沪科版七年级数学下册课件： 8.3 第1课时 完全平方公式（共19张ppt）

第8章 整式乘法与因式分解
8.3 第1课时 完全平方公式
知识回顾
多项式乘多项式的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 。
单项式×
多项式
单项式×
单项式
多项式×
多项式
获取新知
由多项式乘法可得乘法公式
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. ①
(a－b)2＝a2－2ab＋b2. ②
上面两个公式，今后可以直接应用于运算，称为完全平方公式.
完全平方公式用语言叙述是：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍.
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
口诀：
首平方，
尾平方，
首尾积的2倍放中央
完全平方公式，除直接由乘法得到，你还可通过图形面积割补的方法得到吗(如图)?
a
b
a
b
(a+b)2
a2
ab
ab
b2
=
+
+
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
a
b
a
b
(a-b)2
a2
b2
=
-
+
(a-b)2＝a2-2ab＋b2.
例题讲解
例1 利用乘法公式计算：
(1)(2x＋y)2. (2)(3a－2b)2.
解：运用公式计算，要先识别a，b在具体式子中分别表示什么.
(1)(2x＋y)2＝(2x)2＋2·(2x)y＋y2
( a ＋b)2＝ a2 ＋ 2 a b＋b2
＝4x2＋4xy＋y2.
(2)(3a－2b)2＝(3a)2－2·(3a)(2b)＋(2b)2
( a － b)2 ＝ a2 － 2 a b ＋ b2.
＝9a2－12ab＋4b2.
这是后续学习中很重要的转换变形
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗?
(a-b)2与(b-a)2相等吗?
(a-b)2与a2-b2相等吗?
为什么?
(-a-b)2=[-(a+b)]2=(a+b)2
(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2
(a-b)2与a2-b2一般不相等.
例2 已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.
分析：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平
方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．
解：因为a2＋b2＝13，ab＝6，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25；
(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－2×6＝1.
完全平方公式的高频变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab=(a－b)2＋2ab；
(2)2(a2＋b2)=(a＋b)2＋(a－b)2；
(3)4ab=(a＋b)2－(a－b)2
随堂演练
1.计算(a-1)2的结果是 (　　) A.a2-a+1 B.a2-2a+1 C.a2-2a-1 D.a2-1
B
2.下列计算正确的是(　　) A.(x+y)2=x2+y2 B.(x-y)2=x2-2xy-y2 C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2 D.(-x+y)2=x2-2xy+y2
D
3.如图，将完全相同的四张长方形纸片和一张正方形纸片拼成一个较大的正方形，则可得出一个等式为(　　)
A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
D
4.将9.52变形正确的是(　　) A.9.52=92+0.52 B.9.52=(10+0.5)(10-0.5) C.9.52=102-2×10×0.5+0.52 D.9.52=92+9×0.5+0.52
C
5. 若代数式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k=_______．
10或－10
6.若(x-y)2=(x+y)2+a,则a为　　 .
-4xy
(1) (6a+5b)2；(2) (4x－3y)2 ；
(3) (2m－1)2 ; (4)(－2m－1)2 .
7.运用完全平方公式计算:
解：(1) 原式=(6a)2+2?6a?5b+(5b)2=36a2+60ab+25b2；
(2) 原式=(4x)2－2?4x?3y+(3y)2=16x2－24xy+9y2；
(3) 原式=(2m)2－2?2m?1+12=m2－4m+1；
(4) 原式=(2m+1)2=4m2+4m+1.
8.运用完全平方公式计算：
(1) 962 ； (2) 2032 .
解：(1)原式=(100-4)2
=1002+42－2×100×4
=10000+16－800
=9216；
(2)原式=(200+3)2
=2002+32+2×200×3
=40000+9+1200
=41209.
9.若a+b=5,ab=－6, 求a2+b2,a2－ab+b2.
解：a2+b2=（a+b)2－2ab=52-2×(－6)=37；
a2－ab+b2=a2+b2－ab=37－(－6)=43.
课堂小结
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算
的式子，需要先添括号变形