝4(2-m2)＞0时，
有
又∵，，∴
．∴为定值，且定值为-1．
方法总结
设而不求是指在解题过程中根据需要设出变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的关系．在解决圆锥曲线的有关问题时，能够达到“化难为易、化繁为简”的效果．
22．【命题意图】本题考查函数的极值问题、构造函数解答不等式的证明问题，考查转化与化归思想、方程思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．
（1）【解】由题意，得f(x)的定义域为(0，+∞)．
．
由f(x)在其定义域内有两个极值点，可得方程f′(x)＝0在x＞0时有两个不相等的实数根，
即方程在x＞0时有两个不相等的实数根．
设，则
．
令g′(x)＝0，得，∴当时，g(x)单调递减；当时，g(x)单调递增．∴．
又∵当x→0时，g(x)→+∞；当x→+∞时，g(x)→0，∴．
综上可知，a的取值范围为．
（2）【证明】由题意，知∴
．∴要证，即证，即证x1x2＞e．
不妨设，则即证．∵，g(x)在上单调递减，∴即证．
又∵g(x1)＝g(x2)＝a，∴即证，即证
，即证．
设，即证．
设
，
则，∴h(x)在[e2，+∞)上为增函数，∴．
综上可知，成立．
名师评题
导数题作为高考压轴题都有一定难度，对学生思维的深度有较高要求，学生除掌握必要的基础知识外，还需要有较强的观察力、想象力、应变力和逻辑推理能力．本题第（1）问比较常规，第（2）问除考查了分析法、消元法、换元法，方程思想、转化与划归思想，解法“简约而不简单”，需要步步为营、层层深入、随机应变，考查学生的数学素养，有着较高的区分度．